§5. Экстремум функции двух переменных.
Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y),
если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек M(x,y) из
этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)
f(x0,y0)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Сформулируем необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума
существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она
равна нулю.
Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей
непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо
искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные
равны нулю.
Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть
(здесь полная аналогия с функцией одной переменной).
Пример:
z = xy; zx( = y; zy( = x; zx((0,0) = 0; zy((0,0) = 0.
Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка
(0,0) не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в
любой её окрестности есть точки, где z(x,y) > 0 (это точки, лежащие
внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где
z(x,y) 0, то в точке (x0,y0) экстремум функции z, причем если A > 0,
то минимум, а если A
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
