.

Ряды

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 919
Скачать документ

Фун 2 числовых аргументов.

Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е

Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е
число Wi или любой точке (xi;yi) или паре чисел ставится в соот-е zi
след-но zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).

Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).

Пусть точка (х0;у0)(Е дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек
(х;у) удовлетвор-х нерав-у

(((х-х0)+(y-y0)( <(.Точка (х0;у0) наз внутренней точкой множества Е, если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой ( этому множеству.Точка (х0;у0) наз граничной точкой множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая ( множ Е.Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.Точка (х0;у0)( множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.Фун 2 переменных.Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся в обл D.Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2 переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.Обл опред-я фун 2 переменных – это совокупность пар (х;у) значений х и у при котором определяется фун-я z=f(х;у).Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.Предел фун 2 переменных.Опр: Число А наз пределом фун z=f(х;у)при х(х0, у(у0, М(х;у)(М0. limх(х0 (у(у0)f(х;у)=AЕсли для любого (>0 сущ-ет ( окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех
(х;у)(( окрест-ти будет выполн нерав-во (((х-х0)2+(y-y0)2( <(. (А-f(х;у)(<(, A-( lim (Xn(Yn)=a(b (n(()

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+(n; lim Yn=b => Yn=b+(n;

Xn ( Yn = (a + (n) ( (b + (n) = (a ( b) + (( n( bn) => lim(Xn(Yn)=a(b
(n(().

2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n(().

3)lim Xn=a, lim Yn=b (n(() => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+(n)/(b+(n) – a/b = (ab+(nb–ab–a(n)/b(b+(n)
=(b(n-a(n)/b(b+(n)=(n => Xn/Yn=a/b+(n => ( lim Xn/Yn = a/b = (lim
Xn)/(lim Yn) (n(().

Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.

Непрерывность фун в точке.

Опр: Пусть точка М0(х0;у0) ( обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз
непрерывной в точке М0(х0;у0), если имеет место равенство
limх(х0(у(у0)f(х;у)=f(х0;у0) или lim(х(0((у(0)f(х0+(х;у0+(у)= f(х0;у0),
где х=х0+(х и у=у0+(у, причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0)
произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.

Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех
сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех
сторон =f(x0;у0).

Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.

Если (х0;у0)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.

Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2
рода.

Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2(х;у) непрерывны в
точке (х0;у0), то сумма (разность) f(х;у)=f1(х;у)(f2(х;у), произведение
f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций
f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0.

Док-во (суммы): По определению получаем, что
limх(х0(у(у0)f1(х;у)=f1(х0;у0), limх(х0(у(у0)f2(х;у)=f2(х0;у0) на
основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn(Yn)=a(b (n((), можем
написать: limх(х0(у(у0)f(х;у)=limх(х0(у(у0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=

=limх(х0(у(у0)f1(х;у)+limх(х0(у(у0)f2(х;у)=

=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0). Итак сумма есть непрерывная функция.(
2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она
определена. 3) Если фун z=((m) непрерывна в точке m=х0;у0, а фун y=f(z)
непрерывна в соот-й точке z0=((х0;у0), то фун y=f(((х;у)) непрер-а в
точке (х0;у0).

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).Точки разрыва.Если в некоторой точке N(х0;у0) не выполняется условие limх(х0(у(у0)f(х;у)= f(х0;у0), то точка N(х0;у0) наз точкой разрыва фун z=f(х;у).Условие lim(х(0((у(0)f(х0+(х;у0+(у)=f(х0;у0) может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), за исключением самой точки N(х0;у0); 2)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), но не сущ-ет предела limх(х0(у(у0)f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0) и сущ-ет предел limх(х0(у(у0)f(х;у), но limх(х0(у(у0)f(х;у)(f(х0;у0).Классификация точек разрыва:Если (х0;у0) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х0;у0) – 1 род.Если (х0;у0) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв устранимый.Если (х0;у0) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х0;у0) – 2 рода.Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз непрерывной в этой замкнутой области.Св-ва: 1)Если фун f(x;y…) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х0;у0…) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е f(х0;у0…)(f(х;у) и по крайней мере одна точка (N((х0;(у0…) такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е f((х0;(у0…)(f(х;у…). Фориулируется так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере один раз наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим значения фун f(x;y…) в обл, то для любого числа (, удовл усл m<(<М, найдется в обл такая точка N*(x*;y*…), что будет выполн рав-во f(x*0;y*0…)=(. Следствие из св2: Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой огран обл и принимает как положит, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x;y…) обращается в нуль.Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и.Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение ?х, тогда z получит приращение, кот. наз. частным приращением z по x. ?xz=f(x+?x,y)-f(x,y) Аналогично частное приращение по y ?yz=f(x,y+?y)-f(x,y).Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции z=f(x,y) наз. предел отношения частного приращения ?xz к приращ-ю ?x при ?x(0.?z/?x=lim(?x(0)?xz/?x=lim(?x(0)(f(x+?x,y)-f(x,y))/?x. Аналогично частная производная по y.?z/?y=lim(?y(0) ?yz/?y=lim(?y(0)(f(x,y+?y)-f(x,y))/?y.Част диф-л фун: dxz(x;y)=[((z/(x)*(x] и dуz(x;y)=[((z/(у)*(у].Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун.Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ?x, а аргументу y приращение ?y, получим для z новое приращение ?z , кот наз. полным приращением. ?z=f(x+?x,y+?y)-f(x,y).Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л dz=(?f/?x)*?x+(?f/?y)*?y.Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т. (x0,y0), если её полное приращение ?z можно представить в виде суммы 2 слагаемых ?z=(A*?x+B*?y)+0((), где (=((?x2+?y2), т.е. lim((х(0,(у(0,((0)0(()/(=0 бесконечная величина более высокого порядка малости, чем (. (A*?x+B*?y) линейное относительно ?x ,?y.Полный диф-л в приближенных вычислениях: f(x+?x0,y+?y)(f(x,y)+[(f(x,y)/(x]*(x+[(f(x,y)/(y]*(y.Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y) диффер-ема в т.(x0,y0), то сущ. конечные частные производные (?z/?х;?z/?y) при x=x0, y=y0. A=?z(х0;у0)/?x; B=?z(х0;у0)/?y.Достаточное усл диф-ти: Если функция z=f(x,y) в т.(x0,y0) и в нек. окресности непрерывна и имеет непрерывные частные производные (?z/?х;?z/?y), то ф-ия диф-ма.Производные высших порядков.?z/?x=?(x,y); ?z/?y=?(x,y); Вторая производная: ??/?x=?2z/?x2;z``xx здесь фун диф-я посл-но 2раза по х;??/?y=?z/?x?y; z``xy; ??/?x=?z/?y?x;z``yx; ??/?y=?2z/?y2; z``yy;Третья производная: ?3z/?x3; ?3z/?x2?y; ?3z/?x?y(х; ?3z/?y?x2; ?3z/?y?x?y; ?3z/?y2?x; ?3z/?y3.Производная сложной ф-ии.z=f(u,v)=F(x;y), u=((х;у) и v=((х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а u и v диф-ы по x и y, то выполняется след равенство (z/(x=(?z/?u)((u/(x)+(?z/?v)((v/(x); (z/(y=(?z/?u)((u/(y)+(?z/?v)((v/(y).z=f(x;u;v)=F(x)Полная производная по х:dz/dx=(z/(x+(?z/?u)(du/dx)+(?z/?v)(dv/dx);Полная производная по у:dz/dу=(z/(у+(?z/?u)(du/dу)+(?z/?v)(dv/dу);Экстремумы фун 2 переменных.Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0,y0), если f(x0,y0)>
f(x,y) {f(x0,y0)0 при всех достаточно малых
приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке
М0(х0;у0);

Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума
при x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от z или
обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.

Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а
именно y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0) будет функцией одного переменного x.
Т.к. при x=x0 она имеет экстремум, то следовательно (?z/?x) при
x=x0,y=y0 или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (?z/?у) при
x=x0, y=y0 или равно нулю или не сущ.

Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0,y0),
функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка
включительно, пусть, кроме того т.M(x0,y0) является критической точкой
функции f(x,y) т.е. ?f(x0,y0)/?x=0, ?f(x0,y0)/?y=0.

Тогда при x=x0, y=y0:

1)f(x,y) имеет максимум, если

?2f(x0,y0)/(x2*?2f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2>0 и ?2f(x0,y0)/(x2<02)f(x,y) имеет максимум, если?2f(x0,y0)/(x2*?2f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2>0 и ?2f(x0,y0)/(x2>0

3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.

?2f(x0,y0)/(x2*?2 f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2<04)Если ?2f(x0,y0)/(x2*?2f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2=0, то экстремум может быть, а может и не быть.Неявнозаданная функция и нахождение ее производной.Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует z=??(x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль. F(x,y,z)(0. Продифф. по x: F(x,y,z)(0, F(x=0, (F/(x+((F/(z)*((z/(x) (z/(x=--[((F/(x)/((F/(z)];Продифф. аналогично по у (z/(y=--[((F/(y)/((F/(z)]Двойной интеграл.Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(?S1,?S2,?S3…?Sn). На каждой площадке возьмем по точке Pi (P1,P2,P3…Pn). f(Pi) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(Pi)?Si. Vn=n(i=1f(Pi)?Si – это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D.Опр: Предел limmax di(0n(i=1f(Pi)?Si интегральной суммы n(i=1f(Pi)?Si, если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на (Di и от выбора точек Pi(Di наз двойным интегралом зад фун z=f(x;y) по обл D.Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл (D, то сущ-ет предел limmax di(0n(i=1f(Pi)?Siт.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmax di(0n(i=1f(Pi)?Si=((D f(x;y)dxdy=(или)= =((D f(x;y)dS/(Св-ва:1)??D(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=(?Df1(x,y)dxdy+(?Df2(x,y)dxdy2) ? ?Da f(x,y)dxdy=a? ?D f(x,y)dxdy.3) Если область D=D1(D2, то? ?Df(x,y)=? ?D1f(x,y))+? ?D2f(x,y).Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2.? ?Df(Pi)?Si=? ?D1f(Pi)?Si +? ?D2f(Pi)?Si , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D1, вторая – соот-е площадкам обл D2. В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и D2 яв-ся границей площадок ?Si. Переходя в равенство? ?Df(Pi)?Si=? ?D1f(Pi)?Si +? ?D2f(Pi)?Si к пределу при ?Si(0, получаем равенство? ?Df(x,y)=? ?D1f(x,y))+? ?D2f(x,y).(4) Если фун f(x,y)=1, то ? ?D1dxdy=SD5) Если фун в данной области f(x,y)????0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть? ?D f(x,y)dxdy????06) Если f1(x,y)?f2(x,y), то??Df1(x,y)dxdy???Df2(x,y)dxdy7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D.в? а ( ?2(x)?? ?1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S.Док-во: Из соот-яmS(в?а(?2(x)??1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S(MS получаем mS(1/S*ID(MS. Число 1/S*ID заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*ID .Двукратный интегралПусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a0. По определению область D разбивается
на элементарные кусочки (Di; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую
(Di и найти значение функции в этой точке. (Vi=f(xi,yi)*(Si. Сумма

(Vi=n(i=1f(xi,yi)*(Si – это объем фигуры состоящей из элементарных
параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.

limmax di(0n(i=1f(xi,yi)*(Si=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела
(цилиндройда).?? f(x,y)dxdy=Vцил

Площадь поверхности.

Sпов.=???[(1+((z/(x)2+((z/(y)2dxdy].

Диф-е ур-я (осн понятия).

Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn)=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и
F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз порядковым ур-ем.

Решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз любая фун вида у=((х), которая будучи
подставленная в F(x;y;y’;у”…уn)=0 вместе со своими произ-ми обращает в
тождество. F(x;((х);((х)’;((х)”… ((х)n)=0.

Фун вида у=((х;С1;С2;…Сn) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0, если
выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С1;С2;…Сn; 2) для
любых начальных усл х0, у0, у’0, уn0 можно найти конкретную совокупность
С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0 при которых фун у=((х;С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0), что
эта фун будет удвл начальному условиям.

Соот-е вида ((х;С1;С2;С3;…Сn)=0 полученная при решении ур
F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 (т.е.
решение ур находиться в неявной форме).

Дифф. ур. 1-го порядка

Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур. наз. любая фун.=((x), кот.
обращает ур. в тождество.

Опр-е: Фун. y=((x;C) наз-ся общим решением, если она удов.:1)данная фун.
яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что
фун. y= ((x,C0) удов. начальным усл-ям.

Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим
интегралом дифф. ур-я.

Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=((x;C0), кот. получается из
общего реш. y=((x;C), если в последнем произ. постоянному С придать
опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным
интегралом ур.

Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:

1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)y’=f2(y)
f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ?dy/f2(y)=?dx/f1(x) 2).Ур-е с
разделяющимися переменными f(x;y)y’+((x;y)=0,
f1(x)f2(y)dy+(1(x)(2(y)dx=0 все разделим на (2(y)*f1(x)

{f2(y)/(2(y)}dy+{(1(x)/f1(x)}dx=0

?{f2(y)/(2(y)}dy+?{(1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные диффер.
ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)(0, то линейное уравнение
y’+p(x;y)=0.

Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;

2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем)
dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-Pdx lnC1+lnV=-?Pdx

V= C1e–?Pdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

V(x)= e–?Pdx, где ?Pdx – какая-нибудь первообразная

V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=?Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ?
Q(x)/V(x)dx+CV(x)

Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)

y’+P(x)y=Q(x)yn, P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.) n(0,1.
Это ур-е наз ур Бернулли, приводится к линейному следующим
преобразованием.

Разделим на yn с наибольшим значением n, получим

(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, Сделаем далее замену z=(y–n+1), тогда
dz/dx=(-n+1)(y-n)y’. Подставляя эти значения в ур-е

(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, будем иметь линейное ур-е

dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q

Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y–n+1), получим
общий инт. ур.Бернулли

Однородные ур-я

Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y)

–однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е.
f(tx;ty)=(t0)f(x;y).

Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности, если вып. усл.
f(tx;ty)=(tk)f(x;y); f(tx;ty)=(t0)f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где
t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x) след-но
y=U(x)x, y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=((U)
(dU/dx)*x=((U)-U, dx/x=dU/(((U)-U), ln(x(=[?dU/(((U)-U)] + C ( вместо U
подст. y/x и получим общий инт.

Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун.
M(x;y) и N(x;y) однородные k-го порядка.

Дифф. ур. 2-го порядка

Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав. наз.
любая фун.y=((x), кот. обращает это ур. в тождество
F(x;((x);(’(x);(’’(x))=0

Общим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых
знач. C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот.
заданная фун. y=((x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.

((x0;С10;С20)=y0 ,

(’(x0; С10;С20)=y0’

Линейные дифф. ур-я 2-го порядка

Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)

Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)

– линейное однородное урав.

Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.

1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну
вырозить через др, т.е.

y1(x)/y2(x)(const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2

2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2=
y1?[(e–?P(x)dx)]/(y12)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2

3) y1 находим подбором.

Структура общего реш. неоднородного ур.

1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек.
частное реш. самого ур.

2)Метод вариации произ. постоянной

y*= C1(x)y1+C2(x)y2

3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.

сист. ур-ий. 0 y2

C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 ( C1’(x)= f(x) y2’

C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x) y1 y2

y1’ y2’

( C1(x)=?(–)/(–)dx

y1 0

C2’(x)= y1’ f(x) ( C2(x)=?(–)/(–)dx

y1 y2

y1’ y2’

Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.

Рассмотрим случай: y’’+py’+qy=f(x), p,q – числа. y=c1y1+c2y2+y*, где y1,
y2 – два лин-но незав. реш.

(1) y’’+ py’+qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.

y=ekx k2+pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).

Рассмотрим 3 случия:

1. D>0, k1,2=(-p(((p2-4q))/2, k1(k2 y1=ek1x, y2=ek2x.

Т.к. y1/y2(const, то y=c1 ek1x+c2 ek2x.

2. D=0 k1,2=-p/2

y1=e-px/2, y2=y1?(e–?pdx)/y12dx=e-px/2, y=e-px/2(c1+c2x).

3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k1,2=(((i, y1=e(xCos(x, y2=e(xSin(x, y1/y2(const, y=e(x(c1Cos(x+c2Sin(x)Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.1. f(x)=Pn(x)e(x 1) ( - не явл-ся корнем хар. ур-ияy*=(A0xn+A1xn-1 ++...+An)=Qn(x)e(x.( - однократный корень y*=xQn(x)e(x.3) ( - двукрат. корень y*=x2Qn(x)e(x.2. f(x)=p(x)e(xCos(x+q(x)e(xSin(x1) (+(i – не корень y*=U(x)e(xCos(x+V(x)e(xSin(x.2) (+(i – корень y*=x[U(x)e(xCos(x+V(x)e(xSin(x].3. f(x)=MCos(x+NSin(x1)(i – не корень, y*=ACos(x+BSin(x.2)(i – корень, y*=x(ACos(x+BSin(x).РЯДЫЧисловые ряды. Основные определения.Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U1, U2...Un,... Выражение U1+U2+...+Un+... наз-ся числовым рядом,U1, U2...Un – члены ряда.Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-сяn-ой частичной суммой ряда: Sn= U1+U2+...+Un.Если сущ-ет конечный предел limn((Sn=S, то этот предел наз суммой ряда.Если предел limn((Sn равен ( или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.Если сущ-ет предел limn((Sn, то ряд сходится.Некоторые очевидные свойства числовых рядов:1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.Док-во: Sn – сумма n первых членов ряда, Ck – сумма k отброшенных членов, Dn-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Тогда имеем: Sn=Ck+Dn-k, где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limDn-k, то сущ-ет и limSn; если сущ-ет lim Sn, то сущ-ет limDn-k, а это доказ-ет справедливость теоремы.2)Теорема 2. Если ряд a1+a2+...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca1+ca2+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn, а ряда (2) – через Dn. Тогда Dn=ca1+...+can=c(a1+...+an)=cSn. Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.lim Dn=lim(cSn)=climSn=cS. ч.т.д.3)Теорема 3. Если ряды a1+a2+...(5) и b1+b2+...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1и S2, то ряды (a1+b1)+(a2+b2)+...(7) и (a1–b1)+(a2–b2)+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1+S2 иS1–S2.Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через Dn, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S1n и S2n, получим: Dn=(a1+b1)+...+(an+bn)=(a1+...+an)+(b1+...+bn)=S1n+S2n. Переходя к в этом равенстве к пределу при n(((, получим limDn=lim(S1n+S2n)= limS1n+limS2n=S1n+S2n.Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1n+S2n.4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limUn=0 n((.Док-во: пусть ряд U1+U2+...+Un+... сходится, т.е. limSn=S n((, тогда имеет место равенство limSn-1=S.limSn–limSn-1=0, lim(Sn–Sn-1)=0. Но Sn–Sn-1=Un следов-но lim Un=0 ч.т.д.Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U1+U2+...+Un+...(1), S1n; V1+V2+...+Vn+...(2) S2n; Известно,что Vn(Un при n(N0.если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что ( lim S2n=S. S1n=U1+U2+...+UN0+UN0+1+...+Un=SN0+VN0+1+...+Vn. limS1n=lim(SN0+Dn-N0)=SN0+D. S1n – возраст. послед-ть, ограниченная числом SN0+D => ( lim S1n=Sn1.

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn=L, но L(0,( при
n((, то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера. Если ( lim(Un+1/Un)=L(2) при n((, то: 1) ряд
сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L1. тогда из равенства lim(Un+1/Un)=L следует, что, начиная с
некот. N, т.е. для n(N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или
Un+1>Un для всех n(N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная
с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд
расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limn(Un=L, то: 1) ряд
сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь:
n(Un>1 или Un>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с UN, больше
1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ((n=1Un, где члены ряда
убывают Un>Un+1>0. Есть фун f(x)>0, х([1;(] непрерывная и убывающая и
такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un.

Если не собственный интеграл ((1f(x)dx – сходиться, то ряд сходится.
Если не собственный интеграл ((1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно
то положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной
величине U1>U2>U3… и предел его общего члена при n(( равен 0

(Lim n(( Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого
члена: U1(S.

Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов
при n=2m:

S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m). Эта последовательность возрастающая и
ограниченная. На основании признака существования придела
последовательность S2m имеет предел Limm((S2m=S. Переходя к пределу в
неравенстве S2m|Х1|.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0?0, следовательно, выполняется
необходимый признак сходимости Limn((Un=Limn((CnX0n=0. Значит
последовательность |CnX0n| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для
всех n выполняется неравенство |CnX0n||X1| ряд (*) сходится. Тогда по
доказанному выше он должен сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1|), что
противоречит условию.

2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу
сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно
степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом
отрезке.

4) Степенные ряды вида а0+а1х+а2х2+…+аnх2+…+аn+1хn+1+… и

а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+аn(х-х0)2+… сходяться равномерно.

5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.

G

y

x

P

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019