Фун 2 числовых аргументов.
Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е
Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е
число Wi или любой точке (xi;yi) или паре чисел ставится в соот-е zi
след-но zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).
Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).
Пусть точка (х0;у0)(Е дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек
(х;у) удовлетвор-х нерав-у
(((х-х0)+(y-y0)( 0 сущ-ет ( окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех
(х;у)(( окрест-ти будет выполн нерав-во (((х-х0)2+(y-y0)2( lim (Xn(Yn)=a(b (n(()
Док-во: lim Xn=a => Xn=a+(n; lim Yn=b => Yn=b+(n;
Xn ( Yn = (a + (n) ( (b + (n) = (a ( b) + (( n( bn) => lim(Xn(Yn)=a(b
(n(().
2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n(().
3)lim Xn=a, lim Yn=b (n(() => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+(n)/(b+(n) – a/b = (ab+(nb–ab–a(n)/b(b+(n)
=(b(n-a(n)/b(b+(n)=(n => Xn/Yn=a/b+(n => ( lim Xn/Yn = a/b = (lim
Xn)/(lim Yn) (n(().
Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.
Непрерывность фун в точке.
Опр: Пусть точка М0(х0;у0) ( обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз
непрерывной в точке М0(х0;у0), если имеет место равенство
limх(х0(у(у0)f(х;у)=f(х0;у0) или lim(х(0((у(0)f(х0+(х;у0+(у)= f(х0;у0),
где х=х0+(х и у=у0+(у, причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0)
произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.
Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех
сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех
сторон =f(x0;у0).
Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.
Если (х0;у0)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.
Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2
рода.
Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2(х;у) непрерывны в
точке (х0;у0), то сумма (разность) f(х;у)=f1(х;у)(f2(х;у), произведение
f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций
f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0.
Док-во (суммы): По определению получаем, что
limх(х0(у(у0)f1(х;у)=f1(х0;у0), limх(х0(у(у0)f2(х;у)=f2(х0;у0) на
основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn(Yn)=a(b (n((), можем
написать: limх(х0(у(у0)f(х;у)=limх(х0(у(у0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=
=limх(х0(у(у0)f1(х;у)+limх(х0(у(у0)f2(х;у)=
=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0). Итак сумма есть непрерывная функция.(
2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она
определена. 3) Если фун z=((m) непрерывна в точке m=х0;у0, а фун y=f(z)
непрерывна в соот-й точке z0=((х0;у0), то фун y=f(((х;у)) непрер-а в
точке (х0;у0).
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а
f(x,y) {f(x0,y0)
приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке
М0(х0;у0);
Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума
при x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от z или
обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.
Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а
именно y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0) будет функцией одного переменного x.
Т.к. при x=x0 она имеет экстремум, то следовательно (?z/?x) при
x=x0,y=y0 или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (?z/?у) при
x=x0, y=y0 или равно нулю или не сущ.
Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0,y0),
функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка
включительно, пусть, кроме того т.M(x0,y0) является критической точкой
функции f(x,y) т.е. ?f(x0,y0)/?x=0, ?f(x0,y0)/?y=0.
Тогда при x=x0, y=y0:
1)f(x,y) имеет максимум, если
?2f(x0,y0)/(x2*?2f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2>0 и ?2f(x0,y0)/(x20 и ?2f(x0,y0)/(x2>0
3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.
?2f(x0,y0)/(x2*?2 f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)20. По определению область D разбивается
на элементарные кусочки (Di; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую
(Di и найти значение функции в этой точке. (Vi=f(xi,yi)*(Si. Сумма
(Vi=n(i=1f(xi,yi)*(Si – это объем фигуры состоящей из элементарных
параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.
limmax di(0n(i=1f(xi,yi)*(Si=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела
(цилиндройда).?? f(x,y)dxdy=Vцил
Площадь поверхности.
Sпов.=???[(1+((z/(x)2+((z/(y)2dxdy].
Диф-е ур-я (осн понятия).
Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn)=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и
F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз порядковым ур-ем.
Решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз любая фун вида у=((х), которая будучи
подставленная в F(x;y;y’;у”…уn)=0 вместе со своими произ-ми обращает в
тождество. F(x;((х);((х)’;((х)”… ((х)n)=0.
Фун вида у=((х;С1;С2;…Сn) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0, если
выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С1;С2;…Сn; 2) для
любых начальных усл х0, у0, у’0, уn0 можно найти конкретную совокупность
С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0 при которых фун у=((х;С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0), что
эта фун будет удвл начальному условиям.
Соот-е вида ((х;С1;С2;С3;…Сn)=0 полученная при решении ур
F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 (т.е.
решение ур находиться в неявной форме).
Дифф. ур. 1-го порядка
Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур. наз. любая фун.=((x), кот.
обращает ур. в тождество.
Опр-е: Фун. y=((x;C) наз-ся общим решением, если она удов.:1)данная фун.
яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что
фун. y= ((x,C0) удов. начальным усл-ям.
Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим
интегралом дифф. ур-я.
Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=((x;C0), кот. получается из
общего реш. y=((x;C), если в последнем произ. постоянному С придать
опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным
интегралом ур.
Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:
1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)y’=f2(y)
f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ?dy/f2(y)=?dx/f1(x) 2).Ур-е с
разделяющимися переменными f(x;y)y’+((x;y)=0,
f1(x)f2(y)dy+(1(x)(2(y)dx=0 все разделим на (2(y)*f1(x)
{f2(y)/(2(y)}dy+{(1(x)/f1(x)}dx=0
?{f2(y)/(2(y)}dy+?{(1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные диффер.
ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)(0, то линейное уравнение
y’+p(x;y)=0.
Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;
2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем)
dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-Pdx lnC1+lnV=-?Pdx
V= C1e–?Pdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
V(x)= e–?Pdx, где ?Pdx – какая-нибудь первообразная
V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=?Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ?
Q(x)/V(x)dx+CV(x)
Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)
y’+P(x)y=Q(x)yn, P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.) n(0,1.
Это ур-е наз ур Бернулли, приводится к линейному следующим
преобразованием.
Разделим на yn с наибольшим значением n, получим
(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, Сделаем далее замену z=(y–n+1), тогда
dz/dx=(-n+1)(y-n)y’. Подставляя эти значения в ур-е
(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, будем иметь линейное ур-е
dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q
Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y–n+1), получим
общий инт. ур.Бернулли
Однородные ур-я
Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y)
–однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е.
f(tx;ty)=(t0)f(x;y).
Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности, если вып. усл.
f(tx;ty)=(tk)f(x;y); f(tx;ty)=(t0)f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где
t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x) след-но
y=U(x)x, y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=((U)
(dU/dx)*x=((U)-U, dx/x=dU/(((U)-U), ln(x(=[?dU/(((U)-U)] + C ( вместо U
подст. y/x и получим общий инт.
Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун.
M(x;y) и N(x;y) однородные k-го порядка.
Дифф. ур. 2-го порядка
Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав. наз.
любая фун.y=((x), кот. обращает это ур. в тождество
F(x;((x);(’(x);(’’(x))=0
Общим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых
знач. C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот.
заданная фун. y=((x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.
((x0;С10;С20)=y0 ,
(’(x0; С10;С20)=y0’
Линейные дифф. ур-я 2-го порядка
Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)
Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)
– линейное однородное урав.
Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.
1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну
вырозить через др, т.е.
y1(x)/y2(x)(const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2
2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2=
y1?[(e–?P(x)dx)]/(y12)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2
3) y1 находим подбором.
Структура общего реш. неоднородного ур.
1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек.
частное реш. самого ур.
2)Метод вариации произ. постоянной
y*= C1(x)y1+C2(x)y2
3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.
сист. ур-ий. 0 y2
C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 ( C1’(x)= f(x) y2’
C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x) y1 y2
y1’ y2’
( C1(x)=?(–)/(–)dx
y1 0
C2’(x)= y1’ f(x) ( C2(x)=?(–)/(–)dx
y1 y2
y1’ y2’
Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.
Рассмотрим случай: y’’+py’+qy=f(x), p,q – числа. y=c1y1+c2y2+y*, где y1,
y2 – два лин-но незав. реш.
(1) y’’+ py’+qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.
y=ekx k2+pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).
Рассмотрим 3 случия:
1. D>0, k1,2=(-p(((p2-4q))/2, k1(k2 y1=ek1x, y2=ek2x.
Т.к. y1/y2(const, то y=c1 ek1x+c2 ek2x.
2. D=0 k1,2=-p/2
y1=e-px/2, y2=y1?(e–?pdx)/y12dx=e-px/2, y=e-px/2(c1+c2x).
3.Когда корни комплексные, т.е. D ( lim S1n=Sn1.
2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn=L, но L(0,( при
n((, то ряды ведут себя одинаково.
3) Признак Даламбера. Если ( lim(Un+1/Un)=L(2) при n((, то: 1) ряд
сходится, если L1. Док-во: 1) пусть L1. тогда из равенства lim(Un+1/Un)=L следует, что, начиная с
некот. N, т.е. для n(N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или
Un+1>Un для всех n(N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная
с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд
расходится.
4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limn(Un=L, то: 1) ряд
сходится, если L1.
Док-во: 1) пусть L1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь:
n(Un>1 или Un>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с UN, больше
1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.
5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ((n=1Un, где члены ряда
убывают Un>Un+1>0. Есть фун f(x)>0, х([1;(] непрерывная и убывающая и
такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un.
Если не собственный интеграл ((1f(x)dx – сходиться, то ряд сходится.
Если не собственный интеграл ((1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.
Знакочередующиеся ряды.
Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно
то положительны, то отрицательны.
Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной
величине U1>U2>U3… и предел его общего члена при n(( равен 0
(Lim n(( Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого
члена: U1(S.
Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов
при n=2m:
S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m). Эта последовательность возрастающая и
ограниченная. На основании признака существования придела
последовательность S2m имеет предел Limm((S2m=S. Переходя к пределу в
неравенстве S2m
Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0?0, следовательно, выполняется
необходимый признак сходимости Limn((Un=Limn((CnX0n=0. Значит
последовательность |CnX0n| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для
всех n выполняется неравенство |CnX0n|
доказанному выше он должен сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1|), что
противоречит условию.
2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу
сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно
степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом
отрезке.
4) Степенные ряды вида а0+а1х+а2х2+…+аnх2+…+аn+1хn+1+… и
а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+аn(х-х0)2+… сходяться равномерно.
5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.
G
y
x
P
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
