.

Ряды Фурье и их приложения

Язык: русский
Формат: дипломна
Тип документа: Word Doc
1 1434
Скачать документ

Министерство общего и профессионального образования

Сочинский государственный университет туризма

и курортного дела

Педагогический институт

Математический факультет

Кафедра общей математики

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Ряды Фурье и их приложения

В математической физике.

Выполнила: студентка 5-го курса

подпись дневной формы обучения

Специальность 010100

„Математика”

Касперовой Н.С.

Студенческий
билет № 95471

Научный руководитель: доцент, канд.

подпись техн.
наук

Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

Содержание:

Введение.

Понятие ряда Фурье.

2.1. Определение коэффициентов ряда Фурье.

2.2. Интегралы от периодических функций.

Признаки сходимости рядов Фурье.

Примеры разложения функций в ряды Фурье.

Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье

Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Ряды Фурье для функций с периодом 2 l.

Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Введение.

Жан Батист Жозеф Фурье – французский математик, член Парижской Академии
Наук (1817).

Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил
теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих
между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное
решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было
получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об
условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения
уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768
французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным
методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений»,
изданный посмертно в 1831.

Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и
1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по
теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал
известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль
в последующей истории математики. Это – математическая теория
теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех
современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел
дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих
чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения
теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод
разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных
случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление
функций тригонометрическими рядами Фурье.

Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории
уравнений в частных производных при решении граничных задач.

1. Понятие ряда Фурье. (стр. 94, Уваренков)

Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории
упругости, электротехнике и особенно их частный случай –
тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют ряд вида

или, символической записи:

( 1 )

где ?, a0, a1, …, an, …, b0, b1, …,bn, …- постоянные числа (?>0) .

виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в
бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли
для данной функции ?(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который
сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то
говорят, что на этом промежутке функция ?(x) разлагается в
тригонометрический ряд.

(m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области
сходимости ряда) периодической функцией: если Sn(x) – n-я частичная
сумма этого ряда, то имеем

, т. е. S(x0+T)=S(x0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции
?(x) в ряд вида (1), будем предполагать ?(x) периодической функцией.

2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая функция ?(х) с периодом 2? такая, что она
представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в
интервале (-?, ?), т. е. является суммой этого ряда:

. (2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого
равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет
выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из
коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т.
е.. сходится положительный числовой ряд

(3)

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-?,
?). Проинтегрируем обе части равенства (2):

.

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

,

,

.

, откуда

. (4)

Оценка коэффициентов Фурье. (Бугров)

Теорема 1. Пусть функция ?(x) периода 2? имеет непрерывную производную
?(s)(x) порядка s, удовлетворяющей на всей действительной оси
неравенству:

? ?(s)(x)?? Ms; (5)

тогда коэффициенты Фурье функции ? удовлетворяют неравенству

(6)

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что

?(-?) = ?(?), имеем

Поэтому

Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные
??, …, ?(s-1) непрерывны и принимают одинаковые значения в точках t = -?
и t = ?, а также оценку (5), получим первую оценку (6).

Вторая оценка (6) получается подобным образом.

Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ?(x) имеет место неравенство

(8)

Доказательство. Имеем

(9)

и учитывая, что ?(x) – периодическая функция, получим

Складывая (9) и (10), получаем

Отсюда

Аналогичным образом проводим доказательство для bk.

Следствие. Если функция ?(x) непрерывна, то её коэффициенты Фурье
стремятся к нулю: ak ? 0, bk ? 0, k ? ?.

Пространство функций со скалярным произведением.

Функция ?(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она
непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа
точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие точки можно складывать
и умножать на действительные числа и получать как результат снова
кусочно-непрерывные на отрезке [a, b] функции.

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на [a, b] (a 0 ( позднее
будет рассмотрен случай ?

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020