Решение уравнений в целых числах

СОДЕРЖАНИЕ:

Уравнения с одним неизвестным

Уравнения первой степени с двумя неизвестными

Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными

Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными

Р А З Р А Б О Т К А П Р О Г Р А М М

Программа №1 (уравнения с одним неизвестным)

ВВЕДЕНИЕ

Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов
теории чисел – решению уравнений в целых числах.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами
более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших
проблем теории чисел.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для
уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для
уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет
сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть
решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени
с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения
всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления
существования конечного или бесконечного множества таких решений.

В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты,
полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы,
формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти
доказательства достаточно просты.

1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным

– целые числа. Ясно, что решение этого уравнения

, а второе в целых числах неразрешимо.

,иррациональны.

Вопрос о нахождении целых корней уравнения n-ой степени с целыми
коэффициентами

– целый корень этого уравнения. Тогда

, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Так,
например, из чисел 1, -1, 2 и -2, представляющих собой все делители
свободного члена уравнения

. Тем же методом легко показать, что уравнение

в целых числах неразрешимо.

Значительно больший интерес представляет решение в целых числах
уравнении с многими неизвестными.

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

; уравнение (3) принимает вид

, придем к уравнению

взаимно просты.

. Уравнение (3) перепишется так:

, получим

, можно записать в виде

в предыдущее уравнение, тогда

и мы получаем формулы, содержащие все целые решения уравнения (3′):

, для которых

– какое-нибудь решение уравнения

, (3)

Тогда формулы

дают все решения уравнения (3).

– произвольное решение уравнения (3). Тогда из равенств

получаем

имеет вид

– целое. Но тогда

и получаем

в левую часть уравнения (3):

– решение уравнения (3), чем теорема полностью доказана.

, то все остальные решения найдутся из арифметических прогрессий, общие
члены которых имеют вид:

, найденные раньше формулы решений

являются, очевидно, решением уравнения

. Начнем с примера.

Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.

, придем к окончательному результату:

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда

надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепкую дробь,
отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые
были проведены выше.

Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства
цепных дробей.

; точно так же

,…удовлетворяют неравенствам

, (5)

т. е. образуют ряд убывающих неотрицательных чисел.

и алгоритм Евклида для чисел a и b примет вид

(6)

Перепишем полученные равенства в виде

в цепную дробь:

. Точно так же

и т. д.

В силу способа образования подходящих дробей возникают очевидные
неравенства:

;

Отсюда получаем:

Применяя индукцию, докажем, что соотношения того же вида

(7).

. Согласно индукционному предположению

, получим:

, следует, что

удовлетворяет соотношению

. (8)

Действительно,

Пользуясь формулами (7), преобразуем числитель полученной дроби:

. Повторяя такие же преобразования для получающихся выражений, получим,
очевидно, цепь равенств:

Отсюда следует, что

получим

(9)

Вернемся теперь к решению уравнения

(10)

Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим

. Тогда

, (11)

является решением уравнения (10) и согласно теореме все решения этого
уравнения имеют вид

Полученный результат полностью решает вопрос о нахождении всех
целочисленных решений уравнения первой степени с двумя неизвестными.
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых уравнений второй степени.

3. ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

П р и м е р I. Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными:

(12)

выражаются целыми числами.

. Тогда

и уравнение (12) примет вид

Теперь уравнение (12) можно записать в виде

;

, получим

в правую часть уравнения (12), получим

. (13)

. Тогда

, (14)

взаимно просты.

, получим

будут полными квадратами:

Но тогда

(15)

из равенств (14). Сложение этих равенств дает:

. (16)

Вычитая второе из равенств (14) из первого, получим

(17)

, так как иначе из равенств

равенствами

, что ясно из равенств (14).

, получим формулы:

, (18)

числа (18) удовлетворяют этому уравнению.

формулы (18) приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

h–

???????

Как уже было сказано, формулы (18) дают только те решения уравнения

Тем же путем, каким мы получили все решения уравнения (12), могут быть
получены и все решения других уравнений того же типа.

П р и м е р II. Найдем все решения уравнения

(19)

, то из равенства

в правую часть, мы получаем:

. Тогда

– целые числа. Складывая и вычитая эти равенства, мы будем иметь:

нечетно. Поэтому или

числа

взаимно просты, или взаимно просты числа

В первом случае из равенства

следует, что

а во втором случае из равенства

следует

, мы получаем или

или

мы получаем общую формулу

, (19′)

будут действительно взаимно просты и будут решением уравнения (19).

4. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

уравнение

(20)

непосредственно следует соотношение между ними, именно:

или

. (21)

, и т. д.

может быть использовано для разложения этого числа в цепную дробь.
Положим:

Тогда

, и пишем равенство

Продолжая этот процесс, мы получаем ряд равенств:

(24)

мы получим цепную дробь

(24)

можно взять сколь угодно большим, можно записывать и в форме
бесконечной цепной дроби

уравнение (20)

Рассмотрим уравнение общего вида,

(25)

такое уравнение может вообще не иметь решений.

П р и м е р. Покажем, что уравнение

(26)

– целое число, то

, (27)

на основании (26) может быть записано в форме

, которые могли бы удовлетворять уравнению (26).

; другими словами, пусть

(28)

уравнение

(29)

будет:

решение уравнения (29)

Равенство (28) в свою очередь может быть переписано в форме

Перемножая почленно эти два последних равенства, мы получаем

(30)

Но

и совершенно так же

Воспользовавшись этими двумя равенствами, мы можем переписать равенство
(30) в форме

или в форме

, (31)

– любое решение уравнения (29). Таким образом, мы доказали, что если
уравнение (25) имеет хотя бы одно решение, то оно имеет их бесчисленное
множество.

число решений этого уравнения и размножив их с помощью формул (31).
Уравнение (25) при А отрицательном или равном квадрату целого числа
может иметь не более конечного числа решений. Решение самых общих
уравнений второй степени с двумя неизвестными в целых числах, уравнений
вида

(32)

где числа А, В, С, D, Е и F – целые, сводится с помощью замен переменных
к решению уравнений вида (25) с положительным или отрицательным А.
Поэтому характер поведения решений, если они существуют, такой же, как и
у уравнения типа (25). Подводя итог всему изложенному, мы можем теперь
сказать, что уравнение второй степени с двумя неизвестными типа (32)
может не иметь решений в целых числах, может иметь их только в конечном
числе и, наконец, может иметь бесконечное множество таких решений,
причем эти решения берутся тогда из конечного числа обобщенных
геометрических прогрессий, даваемых формулами (31).

ПРОГРАММА №1 (УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ)

n – степень многочлена;

a – коэффициент при x;

c – свободный член уравнения;

d – делитель свободного члена;

w – вспомогательная переменная

для возведения d в степень

аргумента;

x – сумма возведенных d

в степень аргумента

умноженных на a

program matan_1;

uses crt;

var i,n,c,j,k,x,w,q,p:integer; a,d:array[1..100] of integer;

BEGIN

writeln (‘введите степень многочлена’);

readln (n);

for i:=1 to n+1 do begin

if i=n+1 then begin writeln (‘введите свободный коэффициент’);

read (c);end;

if in+1 then begin Writeln (‘введите коэффициент при x^’,n-i+1);

readln (a[i]); end;end;

w:=1;

for j:=1 to c do begin

if c/j= (c div j) then begin d[j]:=-j;

k:=n;

for i:=1 to n do begin

for q:=1 to k do

w:=w*d[j];

x:=x+w*a[i];

k:=k-1;w:=1;end;

if x+c=0 then begin p:=p+1;

writeln(‘целый корень уравнения =’,d[j]);end;

end; x:=0;end;

for j:=1 to c do begin

if c/j= (c div j) then begin d[j]:=j;

k:=n;

for i:=1 to n do begin

for q:=1 to k do

w:=w*d[j];

x:=x+w*a[i];

k:=k-1;w:=1;end;

if x+c=0 then begin p:=p+1;

writeln(‘целый корень уравнения =’,d[j]);end;

end; x:=0;end;

if p=0 then writeln (‘данное уравнение в целых числах неразрешимо’);

readln;readln;

END.

ПРОГРАММА №2 (Уравнения первой степени с двумя неизвестными)

program matan_2;

var p,q,t,n,i,k,x,y,w,r,s,d:integer; a,b,c:array[1..1000]of integer;

BEGIN

writeln(‘вв. при х’); readln(p);

writeln(‘вв. при y’); readln(q);

writeln(‘вв. c’); readln(t);

if p0 then begin n:=n+1;

for i:=n to n do begin

a[i]:=x; b[i]:=y;

c[i]:=x div y;

x:=x-c[i]*y;

k:=k+1;n:=0;r:=r+1;

if (x1) then begin w:=y; y:=x; x:=w;end else k:=0;

end;

end;end;

x:=p;y:=q;

for i:=1 to r do begin

a[i]:=x; b[i]:=y;

c[i]:=x div y;

x:=x-c[i]*y;a[i]:=1;b[i]:=1;

if (x1) then begin w:=y; y:=x; x:=w;end;

end;

for i:=r downto 1 do begin

b[r]:=0;

b[i]:=c[i]*b[i]+a[i];

if i>1 then b[i-1]:=b[i];

if i>2 then a[i-2]:=b[i-1];

end;

if (p*b[1]+q*a[1]+t)=0 then begin

writeln(‘корни уравнения x=’,b[1],’y=’,a[1]);

writeln (‘все его решения будут содержаться в прогрессиях’);

writeln(‘x=’,b[1],’+’,q,’*’,’t’);

writeln(‘y=’,a[1],’+’,p,’*’,’t’);end;

readln;

END.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сравнивая поведение и характер решений уравнений второй степени с двумя
неизвестными в целых числах с поведением решений уравнений первой
степени, мы можем установить одно весьма существенное обстоятельство.
Именно, если решения уравнения первой степени, когда они существуют,
образуют арифметические прогрессии, то решения уравнения второй степени,
когда их имеется бесконечно много, берутся из конечного числа обобщенных
геометрических прогрессий. Другими словами, в случае второй степени пары
целых чисел, которые могут быть решениями уравнения, встречаются
значительно реже, чем пары целых чисел, которые могут быть решениями
уравнения первой степени. Это обстоятельство не случайно. Оказывается,
что уравнения с двумя неизвестными степени выше второй, вообще говоря,
могут иметь только конечное число решений. Исключения из этого правила
крайне редки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. -4-е изд. –

М.: Наука, 1983. – 64 с. – (Популярные лекции по математике).

PAGE

PAGE 2

c/j=(c div j)

d[j]:=-j

d[j]:=j

w:=w*d[j];

x:=x + w*a[i];

x + c=0

d[j]