Основная часть:
Применение графиков в решении уравнений.
I)Графическое решение квадратного уравнения:
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;
Перепишем его так:x2=-px-q.(1)
Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.
График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая
зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1)
видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек
обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х
соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то
есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим
параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.
Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения
являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не
требуется большой точности.
Примеры:
1.Решить уравнение:4×2-12x+7=0
Представим его в виде x2=3x-7/4.
Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.
Рисунок 1.
Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и
(2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8
и x2=2.2 (см. рисунок 1).
2.Решить уравнение : x2-x+1=0.
Запишем уравнение в виде: x2=x-1.
Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не
пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.
Рисунок 2.
Проверим это. Вычислим дискриминант:
D=(-1)2-4=-3-2.
Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке
[-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству
24, содержащее параметр а, естественно,
требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство ?1+х
+ ?1-х>1.
Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает
решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств,
которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые
значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем
первого, так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит
определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и
для всех таких значений параметров найти все решения.
Пример1:
Решить неравенство|х-а|+|х+а|0.
Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся
геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики
функций.
Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.
Очевидно, что при b2|a|, то прямая y=b пересекает
график функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и
неравенство в этом случае справедливо при –b/2
III) Тригонометрические неравенства:
При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно
используется периодичность этих функций и их монотонность на
соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства.
Функция sin x имеет положительный период 2?. Поэтому неравенства вида:
sin x>a, sin x>=a,
sin x-1/2.(рисунок 10)
Сначала решим это неравенство на отрезке[-?/2;3?/2]. Рассмотрим его
левую часть – отрезок [-?/2;3?/2].Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно
решение х=-?/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если
–?/2sin(-?/6) = –1/2.
Все эти значения х не являются решениями неравенства.
На оставшемся отрезке [?/2;3?/2] функция sin x монотонно убывает и
уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7?/6. Следовательно, если
?/2sin(7?/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются
решениями неравенства. Для x Є[7?/6;3?/2] имеем sin x
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
