.

Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 801
Скачать документ

Основная часть:

Применение графиков в решении уравнений.

I)Графическое решение квадратного уравнения:

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;

Перепишем его так:x2=-px-q.(1)

Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая
зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1)
видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек
обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х
соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то
есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.

Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим
параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.

Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения
являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не
требуется большой точности.

Примеры:

1.Решить уравнение:4×2-12x+7=0

Представим его в виде x2=3x-7/4.

Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.

Рисунок 1.

Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и
(2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8
и x2=2.2 (см. рисунок 1).

2.Решить уравнение : x2-x+1=0.

Запишем уравнение в виде: x2=x-1.

Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не
пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.

Рисунок 2.

Проверим это. Вычислим дискриминант:

D=(-1)2-4=-3<0,А поэтому уравнение не имеет корней.3. Решить уравнение: x2-2x+1=0Рисунок 3.II) Системы уравнений.Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х2 –2 –парабола, уравнения х2 +у2=4 – окружность, и т.д..Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения.Пример1:решить систему ? x2 +y2 =25 (1)?y=-x2+2x+5 (2)Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):х2 +у2=25 и у=-х2+2х+5Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:х1?-2,2 , у1?-4,5; х2?0, у2?5;х3?2,2 , у3?4,5; х4?4, у4?-3.Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье – приближёнными.III)Тригонометрические уравнения:Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере.Рисунок5.Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2?п,где пЄZ и х=?/2+2?k,где kЄZ(Обязательно проверить это вычислениями). Рисунок 6.Применение графиков в решении неравенств.1)Неравенства с модулем.Пример1.Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.На интеграле(-1;-?) по определению модуля имеем |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству –2х<4,которое справедливо при х>-2.
Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке
[-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству
2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.На интеграле (1;+?) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.Рисунок 7.На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)II)Неравенства с параметрами.Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.Например, неравенство?а+х+?а-х>4, содержащее параметр а, естественно,
требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство ?1+х
+ ?1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает
решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств,
которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые
значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем
первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит
определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и
для всех таких значений параметров найти все решения.

Пример1:

Решить неравенство|х-а|+|х+а|0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся
геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики
функций.

Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.

Очевидно, что при b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b пересекает
график функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и
неравенство в этом случае справедливо при –b/22|a|, то x ?(-b/2;b/2).

III) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно
используется периодичность этих функций и их монотонность на
соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства.
Функция sin x имеет положительный период 2?. Поэтому неравенства вида:
sin x>a, sin x>=a,

sin x-1/2.(рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке[-?/2;3?/2]. Рассмотрим его
левую часть – отрезок [-?/2;3?/2].Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно
решение х=-?/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если
–?/2<=x<= -?/6, то sin x<=sin(-?/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –?/6<х<=?/2 то sin x>sin(-?/6) = –1/2.
Все эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [?/2;3?/2] функция sin x монотонно убывает и
уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7?/6. Следовательно, если
?/2<=x<7?/, то sin x>sin(7?/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются
решениями неравенства. Для x Є[7?/6;3?/2] имеем sin x<= sin(7?/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются . Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-?/2;3?/2] есть интеграл (-?/6;7?/6).В силу периодичности функции sin x с периодом 2? значения х из любого интеграла вида: (-?/6+2?n;7?/6 +2?n),nЄZ, также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются .Ответ: -?/6+2?n

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019