Графическое решение уравнений, неравенств, систем с
параметром.
(алгебра и начала анализа)
Исполнитель: Зырянов Р.Б.
Руководитель: Попова Н.Б.
Екатеринбург 1998
Оглавление
I. Введение
II. Уравнения с параметрами.
(1. Определения.
(2. Алгоритм решения.
(3. Примеры.
III. Неравенства с параметрами.
(1. Определения.
(2. Алгоритм решения.
(3. Примеры.
IV. Список литературы.
V. Приложения.
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей
часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также
включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы,
которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода
к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного
курса математики рассматривается только на немногочисленных
факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы,
выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.
На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом
решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений,
неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в
процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при
поступлении а ВУЗ.
(1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
((a, b, c, …, (, x)=((a, b, c, …, (, x), (1)
где a, b, c, …, (, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают
действительные значения, называется системой допустимых значений
переменных a, b, c, …, (, x. Пусть А – множество всех допустимых
значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х –
множество всех допустимых значений х, т.е. а(А, b(B, …, x(X. Если у
каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно
по одному значению a, b, c, …, ( и подставить их в уравнение (1), то
получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, (, которые при решении уравнения считаются
постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется
уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d,
…, (, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях
параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются
равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и
наоборот.
(2. Алгоритм решения.
Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от х.
В системе координат хОа строим график функции а=((х) для тех значений
х, которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой а=с, где с((-(;+() с графиком функции
а=((х).Если прямая а=с пересекает график а=((х), то определяем абсциссы
точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=((х)
относительно х.
Записываем ответ.
(3. Примеры
I. Решить уравнение
(1)
Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение
относительно а :
График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного
уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и
прямой у=а.
относительно х.
.
, получаем
.
, то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно
решений нет.
Ответ:
;
;
, то решений нет.
имеет три различных корня.
Решение.
.
и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде
.
III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
имеет решения.
Решение.
“скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на
множители
, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства
“полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных
прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В
(точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
.
определим из условия существования единственного решения системы
В этом случае уравнение
имеет один корень, откуда находим :
имеет хотя бы одно решение.
;+().
IV. Решить уравнение
Решение.
, заданное уравнение перепишем в виде
Это уравнение равносильно системе
перепишем в виде
. (*)
графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.
являются решениями уравнения (*).
.
Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения
(*) будут удовлетворять условиям
. Система примет вид
исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3;
5).
. Система неравенств примет вид
.
Ответ:
если а( (-(;3), то решений нет;
если а=3, то х( [3;5);
;
если a( [7;((), то решений нет.
V. Решить уравнение
, где а – параметр. (5)
Решение.
;
.
.
По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет
решение и при каких – не имеет решения.
Ответ:
;
, то решений нет;
.
, при которых системы
(1)
и
(2)
имеют одинаковое число решений ?
Решение.
, получаем после преобразований систему
(3)
равносильную системе (1).
Система (2) равносильна системе
(4)
и система (4) имеет пять решений.
, то таких решений будет больше, чем четыре.
.
Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой
системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в
первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в
плоскости хОу семейство прямых.
).
Для решения этого рассмотрим уравнение
,
которое удобнее переписать в виде
Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D
последнего уравнения:
, то система (3) имеет два решения;
, то система (3) имеет три решения;
, то система (3) имеет четыре решения.
.
II. Неравенства с параметрами.
(1. Основные определения
Неравенство
((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x), (1)
где a, b, c, …, ( – параметры, а x – действительная переменная
величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим
параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0,
при некоторой функции
((a, b, c, …, (, x) и
((a, b, c, …, (, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой
допустимых значений параметров.
называется допустимым значением х, если
((a, b, c, …, (, x) и
((a, b, c, …, (, x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений
параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения
неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1),
если неравенство
((a, b, c, …, (, x0)>((a, b, c, …, (, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим
решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров
существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x) и (1)
((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при
одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.
(2. Алгоритм решения.
Находим область определения данного неравенства.
Сводим неравенство к уравнению.
Выражаем а как функцию от х.
В системе координат хОа строим графики функций а =( (х) для тех значений
х, которые входят в область определения данного неравенства.
Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
Исследуем влияние параметра на результат.
найдём абсциссы точек пересечения графиков.
зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -( до+(
Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с
использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения,
с использованием стандартной системы координат хОy.
(3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
данное неравенство равносильно системе неравенств
.
.
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
(*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх
на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с
центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет
пересечение заштрихован
находятся из системы
находятся из системы
Решая эти системы, получаем, что
в зависимости от значений параметра а.
Решение.
Построим график функции в системе координат хОу.
неравенство решений не имеет.
.
IV. Решить неравенство
Решение.
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для
чего перейдем к равенству :
Разложим числитель на множители.
то
.
3. Строим в ПСК хОа графики функций
и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось
девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего
берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
–
5. Найдем точки пересечения графиков
6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -( до +(.
Ответ.
решений нет
Литература
Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа –
Пресс”. Москва 1996 г.
Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных
экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск
1995 г.
Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство
“Школа – Пресс”. Москва 1986 г.
Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство
“Айрис”. Москва 1996 г.
Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”.
Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука”
физико–математическая литература. Москва 1977 г.
Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство
“Асар”. Минск 1996 г.
PAGE
PAGE XXII
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
