.

Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 712
Скачать документ

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с
параметром.

(алгебра и начала анализа)

Исполнитель: Зырянов Р.Б.

Руководитель: Попова Н.Б.

Екатеринбург 1998

Оглавление

I. Введение

II. Уравнения с параметрами.

(1. Определения.

(2. Алгоритм решения.

(3. Примеры.

III. Неравенства с параметрами.

(1. Определения.

(2. Алгоритм решения.

(3. Примеры.

IV. Список литературы.

V. Приложения.

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей
часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также
включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы,
которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода
к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного
курса математики рассматривается только на немногочисленных
факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы,
выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.
На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом
решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений,
неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в
процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при
поступлении а ВУЗ.

(1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

((a, b, c, …, (, x)=((a, b, c, …, (, x), (1)

где a, b, c, …, (, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают
действительные значения, называется системой допустимых значений
переменных a, b, c, …, (, x. Пусть А – множество всех допустимых
значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х –
множество всех допустимых значений х, т.е. а(А, b(B, …, x(X. Если у
каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно
по одному значению a, b, c, …, ( и подставить их в уравнение (1), то
получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, (, которые при решении уравнения считаются
постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется
уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d,
…, (, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях
параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются
равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и
наоборот.

(2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=((х) для тех значений
х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с((-(;+() с графиком функции
а=((х).Если прямая а=с пересекает график а=((х), то определяем абсциссы
точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=((х)
относительно х.

Записываем ответ.

(3. Примеры

I. Решить уравнение

(1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение
относительно а :

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного
уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и
прямой у=а.

относительно х.

.

, получаем

.

, то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно
решений нет.

Ответ:

;

;

, то решений нет.

имеет три различных корня.

Решение.

.

и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

.

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений

имеет решения.

Решение.

“скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на
множители

, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства
“полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных
прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В
(точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

.

определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим :

имеет хотя бы одно решение.

;+().

IV. Решить уравнение

Решение.

, заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

перепишем в виде

. (*)

графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

являются решениями уравнения (*).

.

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения
(*) будут удовлетворять условиям

. Система примет вид

исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3;
5).

. Система неравенств примет вид

.

Ответ:

если а( (-(;3), то решений нет;

если а=3, то х( [3;5);

;

если a( [7;((), то решений нет.

V. Решить уравнение

, где а – параметр. (5)

Решение.

;

.

.

По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет
решение и при каких – не имеет решения.

Ответ:

;

, то решений нет;

.

, при которых системы

(1)

и

(2)

имеют одинаковое число решений ?

Решение.

, получаем после преобразований систему

(3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

(4)

и система (4) имеет пять решений.

, то таких решений будет больше, чем четыре.

.

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой
системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в
первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в
плоскости хОу семейство прямых.

).

Для решения этого рассмотрим уравнение

,

которое удобнее переписать в виде

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D
последнего уравнения:

, то система (3) имеет два решения;

, то система (3) имеет три решения;

, то система (3) имеет четыре решения.

.

II. Неравенства с параметрами.

(1. Основные определения

Неравенство

((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x), (1)

где a, b, c, …, ( – параметры, а x – действительная переменная
величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим
параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0,
при некоторой функции

((a, b, c, …, (, x) и

((a, b, c, …, (, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой
допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

((a, b, c, …, (, x) и

((a, b, c, …, (, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений
параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения
неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1),
если неравенство

((a, b, c, …, (, x0)>((a, b, c, …, (, x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим
решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров
существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x) и (1)

((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при
одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

(2. Алгоритм решения.

Находим область определения данного неравенства.

Сводим неравенство к уравнению.

Выражаем а как функцию от х.

В системе координат хОа строим графики функций а =( (х) для тех значений
х, которые входят в область определения данного неравенства.

Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

Исследуем влияние параметра на результат.

найдём абсциссы точек пересечения графиков.

зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -( до+(

Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с
использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения,
с использованием стандартной системы координат хОy.

(3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

.

.

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх
на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с
центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет
пересечение заштрихован

находятся из системы

находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

в зависимости от значений параметра а.

Решение.

Построим график функции в системе координат хОу.

неравенство решений не имеет.

.

IV. Решить неравенство

Решение.

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для
чего перейдем к равенству :

Разложим числитель на множители.

то

.

3. Строим в ПСК хОа графики функций

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось
девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего
берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -( до +(.

Ответ.

решений нет

Литература

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа –
Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных
экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск
1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство
“Школа – Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство
“Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”.
Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука”
физико–математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство
“Асар”. Минск 1996 г.

PAGE

PAGE XXII

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019