.

Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 550
Скачать документ

Міністерство освіти України

ДАЛПУ

Кафедра автоматизації

технологічних процесів і приладобудування

КУРСОВА РОБОТА

з курсу “Математичне моделювання на ЕОМ”

на тему “Розв’язок диференціального рівняння

виду апу(п)+ап-1у(п-1)+…+а1у1+а0у=кх при заданих

початкових умовах з автоматичним вибором кроку

методом Ейлера”

Виконала
студентка групи БА-4-97

Богданова
Ольга Олександрівна

Холоденко
Вероніка Миколаївна

Перевірила
Заргун Валентина Василівна

1998

Блок-схема алгоритма

Блок-схема алгоритма

начало

у/=f(x,y)

y(x0)=y0

x0, x0+a

h, h/2

k:=0

xk+1/2:=xk+h/2

yk+1/2:=yk+f(xk, yk)h/2

?k:=
f(xk+1/2, yk+1/2)

xk+1:=xk+h

yk+1:=yk+?kh

нет k:=n

да

x0, y0,

x1, y1…

xn, yn

конец

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом – это
значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа
у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что
уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции

У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной
последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом
интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде
таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является
сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных
расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются
исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

y/=f(x,y) (1)

с начальным условием

x=x0, y(x0)=y0 (2)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность
х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг
интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(хi)(yi вычисляются
последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку
М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi)
(i=0,1,2,…); каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной
Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной
кривой уравнения (1), которая проходит через точку Мi.

Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике
R{|x-x0|(a, |y-y0|(b}удовлетворяет условиям:

|f(x, y1)- f(x, y2)| ( N|y1-y2| (N=const),

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| ( M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(xn)-yn| ( hM/2N[(1+hN)n-1], (3)

где у(хn)-значение точного решения уравнения(1) при х=хn, а уn-
приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике
иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется
с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2.
Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой

|yn-y(xn)|(|yn*-yn|.

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных
уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние
должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных
уравнений первого порядка.

Модифицированный метод Эйлера более точен.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y/=f(x,y)

с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n

равных частей. На малом
участке [x0,x0+h]

у
интегральную кривую заменим прямой

Nk/ y=y(x)
линией. Получаем точку Мк(хк,ук).

Мк Мк/

yk+1

yk

хк хк1/2 xk+h=xk1 х

Через Мк проводим касательную: у=ук=f(xk,yk)(x-xk).

Делим отрезок (хк,хк1) пополам:

xNk/=xk+h/2=xk+1/2

yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2

Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную:

y(xk+1/2)=f(xk+1/2,
yk+1/2)=?k

Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом ?к и определяем
точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В
качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк/. Тогда:

ук+1=ук+?кh

xk+1=xk+h

(4) ?k=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2)

yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h

(4)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2
в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (1) в
средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.

Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом
h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

| ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk),

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков.
Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c
начальными условиями y/(x0)=y/0, y(x0)=y0, выполняется замена:

y/=z

z/=f(x,y,z)

Тем самым преобразуются начальные условия: y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.

РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА

Приведем расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего
порядка методом Эйлера

1. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

y/=2x-y

Требуется найти решение на отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2

Начальные условия: у0=1;

Пользуясь рекурентными формулами (4), находим:

1). x1=0,2; х1/2=0,1; y(x1)=y(x0)+?0h; y(x1/2)=y(x0)+f(x0,y0)h/2;

f(x0,y0)=2(0-1=-1

y(x1/2)=1-1(0,1=0,9

?0=2(0,1-0,9=-0,7

y1=1-0,1(0,2=0,86

2). y(x2)=y(x1)+?1h; x2=0,2+0,2=0,4; x1+1/2=x1+h/2=0,2+0,1=0,3

y(x1+1/2)=y(x1)+f(x1,y(x1))h/2

f(x1,y1)=2(0,2-0,86=-0,46

y(x1+1/2)=0,86-0,46(0,1=0,814

?1=2*0,3-0,814=-0,214

y2=0,86-0,214*0,2=0,8172

3). x3=0,4+0,2=0,6; x2+1/2=x2+h/2=0,4+0,1=0,5

f(x2,y2)=2*0,4-0,8172=-0,0172

y2+1/2=0,8172-0,0172*0,1=0,81548

?2=2*0,5-0,81548=0,18452

y3=0,8172+0,18452*0,2=0,854104

4).x4=0,8; x3+1/2=x3+h/2=0,6+0,1=0,7

f(x3,y3)=2*0,6-0,854104=0,345896

y3+1/2=0,854104+0,345896*0,1=0,8886936

?3=2*0,7-0,89=0,5113064

y4=0,854104+0,5113064*0,2=0,95636528

5).x5=1; x4+1/2=0,8+0,1=0,9

f(x4,y4)=2*0,8-0,956=0,64363472

y4+1/2=0,956+0,643*0,1=1,020728752;

?4=2*0,9-1,02=0,779271248

y5=0,956+0,7792*0,2=1,11221953

2. Дано уравнение второго порядка:

y//=2x-y+y/

Находим решение на том же отрезке [0,1] c шагом h=0,2;

Замена: y/=z

z/=2x-y+z

Начальные условия: у0=1

z0=1

1).x1=0,2; x1/2=0,1

y(z1)=y(z0)+?0h
z(x1,y1)=z(x0,y0)+?0h

y(z1/2)=y(z0)+f(z0,y0)h/2
z(x1/2,y1/2)=z(x0,y0)+f(x0,y0,z0)h/2

f(z0,y0)=f10=1
f(x0,y0,z0)=f20=2*0-1+1=0

y1/2=1+1*0,1=1,1 z1/2=1+0*0,1=1

?0=z0=1
?0=2*0,1-1,1+1=0,1

y1=1+0,2*1=1,2 z1=1+0,2*0,1=1,02

2).x2+0,4; x1+1/2=0,3

f11=z1=1,02
f21=2*0,2-1,2+1,02=0,22

y1+1/2=1,2+1,02*0,1=1,1
z1+1/2=1,02+0,22*0,1=1,042

?1=z1+1/2=1,042
?1=2*0,3-1,302+1,042=0,34

y2=1,2+1,042*0,2=1,4084 z2=1.02+0,34*0,2=1,088

3).x3=0,6; x2+1/2=0,5

f12=z2=1,088
f22=2*0,4-1,4084+1,088=0,4796

y2+1/2=1,4084+1,088*0,1=1,5172
z2+1/2=1,088+0,4796*0,1=1,13596

?2=z2+1/2=1,13596
?2=2*0,5-1,5172+1,13596=0,61876

y3=1,4084+1,136*0,2=1,635592 z3=1,088+0,61876*0,2=1,211752

4).x4=0,8; x3+1/2=0,7

f13=z3=1,211752
f23=2*0,6-1,636+1,212=0,77616

y3+1/2=1,636+1,212*0,1=1,7567672 z3+1/2=1,212+0,776*0,1=1,289368

?3=z3+1/2=1,289368
?3=2*0,7-1,7568+1,289=0,9326008

y4=1,6+1,289*0,2=1,8934656 z4=1,212+0,93*0,2=1,39827216

5).x5=1; y4+1/2=0,9

f14=z4=1,39827216
f24=2*0,8-1,893+1,398=1,10480656

y4+1/2=1,893+1,398*0,1=2,0332928
z4+1/2=1,398+1,105*0,1=1,508752816

?4=z4+1/2=1,508752816
?4=2*0,9-2,03+1,5=1,27546

y5=1,893+1,5*0,2=2,195216163 z5=1,398+1,275*0,2=1,65336416

3. Чтобы решить уравнение третьего порядка

y///=2x-y-y/+y//

на отрезке [0,1], с шагом h=0,2 и начальными условиями

y0//=1

y0/=1

y0=1

необходимо сделать 3 замены: y/=a
y0/=a0=1

y//=a/=b
y0//=b0=1

b/=2x-y-a+b

1).x1=0,2; x1/2=0,1

y(a1)=y(a0)+a0h
y(a1/2)=y(a0)+f10h/2

a(b1)=a(b0)+?0h
a(b1/2)=a(b0)+f20h/2

b(x1,y1,a1)=b(x0,y0,a0)+?0h
b(x1/2,y1/2,a1/2)=b(x0,y0,a0)+f30h/2

f10=f(a0,y(a0))=1
y1/2=1+1*0,1=1,1

f20=f(b0,a(b0))=1
a1/2=1+1*0,1=1,1

?0=a1/2=1,1
y(a1)=1+1,1*0,2=1,22

?0=b1/2=0,9
a(b1)=1+0,9*0,2=1,18

?0=2*0,1-1,1-1,1+0,9=-1,1
b(x1,y1,a1)=1-1,1*0,2=0,78

2).x2=0,4; x1+1/2=x1+h/2=0,3

f11=a1=1,18
y1+1/2=1,22+1,18*0,1=1.338

f21=b1=0,78
a1+1/2=1,18+0,78*0,1=1,258

?1=a1+1/2=1,258
y2=1,22+1,258*0,2=1,4716

?1=b1+1/2=0,658
a2=1,18+0,658*0,2=1,3116

?1=2*0,3-1,338-1,258+0,658=-1,338 b2=0,78-1,338*0,2=0,5124

3).x3=0,6; x2+1/2=0,5

f12=a2=1,3116
y2+1/2=1,47+1,3*0,1=1,60276

f22=b2=0,5124
a2+1/2=1,3116+0,5*0,1=1.36284

?2=1,36284
y3=1,4716+1,3116*0,2=1,744168

?2=0,36542
a3=1,3116+0,3654*0,2=1,384664

?2=2*0,5-1,6-1,36+0,365=-1,60018 b3=
0,51-1,60018*0,2=0,192364

4).x4=0,8; x3+1/2=0,7

f13=1,384664
y3+1/2=1,74+1,38*0,1=1,8826364

f23=0,192364
a3+1/2=1,38+0,19*0,1=1,4039204

f33=2*0,6-1,7-1,38+0,19=-1,736488
b3+1/2=0,19-1,7*0,1=0,0187152

?3=1,4039204
y4=1,74+1,4*0,2=2,0249477

?3=0,0187152
a4=1,38+0,9187*0,2=1,388403

?3=2*0,7-1,88-1,4+0,0187=-1,8678416 b4=0,192-1,87*0,2=-0,1812235

5).x4=1; x4+1/2=0,9

f14=1,388403
y4+1/2=2,02+1,388*0,1=2,16379478

f24=-0,1812235
a4+1/2=1,4-0.181*0,1=1,370306608

f34=2*0,8-2,02-1,388-0,18=-1,9945834
b4+1/2=-0,18-1,99*0,1=-0,38066266

?4=1,3703
y5=2,02+1,37*0,2=2,2990038

?4=-0,38066
a5=1,388-0,38*0,2=1,3122669

?4=2*0,9-2,16-1,37-0,38=-2,114764056
b5=-0,181-2,1*0,2=-0,6041734

Программа на Turbo Pascal

uses crt,pram,kurs1_1;

var

yx,xy,l,v,p,ff,ay,by,x:array [0..10] of real;

y,a,b:array[0..10,0..1] of real;

i,n,o:integer;

c,d,h,k:real;

label

lap1;

begin

screen1;

clrscr;

writeln(‘введите наивысший порядок производной не больше трех ‘);

readln(n);

if n=0 then begin

writeln(‘это прямолинейная зависимость и решается без метода Эйлера ‘);

goto lap1;end;

writeln(‘введите коэффициенты {a0,a1}’);

for i:=0 to n do

readln(l[i]);

if (n=1) and (l[1]=0) or (n=2) and (l[2]=0) or (n=3) and (l[3]=0) then
begin

writeln(‘деление на ноль’);

goto lap1;

end;

writeln(‘введите коэффициент при x’);

readln(k);

writeln(‘введите отрезок ‘);

readln(c,d);

o:=5;

h:=abs(d-c)/o;

writeln(‘шаг=’,h:1:1);

writeln(‘задайте начальные условия y(x)= ‘);

for i:=0 to n-1 do

readln(v[i]);

if n=3 then begin

yx[0]:=v[0];

ay[0]:=v[1];

by[0]:=v[2];

p[0]:=(k*c-l[0]*v[0]-l[1]*v[1]-l[2]*v[2])/l[3];

x[0]:=c;

gotoxy(32,1);

write(‘ ‘);

gotoxy(32,2);

write(‘ x y a b ‘);

gotoxy(32,3);

write(‘ ‘,c:7:7,’ ‘,yx[0]:7:7,’ ‘,ay[0]:7:7,’ ‘,by[0]:7:7,’ ‘);

for i:=0 to o-1 do begin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];

a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*by[i];

b[i,1]:=by[i]+(h/2)*p[i];

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1]-l[2]*b[i,1])/l[3];

xy[i]:=x[i]+h/2;

yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];

ay[i+1]:=ay[i]+h*b[i,1];

by[i+1]:=by[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1]-l[2]*by[i+1])/l[3];

end;

for i:=0 to o-1 do begin

gotoxy(32,4+i);

write(‘ ‘,xy[i]:7:7,’ ‘,yx[i+1]:7:7,’ ‘,ay[i+1]:7:7,’
‘,by[i+1]:7:7,’ ‘);

end;

gotoxy(32,4+o);

write(‘ ‘);

end;

if n=2 then begin

x[0]:=c;

yx[0]:=v[0];

ay[0]:=v[1];

p[0]:=(k*c-l[0]*yx[0]-l[1]*v[1])/l[2];

gotoxy(32,1);

write(‘ ‘);

gotoxy(32,2);

write(‘ x y a ‘);

gotoxy(32,3);

write(‘ ‘,c:7:7,’ ‘,yx[0]:7:7,’ ‘,ay[0]:7:7,’ ‘);

for i:=0 to o-1 do begin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];

a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*p[i];

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1])/l[2];

xy[i]:=x[i]+h/2;

yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];

ay[i+1]:=ay[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1])/l[2];

end;

for i:=0 to o-1 do begin

gotoxy(32,4+i);

write(‘ ‘,xy[i]:7:7,’ ‘,yx[i+1]:7:7,’ ‘,ay[I+1]:7:7,’ ‘);

end;

gotoxy(32,4+o);

write(‘ ‘);

end;

if n=1 then begin

x[0]:=c;

yx[0]:=v[0];

p[0]:=(k*x[0]-l[0]*yx[0])/l[1];

for i:=0 to o-1 do begin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*p[i];

xy[i]:=x[i]+h/2;

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1])/l[1];

yx[i+1]:=yx[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1])/l[1];

end;

gotoxy(32,1);

write(‘ ‘);

gotoxy(32,2);

write(‘ x y ‘);

gotoxy(32,3);

write(‘ ‘,c:7:7,’ ‘,yx[0]:7:7,’ ‘);

for i:=0 to o-1 do begin

gotoxy(32,4+i);

write(‘ ‘,xy[i]:7:7,’ ‘,yx[i+1]:7:7,’ ‘);

end;

gotoxy(32,o+4);

write(‘ ‘);

end;

lap1:readln;

pramo;

delay(10000);

clrscr;

end.

ЗАПУСК ПРОГРАММЫ НА ВЫПОЛНЕНИЕ

Программа находится в файле kursova1.pas, и имеет 2 модуля, в которых
содержатся заставки. Модули находятся в файлах pram.tpu и kurs1_1.tpu.

Для запуска файла kursova1.pas в Turbo Pascal необходимо нажать F9.
Появится первая заставка, далее нажать enter и ввести все необходимые
начальные условия: порядок производной, коэффициенты при членах рада,
отрезок и начальные значения у(х0). На экране выводится шаг вычисления и
таблица с ответами. После нажатия enter выводится вторая заставка, после
чего мы возвращаемся к тексту программы.

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

1 – ввод данных, используемых в программе

2 – использование метки, очистка экрана, ввод требований, решение

дифференциального уравнения в зависимости от ввода начальных

условий

3 – присвоение начальных условий для дифференциального уравнения

третьего порядка

4 – вывод таблицы со значениями

5 – ввод формул метода Эйлера для уравнения третьего порядка

6 – присвоение начальных условий для решения дифференциального

уравнения второго порядка

7 – вывод таблицы для уравнения второго порядка

8 – формулы метода Эйлера для уравнения второго порядка

9 – начальные условия для дифференциального уравнения первого порядка

10 – формулы метода Эйлера для решения уравнения первого порядка

11 – вывод таблицы

12 – обращение к метке, задержка для просмотра результатов, очистка

экрана, конец программы.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019