Рассмотрим подробнее проективные преобразования одномерных многообразий,
здесь можно ограничится случаем преобразования прямой на прямую. Как
установили ранее, в неоднородных проективных координат на прямой это
преобразование имеет вид дробно-линейной функции (1)
х/=???х+???????х+? , причем, чтобы существовало обратное проективное
преобразование, необходимо, чтобы величина ??????????0. Запишем
преобразование (1) в виде функции х/= f(x).
Пусть данное отображение применяется последовательно два раза: х/= f(x),
x//= f(x/)= f(f(x)). Тогда, если для любого элемента х одномерного
многообразия (на прямой) выполняется соотношение x//= f(x/)= х (то есть
дважды преобразованный возвращается в себя) , то такое проективное
отображение называется инволюционным или инволюцией. Инволюция
характеризуется еще и тем, что x= f(x/), т. е. обратное отображение х/=
х совпадает с исходным х= х/. Найдем условие на коэффициенты в (1), при
которых проективное отображение является инволюцией. Для этого из (1)
выразим х через х/ : (??x /- ??)x= -???x/ + ?????x= -???x/+??????x /-
??(2). Из сравнения (1) и (2) видно, что отображения одинаковы тогда,
когда либо:
а) ??=-?????????????любые
б) ??=??????=???= 0 – но это тождественное отображение, которое
исключим из рассмотрения.
Таким образом, из случая а) вытекает форма инволюционого проективного
отображения х/= ??х+??????х-???, где -?????????????обозначим ??=
-??????
Неподвижной точкой любого отображения называется точка, остающаяся
неизменной после отображения. Для инволюции это означает , что х =х/=
??х+??????х-???.
Решим последнее уравнение относительно х (3) ??х2-2???х-??= 0 –
квадратное относительно х.
Это означает, что при инволюционном отображении число неподвижных точек
не может быть больше 2.Дискреминант уравнения (3) есть ??????=-??
Если -?????(дискриминант отрицательный), то уравнение (3) не имеет
действительных корней, то есть нет ни одной неподвижной точки. Такая
инволюция называется эллиптической (ее условие –??????????
Если -???????то есть ??????-???????????то уравнение (3) имеет два
действительных корня или две неподвижные точки- называется такая
инволюция гиперболической.
Если ??????то есть ?-???????????параболическая инволюция, но в этом
случае такое отображение не входят в группу проективных преобразований,
так как оно не взаимно однозначно.
Существует теорема , что для однозначного определения инволюции надо
задать две пары соответствующих точек на прямой, в отличии от общих
формул проективного отображения прямой на прямую, где надо задать три
пары точек.
Следующий инвариант проективной геометрии – сложное отношение четырех
точек на прямой.
Оно определяется так :Пусть М1,М2,M3,M4-четыре точки некоторой
проективной прямой. Введем систему проективных неоднородных координат ,
и обозначим через t1,,t2,t3,t4, координаты заданных точек. Можно
показать, что величина (t3-t1)/(t2-t3):(t4-t1)/(t2–t4 )
не зависит от выбора координатной системы, а определяется только
положением точек на прямой.
Эта величина обозначается (М1 М2 M3 M4)= (t3-t1)/(t2-t3):(t4-t1)/(t2–t4
) и называется сложным отношением четырех точек (СОЧТ).
Непосредственным вычислением можно показать, что выполняются два
свойства СОЧТ.
1) (М1 М2 M3 M4)=(M3M4M1M2)
2) (М1 М2 M3 M4)= 1/ (М1 М2 M3 M4) то есть СОЧТ не меняется при
перестановке первой и второй пар точек , изменяется на обратную величину
при перестановке точек внутри какой-нибудь пары.
Важная теорема проективной геометрии гласит.
При любом проективном отображении прямой а на прямую а/ сложное
отношение произвольной группы точек М1 М2 М3 М4 прямой а равно
сложному отношению соответствующих им точек М1/ M2/ M3/ M4/ прямой а/
.
Частным ее случаем является утверждение:
В плоскости ??заданы две прямые а и а/ ,задана произвольная точка S
,принадлежащая плоскости ??,но не лежащая на прямых а и а/. Тогда,
сложное отношение любой четверки точек М1 М2 М3 М4 прямой а равно
сложному отношению их проекций М1/ М2/ М3/ М4/ из центра S на прямую а/
.
Аналогичное утверждение можно сформулировать для плоского пучка из
четырех лучей m1 m2 m3 m4
Любая прямая, пересекающая эти четыре луча в
четырех точках, имеет для этих четырех точек одно и тоже сложное
отношение.
(М1 М2 М3 М4)=инвариант
проективной геометрии
или, что тоже самое (m1 m2 m3 m4 ) – инвариант проективной геометрии
Основной вывод : Сложное отношение четырех элементов одномерного
многообразия – есть инвариант проективных отображений. Можно показать,
что если пара точек А ,В гармонически разделяет пару точек С,D, то
сочетание (А В С D)=-1.Оно вытекает из свойства гармонического
сопряжения , когда каждая точка первой пары делит отрезок, образуемый
второй парой точек внутренним и внешним образом в одинаковом отношении
АС/AD=BC/BD или через неоднородные координаты ti точек (1,2,3,4)
соответствует ( A , B , C , D )
(t3 – t1)/(t1 – t4) = (t2 – t3)/(t2 – t4) или (t3 – t1)/(t2 – t3) =
– (t4 – t1)/(t2 – t4) или ((t3 – t1)/(t2 – t3))/((t4 – t1)/(t2 –
t4))=-1
Матрицы проективных преобразований.
Представим перспективную проекцию объекта как проективное преобразование
с центром проекции на оси z (на расстоянии zq от начала координат).
Пусть плоскостью проекции является координатная плоскость XOY
P(x,y,z)-точка объекта , P/(X,Y)-её проекция из центра Q. Известно, что
координаты точки-проекции P/ есть X=x/(1-z/zq) , Y=y/(1-z/zq) (*)
Однородные координаты точки P (x,y,z,1) – P/(x/,y /,z/,w /) ,w ???
Преобразование (*) может быть выражено через матрицу проективных
преобразований в однородных координатах:
1 0 0 0 P./=MПр* Р
МПр = 0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 -1/zq 1
x/ 1 0 0 0 x x
Неоднородные координаты точки P/
x/ 1 0 0 0 x x
y / = 0 1 0 0 y = y
получаем отсюда : X=x/(1-z/zq ) ,
z/ 0 0 0 0 z 0
Y=y/(1-z/zq ) ,Z=0
w 0 0 -1/zq 1 1 1-z/zq
Найдём проекцию бесконечно удаленной точки на оси Z – ( однородные
координаты (0,0,1,0).
Вместо МПр возьмем матрицу полного проективного преобразования (без
проецирования на плоскость XOY).
1 0 0 0 0 0 Неоднородные
координаты проекции
0 1 0 0 0 = 0 этой точки (0 ,0 ,
-zq )
0 0 1 0 * 1 1
0 0 -1/zq 1 0 -1/zq
Если взять семейство параллельных оси z прямых, то после такого
проективного преобразования каждая из них пройдет через указанную точку
(0,0,-zq ) на оси z .Поэтому эту точку называют точкой схода.
Аналогично, матрицы 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 * 0 0 -1 0
-1/xq 0 0 1 0 -1/yq 0 1
описывают проективные преобразования с точками схода на оси OX и OY.
Это все преобразованные с одной точкой схода. Матрица 1 0
0 0
0 1 0 0 – преобразование с двумя точками схода
0 0 1 0
-1/xq -1/yq 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0 – с тремя точками
0 0 1 0
-1/xq-1/yq-1/zq 1
Групповые свойства проективных преобразований
Группа – есть совокупность объектов произвольной природы, которые
называются элементами группы а обозначается символами a, b, c, …,
удовлетворяющая требованиям следующих аксиом:
1. С каждой парой элементов совокупности, взятых в определённом порядке,
сопоставлен по определённому закону некоторый третий элемент этой же
совокупности.
Символически это записывают так c=ab, элемент c называется произведением
(композицией) элементов a и b. Иначе: композиция двух любых элементов
группы даёт элемент, принадлежащий этой же группе.
2. Закон ассоциативности: Каковы бы ни были три элемента группы a, b, c,
всегда имеет место соотношение (ab)c=a(bc)
3. Существует такой элемент (, что для любого элемента a группы
выполняется ae=a.
Элемент e называется единичным элементом.
4. Каким бы ни был элемент группы a, всегда существует такой элемент x,
что ax=e.
Элемент x называется обратным элементу a и обозначается a-1, т. е. X=
a-1.
Отсюда следуют такие правила:
a) если ax=e, то и xa=e
б) если e-единичный элемент группы, то ae= a и ea= a т. е. не
различается “левая” и “правая” единицы
в) из соотношения ax= e обратный элемент x определяется однозначно
Если все эти положения применить к проективным преобразованиям, а именно
к представляющим их матрицам проективных преобразований в однородных
координатах, то можно сказать, что совокупность проективных
преобразований составляет группу:
1) произведение двух проективных матриц есть вновь матрица проективного
преобразования;
2) (c1c2)c3= c1(c2c3)
3) единичный элемент
1 0 .. 0
0 1 .. 0
E= – – – –
0 .. .. 1
4) условием существования обратного элемента является условие
существования обратной матрицы, для последнего необходимо, чтобы [c]#0
это условие является требованием проективного преобразования.
Группу проективных преобразований называют проективной группой.
Прежде чем рассмотреть матрицы проективных преобразований,
соответствующих конкретным их типам, вспомним иерархию геометрических
преобразований.
1 Проективная группа
Матрица (n+1)(n+1)
в R1, R2, R3, …,Rn
удаление Ґ
удалённых элементов
(соответствующее разрезы)
2
Аффинная группа
Матрица n(n+1)
Введение
свойства перпендикулярности
3
Ортоганальная Паралельный
Гомотетии
группа перенос
(вращений)
Для однозначного определения матрицы преобразования 1го уровня
необходимо (n+2) точки. Для однозначного определения матрицы
преобразования 2го уровня необходимо (n+1) точка. Для однозначного
определения матрицы преобразования 3го уровня необходимо n точек.
2 уровень A2
Y
C2 C1
B2 (2 A1
O (1
B
3 уровень
Y Y
Y
A2
A2
n
A2
j
A1
A1
O X O X
O X
j – угол поворота n – вектор
Гомотетия
плоско параллельного
k=OA2/OA1
переноса
Матрицы конкретных проективных преобразований.
Каждое преобразование более низкого уровня является одновременно и
преобразованием более высокого
1) На плоскости. Перенос на вектор n (a,b)
P/=M(n )P P, P/ – однородные координаты
Поворот на угол ??против часовой стрелки вокруг начала координат.
Маштабирование относительно начала координат.
неоднородное
2) В пространстве
Вращение
относительно оси Z(угол ??)
относительно оси X(угол ? )
относительно оси y(угол ??)
Сложные преобразования строятся как цепочки преобразований.
Перспективные преобразования.
1) C одной точкой схода (соответственно на различных осях).
А) На оси Z
куда преобразуется точка , параллельная z, лежащая на бесконечности
т.Аz(0,0,1,0)
В неоднородных координатах.
т.е. точка схода лежит на оси z на расстоянии (-zq)
б) на оси x
Прямые параллельные оси ox идущей из бесконечности т.А(1, 0, 0, 0)
преображаются в т.(-xq , 0, 0)
в) На оси у
т.А(0,1,0,0) преображается в точку (0,-yq,0)
г) С двумя точками схода , с тремя.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
