Магнитогорский государственный технический университет
Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
Подготовил: Григоренко М.В.
Студент группы ФГК-98
Магнитогорск –1999
Ведение
Для решения были предложены следующие уравнения:
x3 – 4x – 2 = 0 и 4x = cosx
При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция
(((x) = x3 – 4x – 2 и ((x) = 4x – cosx), а решениями уравнения
являются нули соответствующей функции.
Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы на
всей области определения (–( ; ().
Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью
(0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от
однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить
максимальную точность вычислениям, при решении данных уравнений была
использована ЭВМ и программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные
специально для решения данных задач.
Способ хорд
Теоретическая часть
Данный способ можно свести к следующему алгоритму:
Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри
каждого отрезка [x1;x2] функция монотонная, а на его концах значения
функции ((x1) и ((x2) разных знаков. Так как функция ((x) непрерывна на
отрезке [x1;x2], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной точке
между x1 и x2.
Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = ((x), соответствующие
абсциссам x1 и x2. Абсцисса a1 точки пересечения этой хорды с осью ОХ и
будет приближенным значением корня. Для разыскания этого приближенного
значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки
A(x1;((x1)) и B(x2; ((x2)), в каноническом виде:
;
Учитывая, что y = 0 при x = a1, выразим из данного уравнения a1:
Чтобы получить более точное значение корня, определяем ((а1). Если на
данном отрезке мы имеем ((x1)0 и ((a1)0, ((x2)0, то применяем эту формулу к отрезку [x1;a1]. Повторяя этот прием
несколько раз, мы будем получать все более точные значения корня а2, а3
и т.д.
Пример 1. x3 – 4x – 2 = 0
((x) = x3 – 4x – 2,
(((x) = 3×2 – 4,
+ – +
;(), и монотонно убывает при x(
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
