Определение правильного многогранника.
Определение. Многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый;
2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; 3) в
каждой его вершине сходится одинаковое число ребер; 4) все его
двугранные равны.
Примером правильного многогранника является куб: он является выпуклым
многогранником, все его грани – равные квадраты, в каждой вершине
сходятся три ребра, и все двугранные углы куба прямые. Правильный
тетраэдр также является правильным многогранником.
Возникает вопрос: сколько существует различных типов правильных
многогранников?
Пять типов правильных многогранников.
Рассмотрим произвольный правильный многогранник М, у которого В вершин,
Р ребер и Г граней. По теореме Эйлера для этого многогранника
выполняется равенство:
В – Р + Г = 2.
(1)
Пусть каждая грань данного многогранника содержит m ребер (сторон), и в
каждой вершине сходятся n ребер. Очевидно,
. (2)
различных ребер. Тогда
. (3)
. Тогда
. (4)
= 2, откуда
. (5)
Таким образом, имеем
. Поэтому остаются возможными пять случаев: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n =
3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5.
Рассмотрим каждый из этих случаев, используя соотношения (5), (4) и (3).
2) m = 4, n = 3 (каждая грань квадрат, и в каждой вершине сходятся три
ребра). Имеем
6.
Получаем правильный шестигранник, у которого каждая грань – квадрат.
Этот многогранник называется правильным гексаэдром и является кубом
(«гексаэдр» — шестигранник), любой параллелепипед – гексаэдр.
3) m = 3, n = 4 (каждая грань –правильный треугольник, в каждой
вершине сходятся четыре ребра). Имеем
=8.
Получаем правильный восьмигранник, у которого каждая грань – правильный
треугольник. Этот многогранник называется правильным октаэдром
(«октаэдр» — восьмигранник).
4) m = 5, n = 3 (каждая грань – правильный пятиугольник, в каждой
вершине сходятся три ребра). Имеем:
= 12.
Получаем правильный двенадцатигранник, у которого каждая грань –
правильный пятиугольник. Этот многогранник называется правильным
додекаэдром («додекаэдр» — двенадцатигранник).
5) m = 3,n = 5 (каждая грань – правильный треугольник, в каждой вершине
сходятся пять ребер). Имеем
= 20.
Получаем правильный двадцатигранник. Этот многогранник называется
правильным икосаэдром («икосаэдр» – двадцатигранник).
Таким образом, мы получили следующую теорему.
Теорема. Существует пять различных ( с точностью до
подобия) типов
правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный
гексаэдр
(куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и
правильный икосаэдр.
К этому заключению можно прийти несколько иначе.
( 6 – k ) = 12. Тогда
при k = 3 получаем: В = 4, Г = 4 , Р = 6 (правильный тетраэдр);\
при k = 4 получаем: В = 6, Г = 8, Р = 12 (правильный октаэдр);
при k = 5 получаем: В = 12, Г = 20, Р = 30 (правильный икосаэдр).
. Значит, В = 8, Г = 6, Р = 12 – мы получаем куб (правильный гексаэдр).
и В = 20, Г = 12, Р = 30 (правильный додекаэдр).
, что невозможно. Следовательно, существует всего пять видов правильных
многогранников.
На рисунках изображены разверстки каждого из пяти правильных
многогранников.
Правильный тетраэдр
Правильный октаэдр
Правильный гексаэдр
‚¤i?P
R
j
Правильный икосаэдр
Правильный додекаэдр
Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей
таблице.
Вид грани Плоский угол
при вершине Вид многогранного
угла при вершине Сумма плоских
углов при вершине В Р Г Название многогранника
Правильный
4 6 4 Правильный тетраэдр
Правильный
6 12 8 Правильный октаэдр
Правильный
12 30 20 Правильный икосаэдр
Квадрат
8 12 6 Правильный
гексаэдр (куб)
Правильный
ё 20 30 12 Правильный
додекаэдр
У каждого из правильных многогранников, помимо уже указанных, нас чаще
всего будут интересовать:
1. Величина его двугранного угла при ребре (при длине ребра a).
2. Площадь его полной поверхности (при длине ребра a).
3. Его объем (при длине ребра a).
4. Радиус описанной около него сферы (при длине ребра a).
5. Радиус вписанной в него сферы (при длине ребра a).
6. Радиус сферы, касающихся всех его ребер (при длине ребра a).
– площадь одной грани.
. Учитывая это составляем таблицы:
а) для площади грани правильного многогранника
б) для площади полной поверхности правильного многогранника
правильного многогранника при его ребре. Для правильного тетраэдра и
куба вы легко найдете величину этого угла.
, откуда
.
.
M
F
.
Итак, получаем следующую таблицу величин двугранных углов при ребрах
правильных многогранников.
Прежде чем находить объем того или иного правильного многогранника,
сначала проведем рассуждения о том, как можно найти объем правильных
многогранников в общем виде.
Попытайтесь сначала доказать, что если центр каждой грани любого
правильного многогранника провести прямую, перпендикулярную плоскости
этой грани, то все проведенные прямые пересекутся в некоторой одной
точке О, удаленной от всех граней данного многогранника на одно и тоже
расстояние, которое обозначим r. Точка О окажется центром сферы,
вписанной в данный многогранник, а r – ее радиусом. Соединив полученную
точку О со всеми вершинами данного многогранника, мы разобьем его на Г
равных между собой пирамид (Г—число граней правильного многогранника):
основаниями образованных пирамид равны r. Тогда объем данного
многогранника равен сумме объемов всех этих пирамид. Так как
многогранник правильный, то его объем V можно найти по формуле:
(1)
двугранного угла при этом ребре многогранника; проекция же наклонной
КО на плоскость этой грани принадлежит ее апофеме и равна радиусу
вписанной в нее окружности. Тогда
(2)
где p—полупериметр грани. Тогда из (1) и (2) получаем общую для всех
правильных многогранников формулу вычисления их объемов:
.
Эта формула совершенно не нужна для нахождения объемов куба, правильных
тетраэдра и октаэдра, но позволяет довольно легко находить объемы
правильных икосаэдра и додекаэдра.
Министерство образования РФ г. Янаул
по геометрии на тему «Правильные многогранники».
Выполнил: Хабибьянов Д.Р.
Проверила: Нургаянова Т.С.
2004 год.
C
A
D
B
D
В
F
A
M
C
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
