Южно-Сахалинский Государственный Университет
Кафедра математики
Курсовая работа
Тема: Практическое применение производной
Автор: Меркулов М. Ю.
Курс: 3
Преподаватель: Лихачева О. Н.
Оценка:
Южно-Сахалинск
2002гВведение
В данной работе я рассмотрю применения производной в различных науках и
отраслях. Работа разбита на главы, в каждой из которых рассматривается
одна из сторон дифференциального исчисления (геометрический, физический
смысл и т. д.)
1. Понятие производной
1-1. Исторические сведения
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17
столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского
математика Тартальи (около 1500 – 1557 гг.) – здесь появилась
касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором
обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась
кинематическая концепция производной. Различные изложения стали
встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля,
английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение
дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер,
Гаусс.
1-2. Понятие производной
Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в
промежутке (a; b), и пусть х0 – произвольная точка этого промежутка
Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит
приращение ?y = f(x + ?x) – f(x). Предел, к которому стремится отношение
?y / ?x при ?x ? 0, называется производной от функции f(x).
1-3. Правила дифференцирования и таблица производных
C’ = 0 (xn) = nxn-1 (sin x)’ = cos x
x’ = 1 (1 / x)’ = -1 / x2 (cos x)’ = -sin x
(Cu)’=Cu’ (?x)’ = 1 / 2?x (tg x)’ = 1 / cos2 x
(uv)’ = u’v + uv’ (ax)’ = ax ln x (ctg x)’ = 1 / sin2 x
(u / v)’=(u’v – uv’) / v2 (ex)’ = ex (arcsin x)’ = 1 / ? (1- x2)
(logax)’ = (logae) / x (arccos x)’ = -1 / ? (1- x2)
(ln x)’ = 1 / x (arctg x)’ = 1 / ? (1+ x2)
(arcctg x)’ = -1 / ? (1+ x2)
2. Геометрический смысл производной
2-1. Касательная к кривой
Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной
к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда
MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M.
Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x).
При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям
на кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ?x,
его значению соответствует значение функции y0 + ?y = f(x0 + ?x).
Соответствующая точка – N(x0 + ?x, y0 + ?y). Проведем секущую MN и
обозначим ? угол, образованный секущей с положительным направлением оси
Ox. Из рисунка видно, что ?y / ?x = tg ?. Если теперь ?x будет
приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая
MN – поворачиваться вокруг точки M, а угол ? – меняться. Если при ?x ? 0
угол ? стремится к некоторому ?, то прямая, проходящая через M и
составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол ?, будет
искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент:
То есть, значение производной f ‘(x) при данном значении аргумента x
равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox
касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).
Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное
определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция
задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY
будут равны частным производным f по x и y.
2-2. Касательная плоскость к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость,
содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности,
проходящим через M – точку касания.
Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо
обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности
некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями
x = ?(t); y = ?(t); z = ?(t).
Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в
тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство
инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное
уравнение по t:
Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид:
Т. к. разности x – x0, y – y0, z – z0 пропорциональны соответствующим
дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:
F’x(x – x0) + F’y(y – y0) + F’z(z – z0)=0
и для частного случая z = f(x, y):
Z – z0 = F’x(x – x0) + F’y(y – y0)
Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a)
гиперболического параболоида
Решение:
Z’x = x / a = 2; Z’y = -y / a = -1
Уравнение искомой плоскости:
Z – 1.5a = 2(x – 2a) – (Y – a) или Z = 2x – y – 1.5a
3. Использование производной в физике
3-1. Скорость материальной точки
Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении
материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый момент
времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ?t = t – t0 и
вычислим приращение пути: ?s = f(t0 + ?t) – f(t0). Отношение ?s / ?t
называют средней скоростью движения за время ?t, протекшее от исходного
момента t0. Скоростью называют предел этого отношения при ?t ? 0.
Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ?t) – это
величина =?v / ?t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент
времени t будет предел среднего ускорения:
То есть первая производная по времени (v'(t)).
Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается
уравнением s = A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2).
Определить время после начала движения, через которое ускорение тела
будет равно 2 м/с2.
Решение:
v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t
= 2;
1,8 = 0,18t; t = 10 c
3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре
Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T1
– T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q1 –
Q, причем отношение
для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного
вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q =
f(T). Тогда ?Q = f(t + ?T) – f(T). Отношение
называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ?T], а предел этого
выражения при ?T ? 0 называется теплоемкостью данного вещества при
температуре T.
3-3. Мощность
.
4. Дифференциальное исчисление в экономике
4-1. Исследование функций
Дифференциальное исчисление – широко применяемый для экономического
анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа
является изучение связей экономических величин, записанных в виде
функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении
налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится
выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции
дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для
решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в
них переменных, которые затем изучаются с помощью методов
дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти
наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую
производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск,
минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой
функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение
оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума
функции.
По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то
производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно
определить по одному из достаточных условий экстремума:
1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0.
Если производная f ‘(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на
-, то x0 – точка максимума, если с – на +, то x0 – точка минимума, если
не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности
точки x0, причем f ‘(x0) = 0, f ”(x0) ? 0, то в точке x0 функция f(x0)
имеет максимум, если f ”(x0) 0.
Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график
функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на
этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).
Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли
которой может быть смоделирована зависимостью:
?(q) = R(q) – C(q) = q2 – 8q + 10
Решение:
?'(q) = R'(q) – C'(q) = 2q – 8 = 0 ? qextr = 4
При q qextr = 4 ? ?'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может
производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q =
8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не
производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или
оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то
оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных
мощностей.
4-2. Эластичность спроса
Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел
Спрос – это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая
эластичность спроса ED – это величина, характеризующая то, как спрос
реагирует на изменение цены. Если ?ED?>1, то спрос называется
эластичным, если ?ED?Литература
М. Я. Выгодский Справочник по высшей математике
И. Н. Бронштейн,
К. А. Семендяев Справочник по математике для инженеров и учащихся
ВТУЗов
И. М. Уваренков,
М. З. Маллер Курс математического анализа,т.1
В. А. Дударенко,
А.А. Дадаян Математический анализ
Н. С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисления
Т. И. Трофимова Курс физики
О. О. Замков
А. В. Толстопятенко
Ю. Н. Черемных Математические методы в экономике
А. С. Солодовников
В. А. Бабайцев
А. В. Браилов
И .Г. Шандра Математика в экономике
Содержание:
Введение
1. Понятие производной
1-1. Исторические сведения
1-2. Понятие производной
1-3. Правила дифференцирования и таблица производных
2. Геометрический смысл производной
2-1. Касательная к кривой
2-2. Касательная плоскость к поверхности
3. Использование производной в физике
3-1. Скорость материальной точки
3-2. Теплоемкость при данной температуре
3-3. Мощность
4. Дифференциальное исчисление в экономике
4-1. Исследование функций
4-2. Эластичность спроса
4-3. Предельный анализ
5. Производная в приближенных вычислениях
5-1. Интерполяция
5-2. Формула Тейлора
5-3. Приближенные вычисления
Заключение
Список использованной литературы
x
x+?x
?x
?y
M
?
?
N
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
