.

Практическое применение производной

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 850
Скачать документ

Южно-Сахалинский Государственный Университет

Кафедра математики

Курсовая работа

Тема: Практическое применение производной

Автор: Меркулов М. Ю.

Курс: 3

Преподаватель: Лихачева О. Н.

Оценка:

Южно-Сахалинск

2002г Введение

В данной работе я рассмотрю применения производной в различных науках и
отраслях. Работа разбита на главы, в каждой из которых рассматривается
одна из сторон дифференциального исчисления (геометрический, физический
смысл и т. д.)

1. Понятие производной

1-1. Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17
столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского
математика Тартальи (около 1500 – 1557 гг.) – здесь появилась
касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором
обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась
кинематическая концепция производной. Различные изложения стали
встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля,
английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение
дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер,
Гаусс.

1-2. Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в
промежутке (a; b), и пусть х0 – произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит
приращение ?y = f(x + ?x) – f(x). Предел, к которому стремится отношение
?y / ?x при ?x ? 0, называется производной от функции f(x).

1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

C’ = 0 (xn) = nxn-1 (sin x)’ = cos x

x’ = 1 (1 / x)’ = -1 / x2 (cos x)’ = -sin x

(Cu)’=Cu’ (?x)’ = 1 / 2?x (tg x)’ = 1 / cos2 x

(uv)’ = u’v + uv’ (ax)’ = ax ln x (ctg x)’ = 1 / sin2 x

(u / v)’=(u’v – uv’) / v2 (ex)’ = ex (arcsin x)’ = 1 / ? (1- x2)

(logax)’ = (logae) / x (arccos x)’ = -1 / ? (1- x2)

(ln x)’ = 1 / x (arctg x)’ = 1 / ? (1+ x2)

(arcctg x)’ = -1 / ? (1+ x2)

2. Геометрический смысл производной

2-1. Касательная к кривой

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной
к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда
MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M.

Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x).
При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям
на кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ?x,
его значению соответствует значение функции y0 + ?y = f(x0 + ?x).
Соответствующая точка – N(x0 + ?x, y0 + ?y). Проведем секущую MN и
обозначим ? угол, образованный секущей с положительным направлением оси
Ox. Из рисунка видно, что ?y / ?x = tg ?. Если теперь ?x будет
приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая
MN – поворачиваться вокруг точки M, а угол ? – меняться. Если при ?x ? 0
угол ? стремится к некоторому ?, то прямая, проходящая через M и
составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол ?, будет
искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент:

То есть, значение производной f ‘(x) при данном значении аргумента x
равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox
касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).

Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное
определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция
задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY
будут равны частным производным f по x и y.

2-2. Касательная плоскость к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость,
содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности,
проходящим через M – точку касания.

Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо
обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности
некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями

x = ?(t); y = ?(t); z = ?(t).

Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в
тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство
инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное
уравнение по t:

Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид:

Т. к. разности x – x0, y – y0, z – z0 пропорциональны соответствующим
дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:

F’x(x – x0) + F’y(y – y0) + F’z(z – z0)=0

и для частного случая z = f(x, y):

Z – z0 = F’x(x – x0) + F’y(y – y0)

Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a)
гиперболического параболоида

Решение:

Z’x = x / a = 2; Z’y = -y / a = -1

Уравнение искомой плоскости:

Z – 1.5a = 2(x – 2a) – (Y – a) или Z = 2x – y – 1.5a

3. Использование производной в физике

3-1. Скорость материальной точки

Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении
материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый момент
времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ?t = t – t0 и
вычислим приращение пути: ?s = f(t0 + ?t) – f(t0). Отношение ?s / ?t
называют средней скоростью движения за время ?t, протекшее от исходного
момента t0. Скоростью называют предел этого отношения при ?t ? 0.

Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ?t) – это
величина =?v / ?t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент
времени t будет предел среднего ускорения:

То есть первая производная по времени (v'(t)).

Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается
уравнением s = A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2).
Определить время после начала движения, через которое ускорение тела
будет равно 2 м/с2.

Решение:

v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t
= 2;

1,8 = 0,18t; t = 10 c

3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре

Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T1
– T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q1 –
Q, причем отношение

для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного
вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q =
f(T). Тогда ?Q = f(t + ?T) – f(T). Отношение

называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ?T], а предел этого
выражения при ?T ? 0 называется теплоемкостью данного вещества при
температуре T.

3-3. Мощность

.

4. Дифференциальное исчисление в экономике

4-1. Исследование функций

Дифференциальное исчисление – широко применяемый для экономического
анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа
является изучение связей экономических величин, записанных в виде
функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении
налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится
выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции
дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для
решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в
них переменных, которые затем изучаются с помощью методов
дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти
наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую
производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск,
минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой
функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение
оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума
функции.

По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то
производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно
определить по одному из достаточных условий экстремума:

1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0.
Если производная f ‘(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на
-, то x0 – точка максимума, если с – на +, то x0 – точка минимума, если
не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности
точки x0, причем f ‘(x0) = 0, f ”(x0) ? 0, то в точке x0 функция f(x0)
имеет максимум, если f ”(x0) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0.

Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график
функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на
этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).

Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли
которой может быть смоделирована зависимостью:

?(q) = R(q) – C(q) = q2 – 8q + 10

Решение:

?'(q) = R'(q) – C'(q) = 2q – 8 = 0 ? qextr = 4

При q < qextr = 4 ? ?'(q) < 0 и прибыль убываетПри q > qextr = 4 ? ?'(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может
производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q =
8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не
производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или
оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то
оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных
мощностей.

4-2. Эластичность спроса

Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел

Спрос – это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая
эластичность спроса ED – это величина, характеризующая то, как спрос
реагирует на изменение цены. Если ?ED?>1, то спрос называется
эластичным, если ?ED?<1, то неэластичным. В случае ED=0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.4-3. Предельный анализВажный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных)В экономике часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисление.5. Производная в приближенных вычислениях5-1. ИнтерполяцияИнтерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бoльшую точность.Пусть Kn - система узловых точек a = x0 < x1 <…< xn = b. Функция Sk(x) называется сплайн-функцией Sk(x) степени k?0 на Kn, еслиа) Sk(x) є Ck-1([a, b])б) Sk(x) - многочлен степени не большей kСплайн-функция ?k(x) є Sk(Kn) называется интерполирующей сплайн-функцией, если ?k(xj) = f(xj) для j = 0,1,…,nВ приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н. кубическую интерполяцию.Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то для x є [xj-1 ,xj]Здесь s2j, cj1, cj0 неизвестны для j = 1, 2, …, nПоследние исключаются в силу требования s(xj) = yj:Дифференцируя эту функцию и учитывая, что s'(x) на всем интервале и, следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно получаем систему уравнений:относительно n+1 неизвестных s20, s21,…, s2n. Для однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:Нормальный случай(N):Периодический случай(P) (т. е. f(x+(xn-x0))=f(x)):Заданное сглаживание на границах:Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.Функция периодическая, поэтому используем случай P.j xj yj hj yj-yj-10 0 0 ?/2 11 ?/2 1 ?/2 -12 ? 0 ?/2 -13 3?/2 -1 ?/2 14 2? 0Сплайн-функция получается такая:5-2. Формула ТейлораРазложение функций в бесконечные ряды позволяет получить значение функции в данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в программировании и других дисциплинахГоворят, что функция разлагается на данном промежутке в степенной ряд, если существует такой степенной ряд a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 + … + an(x - a)n + …, который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно доказать, что это разложение единственно:Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд виданазывается рядом Тейлора для функции f(x), записанным по степеням разности (x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f(x) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0 ряд Тейлора обычно называют рядом Маклорена.С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных функций:5-3. Приближенные вычисленияЧасто бывает, что функцию f(x) и ее производную легко вычислить при x = a, а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с помощью формулы Тейлора:Пример: Извлечь квадратный корень из 3654при x = 3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:С помощью этой формулы можно получить несколько удобных формул для приближенных вычислений:ЗаключениеПрименение производной довольно широко и его сложно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные, базовые моменты. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.ЛитератураМ. Я. Выгодский Справочник по высшей математикеИ. Н. Бронштейн,К. А. Семендяев Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗовИ. М. Уваренков,М. З. Маллер Курс математического анализа,т.1В. А. Дударенко,А.А. Дадаян Математический анализН. С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисленияТ. И. Трофимова Курс физикиО. О. ЗамковА. В. ТолстопятенкоЮ. Н. Черемных Математические методы в экономикеА. С. СолодовниковВ. А. БабайцевА. В. БраиловИ .Г. Шандра Математика в экономикеСодержание:Введение1. Понятие производной1-1. Исторические сведения1-2. Понятие производной1-3. Правила дифференцирования и таблица производных2. Геометрический смысл производной2-1. Касательная к кривой2-2. Касательная плоскость к поверхности3. Использование производной в физике3-1. Скорость материальной точки3-2. Теплоемкость при данной температуре3-3. Мощность4. Дифференциальное исчисление в экономике4-1. Исследование функций4-2. Эластичность спроса4-3. Предельный анализ5. Производная в приближенных вычислениях5-1. Интерполяция5-2. Формула Тейлора5-3. Приближенные вычисленияЗаключениеСписок использованной литературыxx+?x?x?yM??N

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019