.

Поверхности 2-го порядка

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
90 407
Скачать документ

Министерство высшего образования Российской Федерации

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РЕФЕРАТ

На тему:

“ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА”

Факультет: ФТиКМ

Группа: РТС-99

Студент: Коцурба А.В.

Преподаватель: Лебедева Г.А.

Иркутск

1999

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в
прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями
второй степени.

Эллипсоид.

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения
данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из
таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое число,
а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

(2)

Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.

и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения
плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует.

касаются эллипсоида).

, то уравнения (2) можно представить в виде

.

Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности
плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как
замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются
полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.

2. Однополосный гиперболоид.

Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в
некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

(3)

Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного
гиперболоида.

Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее
координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно
уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h,
параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении,
определяется уравнениями

(4)

,

величины a* и b* возрастают бесконечно.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный
гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере
удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в
некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

(5)

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного
гиперболоида.

Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим
его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно
уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h,
параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении,
определяется уравнениями

(6)

величины a* и b* тоже увеличиваются.

касаются данной поверхности).

уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения
плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.

Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в
некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

(7)

где p>0 и q>0.

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического
параболоида.

Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy
и Oyz. Получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные
относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.

Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h,
параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении,
определяется уравнениями

(8)

. При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс
вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При
h0, q>0.

Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического
параболоида.

Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем
уравнение

(10)

из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная
вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат.
В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h),
получаются так же направленные вверх параболы.

рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).

Получаем уравнение

из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола,
но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с
вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями,
параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения

из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола,
направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой
уравнениями (10).

Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости
Oxy . получим уравнения

из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы,
пересекающие плоскость Oxy; при h

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020