Зміст
Вступ………………………………………………………….
…………………………………………………1
Розділ 1. Основні теоретичні
відомості………………………………………………………
..2
Походження поняття
похідної……………………………………………………….
….2
Екстремуми
функції………………………………………………………..
………………..5
Зростання та спадання
функції………………………………………………………..
..9
Найбільше та найменше значення
функції……………………………………….11
Означення дотичної, під дотичної,
нормалі……………………………………..13
Розділ 2. Застосування
похідної……………………………………………………….
…………17
Правила
диференціювання…………………………………………………
……………17
Дослідження функції та побудова її
графіка…………………………………….21
Застосування похідної для розв’язування
рівнянь…………………………….26
Текстові задачі на
екстремум………………………………………………………
…..28
Висновок……………………………………………………….
…………………………………………….31
Список використаної
літератури……………………………………………………..
………..32
Вступ
Розділ алгебри та початків аналізу “Похідна та її застосування” займає
значне місце у шкільному курсі математики, в першу чергу тому, що має
велике прикладне значення.
Програма з математики для загальноосвітньої школи відводить на вивчення
теми “Похідна та її застосування” приблизно, 26 годин (загальноосвітньої
школи), 46 годин (ліцеї і гімназії з поглибленим вивченням математики).
Основна складність полягає в тому, щоб навчити школярів застосувати
похідну для дослідження функцій, розв’язання прикладних задач алгебри та
геометрії. Показати алгоритми застосування похідної, що значно полегшує
розв’язання багатьох типів задач.
Об’єктом дослідження даної атестаційної курсової роботи є питання:
застосування похідної для дослідження функцій на монотонність та
екстремум, побудова графіків функцій після їх повного дослідження,
знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку,
прикладні задачі на знаходження найбільшого та найменшого значення
функції, складання рівняння дотичної, нормалі, піддотичної і текстові
задачі на екстремум функції.
Робота складається з вступу і двох основних частин: основні теоретичні
відомості, де наведено означення похідної, історія виникнення похідної,
основні теореми, необхідні та достатні умови зростання (спадання)
функції, достатня ознака екстремуму функції, та наведені алгоритми
розв’язання конкретного типу задач; другий розділ, який розбито на
підрозділи, в якому розглядаються різноманітні приклади, наводиться їх
розв’язання з повним поясненням.
Розділ 1
Основні теоретичні відомості
1.1. Походження поняття похідної
Ряд задач диференціального вирахування був вирішений ще в
стародавності.
Основне поняття диференціального вирахування – поняття похідної –
виникло в XVII ст. у зв’язку з необхідністю вирішення ряду задач з
фізики, механіки і математики, у першу чергу наступних двох: визначення
швидкості прямолінійного нерівномірного руху і побудови дотичної до
похідної плоскої кривої.
і називається диференціалом (dx), Ньютон називав моментом.
Ньютон прийшов до поняття похідної, виходячи з питань механіки.
Свої результати в цій області він виклав у трактаті, названому їм «Метод
флюксій і нескінченних рядів», що був складений близько 1671 р.
Припускають, що Ньютон відкрив свій метод флюксій ще в середині 60-х
років XVII в., однак вищезгаданий його трактат був опублікований
посмертно лише в 1736 р.
Математиків XV – XVII ст. довго хвилювало питання про перебування
загального методу для побудови дотичної в будь-якій точці кривої. Задача
ця була зв’язана також з вивченням рухів тіл і з відшуканням екстремумів
найбільших і найменших значень різних функцій.
Деякі окремі випадки вирішення задач були дані ще в стародавності.
Так у «Початках» Евкліда дан спосіб побудови дотичної до окружності,
Архімед побудував дотичну до спіралі, що носить його ім’я, Аполлоній –
до еліпса, гіперболи і параболи. Однак давньогрецькі вчені не вирішили
задачу до кінця, тобто не знайшли загального методу, придатного для
побудови дотичної до будь-якої плоскої кривої в похідній її точці.
Із самого початку XVII в. чимало вчених, у тому числі Торрічеллі,
Вивиани, Роберваль, Барроу, намагалися знайти вирішення питання,
прибігаючи до кінематичних міркувань. Перший загальний спосіб побудови
дотичної до алгебраїчної кривої був викладений у «Геометрії» Декарта.
Більш загального і важливим для розвитку диференціального вирахування
був метод побудови дотичних Ферма.
, зводиться до знаходженню похідної функції y по незалежній змінній x
при даному її значенні (або в даній точці) x = x1.
Можна навести й інші приклади, що показують, яку велику роль грає
поняття похідної в науці і техніці: прискорення – є похідна від
швидкості за часом, теплоємність тіла – є похідна від кількості тепла по
температурі, швидкість радіоактивного розпаду – є похідна від маси
радіоактивної речовини за часом і т.п. Вивчення властивостей і способів
обчислення похідних і їхнє застосування до дослідження функцій складає
головний предмет диференціального вирахування.
Перша друкована праця по диференціальному вирахуванню була
опублікована Лейбницем у 1684 р. Це були мемуари, що з’явилися в 1682
р. в математичному журналі «Acta Eruditorum» (прототип «Навчальних
записок») і озаглавлений «Новий метод максимумів і мінімумів, а також
дотичних, для якого не є перешкодою дробові й ірраціональні кількості, і
особливий для цього рід вирахування». У цій статті, що складається
усього лише з 6 сторінок, міститься виклад суті методу вирахування
нескінченно малих, зокрема викладаються основні правила диференціювання.
Отже, якщо в «Методі флюксій» як первісне поняття фігурує швидкість, то
в «Новому методі» Лейбница таким поняттям є дотична .
Збільшення абсциси Лейбниц позначав через dx, що відповідає
збільшенню ординати – через dy. Нині уживаний символ похідної
бере свій початок від Лейбница. У Лейбница основним поняттям була не
похідна, для якої він навіть спеціального терміна не мав, а диференціал.
У середині XVIII ст. Ейлер став користуватися грецькою літерою ?
для позначення приростів змінних величин, тобто ?y = y2 – y1, ?х = x2 –
x1 і т.д. Це позначення збереглося понині. Ми пишемо:
.
для похідної ввів Лагранж.
Сам термін «похідна» уперше зустрічається у француза Луа Арбогаста
в його книзі «Обчислення похідних», опублікованої в Парижі в 1800 р. Цим
терміном відразу ж став користуватися і Лагранж. Термін цей швидко
ввійшов у загальний ужиток, а Коші, використовуючи початкову літеру
цього терміна, став позначати похідну символом Dy або Df(x).
Термінологія Ньютона (флюенти, флюксії) і його символи похідної
утратили своє значення. Лише у фізиці і механіці в деяких випадках
позначають крапками над літерами похідні за часом.
Перший друкований курс диференціального вирахування вийшов у світ в
Парижі в 1696 р. під заголовком «Аналіз нескінченно малих». Його автор
Г. Ф. Де Лопиталь за основу цієї книги взяв рукопис Йоганна Бернуллі,
одного з найближчих співробітників Лейбница. Ось чому цей курс варто
розглядати як типовий добуток школи Лейбница.
У першій же главі своєї книги Лопиталь вимагає, «щоб величина,
збільшена або зменшена на іншу нескінченно малу величину, могла бути
розглянута як незмінна». Отут нескінченно мала розглядається як нуль, її
можна відкидати. Це один з фундаментальних принципів вирахування
нескінченно малих Лейбница, нині відкинутий наукою. Цим принципом
користувався Лопиталь і при установленні формул диференціювання.
У перший період розробки математичного аналізу основоположники цієї
теорії не могли досить чітко і ясно обґрунтувати принципи цієї теорії і
тому шукали підтвердження правильності теорії в узгодженості
математичних висновків з досвідом, із практикою при вирішенні задач
механіки й астрономії. Однак проста перевірка гіпотези на практиці не
дає абсолютної впевненості в її непогрішності. Досить одного факту, що
не погодиться з даною гіпотезою, як вона буде спростована. Ось чому на
наступних етапах перед математиками виникла проблема суворого
математичного обґрунтування теорії математичного аналізу.
1.2. Екстремуми функції
виконується нерівність
.
виконується нерівність
.
, а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними
значеннями.
Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:
не існує.
в цій точці екстремуму не має.
або не існує, називаються критичними для функції.
має екстремум. Тому потрібні достатні ознаки існування екстремуму для
функції f. Їх дають такі теореми:
неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х0, і
диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо,
самої точки х0).
має максимум.
має мінімум.
.
, то точка х=х0 може й не бути точкою екстремуму.
Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:
не існує;
і обчислюють значення другої похідної в цих точках.
Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка
є точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є
точкою мінімуму.
в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій
точці може бути екстремум, а може й не бути.
Розглянемо тепер дослідження функції на екстремум на конкретних
прикладах.
Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію
визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну:
.
Знайдемо нулі похідної:
х2+х-2=0, х1=-2 х2=1.
Отже, функція f має дві критичні точки х1=-2,х2=1.
.
Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак
на протилежний.
Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з
плюса на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.
.
При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому
в цій точці функція f має локальний мінімум.
.
Приклад 2.Дослідити на екстремум функцію
визначена. Знайдемо її похідну:
.
Критична точка х=9. при переході через цю точку похідна змінює знак з
мінуса на плюс. Отже, в цій точці функція f має локальний мінімум:
.
.
Приклад 3.Дослідити на екстремум функцію
.
визначена і диференційована на R. Її похідна
.
:
.
має локальний максимум.
1.3. Зростання та спадання функції
Дослідження функції на зростання та спадання ґрунтується на теоремі
математичного аналізу.
Теорема. Нехай функція неперервна на проміжку і диференційована в
інтервалі (а,б).для того, щоб функція f була зростаючою(спадною) на
проміжку , необхідно і достатньо виконання двох умов:
не повинна виконуватися ні в жодному інтервалі, що міститься в .
Як наслідок цієї теореми можна використовувати таку теорему (достатня
ознака строгої монотонності):
, то f зростає(спадає) на .
діють у такий спосіб:
Знаходять:
, якщо вона наперед не задана;
;
не існує, їх називають критичними точками.
на конкретному інтервалі, достатньо обчислити її значення для
будь-якого значення аргументу, що належить цьому інтервалу.
Приклади
Приклад 1. Знайти проміжки зростання та спадання функції
Розв’язання. Функція визначена і диференційована на множені R.
Знайдемо її похідну
.
.
.
– спадає.
Приклад 2. Довести, що функція
спадає на R.
Розв’язання. Дана функція визначена і диференційована на R.
Знайдемо похідну
.
, то дана функція f спадає на R.
1.4. Найбільше та найменше значення функції
, яка неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b),
за винятком можливо скінченого числа точок, де вона не існує. Необхідно
ж знайти найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку. А як
відомо з математичного аналізу, функція, яка неперервна на відрізку,
набуває на ньому свого найбільшого і найменшого значення.
Чим викликана необхідність знаходження найбільшого і найменшого значення
функції на відрізку?
Справа в тому, що в практичних задачах, де процес, явище, закон,
величина описуються певною функцією, зміст самої задачі накладає певні
обмеження на аргумент, тобто аргумент має певні межі.
Так, наприклад, кут трикутника може змінюватися лише від 0 до П,
швидкість тіла доводиться розглядати в проміжку часу від t0 до t1 та
інше. Тому й необхідно досліджувати поведінку функції на конкретному
проміжку [a;b] або на його кінцях, то чинять так:
знаходять критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна
дорівнює нулю або не існує), обчислюють значення функції в цих точках;
;
серед усіх значень вибирають найбільше і найменше значення.
.
По-іншому складається ситуація, якщо необхідно знайти найбільше та
найменше значення функції, неперервної в інтервалі (a;b).
в інтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у
внутрішніх точках інтервалу. У цьому випадку чинять так:
1. знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, і
обчислюють значення функції в цих точках;
. Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в
критичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках
більші(менші) за знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим)
значенням функції на інтервалі.
Приклади.
Приклад 1. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку
[a;b]
Розв’язання. На даному відрізку функція визначена і неперервна,
диференційована в інтервалі(-2;2). Знайдемо похідну, критичні точки:
х=0
знайдемо значення функції в критичній точці і на кінцях відрізка:
Отже,
.
Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку
[a;b]
, диференційна в інтервалі (-1;1). Тому вона набуває на даному відрізку
найбільшого і найменшого значення. Знайдемо критичні точки даної
функції. Для цього знайдемо похідну
і прирівняємо її до нуля:
х4+8х=0; х=0; х=-2.
.
Обчислимо значення функції на кінцях відрізка
.
Отже,
1.5. Означення дотичної, піддотичної, нормалі
Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х0. рівняння дотичної до
графіка функції y=f(x) в цій точці має такий вигляд:
,
де х і у – біжучі координати дотичної, f ‘(x0)=k – кутовий коефіцієнт
дотичної, який дорівнює значенню похідної в точці х0, тобто тангенс кута
нахилу дотичної до доданого напрямку осі абсцис.
Відрізок АВ, що міститься між абсцисою точки дотику і точкою перетину
дотичної з віссю абсцис, називають під дотичною. Її довжина дорівнює
|х0-х1|.
Пряма МС, перпендикулярна до дотичної в точці її дотику М до графіка
функції у=f(x), називається нормаллю.
Рівняння нормалі записують у вигляді:
0(в противному разі рівняння нормалі х-х0=0).
На цей матеріал можна скласти ряд задач. Розглянемо деякі з них.
1. Дано абсцису точки дотику х0 графіка функції у=f(x), а необхідно
записати рівняння дотичної, що проходить через точку з цією абсцисою.
.
2. Який кут утворює дотична з додатним напрямком осі абсцис, якщо відома
абсциса точки дотику х0?
.
Таким чином, задача зводиться до знаходження похідної функції у=f(x),
тобто y’=f ‘(x), і обчислення її значення в точці х0.
,що мають спільну абсцису х0:
.
4. Знайти довжину дотичної до графіка функції у=f(x), абсциса точки
дотику якої дорівнює х0.
Довжиною дотичної прийнято називати відстань між точкою дотику до
графіка функції і точкою її перетину з віссю абсцис.
У цьому випадку знаходимо
і скористаємося формулою
Приклади:
Приклад 1. Знайти рівняння дотичної до графіка функції
в точці з абсцисою х0=3.
Розв’язання. Знайдемо похідну функції, значення функції та її похідної в
точці х0:
скориставшись рівнянням дотичної
,
матимемо
.
.
Приклад 2. Який кут з віссю абсцис утворює дотична до параболи y=x2-4x+8
в точці (3;5)?
Розв’язання. Безпосередньо підстановкою координат заданої точки в
рівняння параболи переконуємося, що вона їй належить.
Знайдемо похідну y’=2x-4.
Приклад 3. Дотична до графіка функції
. Знайти координати точки дотику.
:
.
=1 маємо
отже, дотична до параболи проходить через точку А(2;2).
Відповідь: А(2;2).
Розділ 2
Застосування похідної
2.1. Правила диференціювання
Теорема: Якщо функції u(x) і ((x) мають похідні у всіх точках інтервалу
(a; b), то
(u(x)((x))’ = u’(x)((’(x)
для любого х є (a; b). Коротше,
(u(()’ = u((’
Доведення: Суму функцій u(x)+((x), де х є (a; b), яка представляє собою
нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції,
Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).
Так як
х0 – допустима точка інтервалу (a; b), то маємо:
Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.
Наприклад,
Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість
формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених.
Теорема. Якщо функції u(x) і ((x) мають похідні у всіх точках інтервалу
(a; b), то
для любого х є (a; b). Коротше,
х є (a; b), і найдемо похідну цієї функції, виходячи із визначення.
Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді
Навіть так як
то
Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то маємо
Теорема доведена.
Приклад,
Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:
Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про
похідну де а – число, отримаємо
Приклади.
Похідна частки двох функцій .
для любого х є (a; b), то
для любого х є (a; b).
використовуючи визначення похідної.
Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).
Тоді,
Навіть, так як
то
і послідовно
Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то в останній формулі х0
можна замінити на х. Теорема доведена.
Приклади.
2.2. Дослідження функції та побудова графіка
Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка:
знайти область визначення функції та множину її значень;
дослідити функцію на парність та непарність, періодичність;
знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки
розриву, проміжки знакосталості функції;
дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності,
знайти якщо вони є, асимптоти графіка;
знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції,
точки екстремуму та екстремальні значення функції;
знайти нулі та точки розриву другої похідної, інтервали опуклості
графіка функції, точки перегину та значення функції в цих точках;
для побудови графіка необхідно знайти достатню кількість контрольних
точок, через які він проходить.
Зауважу, що на практиці не завжди є потреба досліджувати функцію за
наведеною схемою і в такій саме послідовності.
Так, наприклад, множину значень деяких функцій можна встановити лише
після знаходження екстремальних значень функції та її поводження біля
точок розриву і на нескінченності.
Можна спочатку знайти нулі функції. Якщо вони розташовані не симетрично
відносно нуля, то функція не може бути ні непарною, ні парною, ні
періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку, коли функція має
область визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло, що з
такого факту ми не можемо робити висновок про парність або непарність.
Проте, якщо нулі функції симетричні відносно нуля, але їх число
скінчене, то вона не є періодичною.
Не може бути функція ні парною, ні непарною, ні періодичною, якщо нулі
першої або другої похідних розміщені несиметрично відносно нуля.
Аналогічно можна зробити висновок і з несиметричного розміщення точок
розриву.
можна керуватися такими простими твердженнями:
парна, то складна функція також парна;
непарні, то складна функція непарна;
парна, то складна функція парна;
, але не більшим; їх періоди збігаються, якщо функція f строго
монотонна.
Зручно користуватися такими твердженнями:
сума скінченого числа парних (непарних) функцій є парною (непарною)
функцією;
добуток парних функцій є парною функцією;
добуток непарних функцій є парною функцією, якщо число функцій-множників
– парне число, і непарною, якщо число функцій-множників непарне;
добуток(частка) парної і непарної функції є функцією непарною.
Дослідимо функції та побудуємо їх графіки.
Приклад 1. Побудувати графік функції
Розв’язання.
Область визначення функції f :
.
Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.
Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона невизначена
лише у двох точках.
Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функції
відсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.
Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемо
похідну
;
х=0–критична точка.
вона спадає. Тоді точка х=0 є точкою локального максимуму. Знайдемо
його значення
.
Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:
.
, а тому графік функції опуклий вгору.
Точки перегину відсутні.
, то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.
Дослідимо поведінку функції біля точок х=2, х=-2:
.
Отже, в точці х=2 функція має розрив другого роду, а пряма х=2 є
вертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки,
що пряма х=-2 також є вертикальною асимптотою.
.
Приклад 2. Побудувати графік функції:
Розв’язання.
Область визначення функції f :
.
Функція не належить ні до парних, ні до непарних. Це безпосередньо
випливає з того, що область її визначення несиметрична відносно нуля.
.
. Для цього знайдемо її похідну
.
має мінімум, який дорівнює 1.
набуває мінімального значення, яке дорівнює 1.
:
.
графік функції опуклий вниз.
зліва:
.
– вертикальні асимптоти.
2.3. Застосування похідної для розв’язування рівнянь
Похідна в окремих випадках може бути застосована до розв’язування
рівнянь, а саме : для встановлення кількості коренів або їх відсутності,
для їх знаходження.
. А для визначення строгої монотонності застосовується похідна.
Використовують і такий факт: якщо многочлен k-го степеня має k дійсних
коренів, то його похідна має їх k –1 .
Розглянемо застосування похідної до розв’язування рівнянь на конкретних
прикладах.
мало три різних дійсних корені?
Розв’язання. Розглянемо функцію
.
Для того щоб дана функція мала три різні нулі, необхідно, щоб її похідна
.
.
Приклад 2.Скільки дійсних коренів має рівняння
Розв’язання. Розглянемо функцію
.
Знайдемо її похідну
.
Нехай
>0;
;
>0.
, то нуль і є тим єдиним коренем.
Приклад 3.Розв’язати рівняння
.
Тривіальним коренем рівняння є х=0. доведемо, що інших коренів рівняння
не має. Розглянемо функцію
.
.
зростає на всій числовій осі. Тому рівняння не має більше коренів.
Приклад 4.Розв’язати рівняння
.
.
Вона диференційована на всій області визначення. Знайдемо її похідну
.
.
А це означає, що рівняння має лише один корінь (найвищий показник
степеня непарний). Тривіальним коренем є х=1.
Відповідь: 1.
2.4. Текстові задачі на екстремум
Приклад 1.Яке із десяти чисел
найбільше?
Розв’язання. Зрозуміло, що це число міститься в середині цієї скінченої
послідовності чисел і його можна знайти безпосереднім обчисленням.
.
Знайдемо її похідну, записавши функцію в такому вигляді:
.
Тоді
.
є найбільшим серед десяти даних чисел.
, а вершини верхньої основи на параболі.
Розв’язання. Нехай у фігуру ABC вписано прямокутник DKMN.
.
.
.
Тоді площу прямокутника DKMN запишемо у такому вигляді:
.
. Тоді
.
.
та прямими х=-1, х=2, у=0. У якій точці графіка функції треба
провести дотичну, щоб вона відтинала від криволінійної трапеції звичайну
трапецію найбільшої площі?
:
,
.
Знайдемо значення цієї дотичної в точках х=-1, х=2:
,
.
Площу звичайної трапеції запишемо у такому вигляді:
.
Розглянемо функцію
.
Знайдемо її похідну:
.
, в якій вона досягає максимуму.
.
Висновок
Мета даної курсової роботи розкрити деякі питання застосування
похідної: для дослідження функцій на монотонність та екстремум,
знаходження найбільшого та найменшого значення функцій, розглянути
прикладні задачі на дослідження функцій, а також задачі на складання
рівнянь дотичної, нормалі та деяких інших.
Для цього ми побудували роботу таким чином: спочатку наведені всі
необхідні теоретичні відомості, далі розглянуто алгоритми розв’язання
кожного типу задач, після чого наводиться приклади, які розв’язані з
повним поясненням.
Приклади розташовані у порядку зростання складності, що дає можливість
поступово засвоювати викладення матеріалу. В роботі наводяться необхідні
геометричні інтерпретації.
Всі розглянуті приклади взяті із збірника задач з математики для
середньої загальноосвітньої школи.
На нашу думку робота буде корисною для учнів 10, 11 класів
загальноосвітніх шкіл, ліцеїв та гімназій.
PAGE
PAGE 31
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
