.

Площадь поверхности тел вращения

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 299
Скачать документ

МПС РФ

Омский Государственный Университет Путей Сообщения

Р Е Ф Е Р А Т

«Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла.»

выполнила:

студентка группы 29 Г

Митрохина Анна

Проверил :

Гателюк О.В.

Омск

2000г.

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer – целый) – одно из важнейших понятий
математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать
функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь,
пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой –
измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный
промежуток времени и т. п.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской
буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал
Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского
integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние,
восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования
“восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена
подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное:
слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я.
Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви
математики – интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел
И. Бернулли.

Самое важное из истории интегрального исчисления!

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением
площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней
Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления
в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую
роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный
Евдоксом Книдским (ок. 408 – ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся
Архимедом (ок. 287 – 212 до н. э.).

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и
понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального
исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX – XV веках изучали и
переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но
существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной.
Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед
математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение
квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на
вычисление объемов тел) и определение центров тяжести .

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом
языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним
из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления.
Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но
потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое
выражение и были доведены до уровня исчисления.

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже
подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме – нули, но нули
особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне
определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер
(1571 – 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и
“Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей
(например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело
резалось на бесконечно тонкие пластинки).

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери
(1598 – 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).

), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести.
И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет,
фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу
(1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи
интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по
представлению функции в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII
столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие
идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить
связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно
точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг
от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться
находить первообразные многих функций, дать логические основы нового
исчисления и т. п. Но главное уже было сделано:

дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии
(в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего
систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И.
Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские
математики М. В. Остроградский (1801 – 1862 гг.), В. Я. Буняковский
(1804 – 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 – 1894 гг.). Принципиальное
значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что
существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке,
Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших
математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 – 1866 гг.), французского
математика Г. Дарбу (1842 – 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов
фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 – 1922 гг.) теории
меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были
предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 – 1941 гг.) и А.
Данжуа (1884 – 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959
гг.)

ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси
Ох.

Определим площадь этой поверхности на участке а ? х ? b. Функцию f(x)
предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках
отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,….Мn-1B длины которых обозначим
через ?S1, ?S2… ?Sn (рис. 1). Каждая хорда длины ?Si (i=1,2,….n)
при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ?Pi равна:

Применяя теорему Лагранжа получим:

,где

Следовательно

Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме

, или сумме

, (1)

распространенной на все звенья ломаной.

Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ?Si стремится к нулю,
называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не
является интегральной суммой для функции

(2)

, так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi ], фигурирует
несколько точек этого отрезка xi-1, xi ,?i.. Но можно доказать, что
предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2),
т.е.

или

(3)

Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего
в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а ? x ?
b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x).

Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=?(t), y=?(t) (t0 ? t ?
t1) то формула (3) имеет вид,

(3/)

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019