ЧУЗ-ИДА Кривой Рог PEI-IBM
Частное Учебное Заведение
Институт Делового Администрирования
Private Educational Institution
Institute of Business Managment
Конспект лекций для специальности
УЧЕТ И АУДИТ( 95
сентябрь-декабрь 1996 г.
Особенности системного подхода к решению задач управления
Общие понятия теории систем и системного анализа
Термины теория систем и системный анализ или, более кратко — системный
подход, несмотря на период более 25 лет их использования, все еще не
нашли общепринятого, стандартного истолкования.
Причина этого факта заключается, скорее всего, в динамичности процессов
в области человеческой деятельности и, кроме того, в принципиальной
возможности использовать системный подход практически в любой решаемой
человеком задаче.
Даже в определении самого понятия система можно обнаружить достаточно
много вариантов, часть из которых базируется на глубоко философских
подходах, а другая использует обыденные обстоятельства, побуждающие нас
к решению практических задач системного плана.
Выберем золотую середину и будем далее понимать термин система как
совокупность (множество) отдельных объектов с неизбежными связями между
ними. Если мы обнаруживаем хотя бы два таких объекта: учитель и ученик
в процессе обучения, продавец и покупатель в торговле, телевизор и
передающая станция в телевидении и т. д. — то это уже система. Короче,
с некоторой претензией на высокопарность, можно считать системы способом
существования окружающего нас мира.
Более важно понять преимущество взгляда на этот мир с позиций системного
подхода: возможность ставить и решать, по крайней мере, две задачи:
расширить и углубить собственные представления о “меха-низме”
взаимодействий объектов в системе; изучить и, возможно, открыть новые её
свойства;
повысить эффективность системы в том плане ее функционирования, который
интересует нас больше всего.
составляет ровно столько, сколько существует Homo Sapiens.
Другое дело, что по мере развитие науки, прежде всего — кибернетики, эта
отрасль прикладной науки сформировалась в самостоятельный раздел. Ветви
ТССА прослеживаются во всех “ведомственных кибернетиках”: биологической,
медицинской, технической и, конечно же, экономической. В каждом случае
объекты, составляющие систему, могут быть самого широкого диапазона — от
живых существ в биологии до механизмов, компьютеров или каналов связи в
технике.
Но, несмотря на это, задачи и принципы системного подхода остаются
неизменными, не зависящими от природы объектов в системе.
Для лиц вашей будущей профессии наибольший интерес представляют,
естественно, экономические системы, а глобальной задачей системного
подхода — совершенствование процесса управления экономикой.
Поэтому для нас с вами предметом системного анализа будут являться
вопросы сбора, хранения и обработки информации об экономических объектах
и, возможно, технологических процессах.
Используя классическое определение кибернетики как науки об общих
законах получения, хранения, передачи и преобразования информации
(кибернетика в дословном переводе — искусство управлять), можно
считать ТССА фундаментальным разделом экономической кибернетики.
Сущность и принципы системного подхода
ТССА, как отрасль науки, может быть разделена на две, достаточно
условные части:
( теоретическую: использующую такие отрасли как теория вероятностей,
теория информации, теория игр, теория графов, теория расписаний, теория
решений, топология, факторный анализ и др.;
( прикладную, основанную на прикладной математической статистике,
методах исследовании операций, системотехнике и т. п. Таким образом,
ТССА широко использует достижения многих отраслей науки и этот “захват”
непрерывно расширяется.
Вместе с тем, в теории систем имеется свое “ядро”, свой особый метод —
системный подход к возникающим задачам. Сущность этого метода
достаточно проста: все элементы системы и все операции в ней должны
рассматриваться только как одно целое, только в совокупности, только во
взаимосвязи друг с другом.
Плачевный опыт попыток решения системных вопросов с игнорированием этого
принципа, попыток использования “местечкового” подхода достаточно
хорошо изучен. Локальные решения, учет недостаточного числа факторов,
локальная оптимизация — на уровне отдельных элементов почти всегда
приводили к неэффективному в целом, а иногда и опасному по последствиям,
результату.
( Итак, первый принцип ТССА — это требование рассматривать совокупность
элементов системы как одно целое или, более жестко, — запрет на
рассмотрение системы как простого объединения элементов.
( Второй принцип заключается в признании того, что свойства системы не
просто сумма свойств ее элементов. Тем самым постулируется возможность
того, что система обладает особыми свойствами, которых может и не быть
у отдельных элементов.
( Весьма важным атрибутом системы является ее эффективность.
Теоретически доказано, что всегда существует функция ценности системы —
в виде зависимости ее эффективности (почти всегда это экономический
показатель) от условий построения и функционирования. Кроме того, эта
функция ограничена, а значит можно и нужно искать ее максимум. Максимум
эффективности системы может считаться третьим ее основным принципом.
(Четвертый принцип запрещает рассматривать данную систему в отрыве от
окружающей ее среды — как автономную, обособленную. Это означает
обязательность учета внешних связей или, в более общем виде, требование
рассматривать анализируемую систему как часть (подсистему) некоторой
более общей системы.
( Согласившись с необходимостью учета внешней среды, признавая
логичность рассмотрения данной системы как части некоторой, большей ее,
мы приходим к пятому принципу ТССА — возможности (а иногда и
необходимости) деления данной системы на части, подсистемы. Если
последние оказываются недостаточно просты для анализа, с ними поступают
точно также. Но в процессе такого деления нельзя нарушать предыдущие
принципы — пока они соблюдены, деление оправдано, разрешено в том
смысле, что гарантирует применимость практических методов, приемов,
алгоритмов решения задач системного анализа.
Все изложенное выше позволяет формализовать определение термина система
в виде — многоуровневая конструкция из взаимо-действующих элементов,
объединяемых в подсистемы нескольких уровней для достижения единой цели
функционирования (целевой функции).
Проблемы согласования целей
Как уже отмечалось, в большинстве случаев (в экономических системах —
повсеместно), показателем полноты достижения цели “жизни” системы служит
стоимостной показатель. Разумеется, что выбор показателя — критерия
эффективности системы, является заключитель-ным этапом формулировки
целей и задач системы. Но нельзя упускать из виду, что от этого этапа
будут зависеть наши представления о свойствах системы и результаты
самого системного анализа.
Предположим, что по отношению к некоторой системе все формальные вопросы
описания уже благополучно разрешены. Что же дальше?
А дальше надо системой управлять — точнее решать вопрос об алгоритме или
тактике управления для достижения наибольшей эффективности. Скорее
всего, именно в этой области и лежит поле профессиональной деятельности
в вашей будущей профессии — делового администрирования, решения задач
организационно-управленческого характера.
Вроде бы все очень просто — имеется предприятие, выделены его
подсистемы (отделы), определены функции каждой подсистемы и каждого
элемента в них, описаны связи внутри системы и по отношению к внешней
среде. Так пусть каждый элемент функционирует оптимально — наиболее
эффективно делает свое дело.
Но здесь почти всегда возникают противоречия, суть которых можно
определить с помощью примера, ставшего классическим.
Рассмотрим деятельность некоторой фирмы, производящей определенные виды
продукции и, естественно, стремящейся получить мак-симальную прибыль
от ее продажи. Пусть решается простой вопрос — сколько готовой
продукции хранить на складе предприятия и сколько разновидностей ее
должно производиться? Посмотрим на “частные” интересы различных отделов
фирмы и сразу же обнаружим их несовпадение.
Да, каждый из отделов заинтересован в достижении глобальной цели —
максимуме прибыли фирмы (если это не так, то системный подход здесь
бессилен). Но!
( Производственный отдел будет заинтересован в длительном и непрерывном
производстве одного и того же вида продукции. Только в этом случае будут
наименьшими расходы на наладку оборудования.
( Отдел сбыта, наоборот, будет отстаивать идею производства
максимального числа видов продукции и больших запасов на складах.
( Финансовый отдел, конечно же, будет настаивать на минимуме складских
запасов — то, что лежит на складе, не может приносить прибыли!
( Даже отдел кадров будет иметь свою локальную целевую функцию —
производить продукцию всегда (даже в периоды делового спада) и в одном
и том же ассортименте, так как в этом случае не будет проблем текучести
кадров.
Вот и представьте себе сложность задачи управления такой большой
системой с достижением глобальной цели — максимума прибыли.
Ясно, что придется ставить и решать задачи согласования целей отдельных
подсистем и хорошо еще, если показатели эффективности подсистем имеют ту
же размерность, что и показатель (критерий) эффективности системы в
целом. Ведь вполне может оказаться, что эффективность работы некоторых
подсистем приходится измерять не в денежном выражении, а с помощью
других, не числовых, показателей.
Проблемы оценки связей в системе
Рассмотрим теперь вопрос о связях системы — между отдельными элементами
подсистем, подсистемами разных уровней и связях с внешней средой. Хотя
бы умозрительно можно полагать наличие каналов, по которым эти связи
производятся. Но чем же “наполнены” такие каналы? Скорее всего, в
экономических системах можно обнаружить и выделить только три типа
наполнителей
продукция;
деньги;
информация.
Нет нужды объяснять принципиальные различия продукции и денег. Что же
касается информации, то можно вспомнить ответ отца кибернетики Н.Винера
на вопрос — так что же такое информация: это НЕ материя и НЕ энергия!
Возникает вопрос о том, как же согласовывать эти совершенно
несопоставимые по размерностям показатели, как привести их к “общему
знаменателю”? Ведь без такого согласования невозможно будет установить
единый показатель эффективности системы в целом.
Вторая проблема оценки связей в системе станет понятной, если мы примем
условное деление систем на естественные и искусственные. Никто не станет
отрицать, что в природе все взаимосвязано — все “имеет свой конец, свое
начало”. И, тем не менее, все согласятся с тем, что “поведение” природы
(а тем более — человека) невозможно предсказать со 100% уверенностью.
Таким образом, вторая проблема оценки связей при системном анализе
заключается в том, что количества продукции, суммы денег и показатели
информационных потоков в каналах связи системы имеют стохастичную,
вероятностную природу — их значения в данный момент времени нельзя
предсказать абсолютно надежно.
Поэтому при системном анализе часто приходится иметь дело не с
конкретными значениями величин, не с заранее определенными событиями, а
с их оценками по прошлым наблюдениям или по прогнозам на будущее. Отсюда
возникает необходимость использования специальных, большей частью
прикладных, методов математической ста-тистики.
Если теперь вспомнить основное назначение системного анализа — получить
рекомендации по вопросам управления системой или, по крайней мере, по
совершенствованию этого управления, то возникает вопрос — а всегда ли
оправдан системный подход? Ведь ясно, что для его реализации потребуются
определенные и возможно немалые затраты времени и средств. Но, если
выводы системного анализа, полу-ченные на его основе рекомендации, почти
всегда не полностью достоверны, то выходит, что мы рискуем? Да, это
так и есть.
Без риска ошибки в реальном, окружающем нас мире просто жить, а уж тем
более действовать, — практически невозможно. Надо осознать, что даже
самое точное следование рекомендациям науки не дает гарантии получить
именно то, что мы задумали, проектировали, планировали. В утешение лишь
скажем, что можно рисковать без попыток просчитать возможные
последствия и можно рисковать в условиях, когда использованы все научные
методы оценки этих последствий.
Это совершенно противоположные подходы, но нельзя считать ни один из
них “юридически законным” или вытекающим из каких ни будь законов
природы, нельзя считать стиль управления системой на основе системного
анализа “правильным”, “современным”, “куль-турным”. Другое дело — не
знать о возможности применения системного подхода к вопросам управления
— вот это неправильно, некультурно.
Пример системного подхода к задаче управления
Для закрепления темы введения в курс, с целью хотя бы частично осветить
не затронутые еще вопросы системного анализа, рассмотрим конкретный
пример из собственного практического опыта лектора.
В конце 70 г. г. украинский МинВуз принял решение глобального учета
информации о текущей успеваемости студентов всех вузов Украины. Дело
было поставлено с поистине советским размахом — каж-дые две недели
семестра все студенты вуза проходили аттестацию по всем учебным
дисциплинам. Вся эта лавина информации (конечно же, недостоверной —
в виде прогноза будущей оценки на экзамене) передавалась в Киев. Сейчас
дело не в том как она использовалась (в конце этой эпопеи оказалось —
никак!).
Мы, в Криворожском горнорудном институте (теперь — технический
университет) попытались использовать ситуацию для совершен-ствования
управления учебным процессом, благо что процесс сбора информации был
обусловлен приказом по министерству.
На первом этапе системного подхода к задаче был решен вопрос о выделении
подсистем и их элементов. В качестве основных подсистем рассматривались
всего три их разновидности:
подсистема “Студенты”;
подсистема “Кафедры”;
подсистема “Деканаты”.
Было понятно, что локальные цели каждой из подсистем отличались друг от
друга (в первом случае это учеба, во втором — обучение, в третьем —
управление обучением на уровне факультета).
Вместе с тем имелась и единая цель функционирования вуза — подготовка
специалистов с высшим образованием по отдельным профи-лям. Была
определена и мера оценки эффективности системы в целом, пусть даже в
таком примитивном виде, как экзаменационные оценки знаний. Принималась
во внимание иерархия подсистем в плане подчинения, направленность
потоков знаний и информации о них в каналах связи между звеньями.
Были содержательно сформулированы две задачи:
( как по результатам текущего контроля знаний оценить эффективность
процесса обучения на данном интервале семестра, обнаружить “узкие места”
этого процесса;
( как оценить эффективность управляющих воздействий на систему обучения
на конечном его этапе — после подведения итогов сессии.
При этом заранее предполагалось, что “виновниками” недостаточной
эффективности обучения могут оказаться элементы любой из подсистем.
В самом деле, низкая успеваемость может быть обусловлена разными
причинами:
слабой предварительной подготовкой студентов;
малоэффективными в данных условиях методами обучения;
промахами в организации обучения.
Заметим, что эти выводы пока никакого отношения к системному анализу не
имеют, они сформулированы на основании понимания особенностей процесса
обучения.
Здесь, на этом этапе системного подхода в любой сфере всегда необходимо
обращаться к “технологии” процессов, происходящих в системе. А это
означает, что в предварительной части системного анализа в равной
степени должны участвовать как специалисты в области ТССА, так и знатоки
процессов данной системы. Участие одного из них — лица, принимающего
решения (далее — ЛПР) совершенно обязательно.
На следующем этапе в рассматриваемом примере были разработаны методы
сбора, хранения и обработки информации. И здесь, как в любом случае
системного подхода к задачам управления, пришлось решать проблему
представительности собираемых данных.
Прежде всего, пришлось поставить и решить вопрос об оценках текущего
контроля знаний, Поскольку это не метры, литры или килобайты, поскольку
не существует шкалы знаний, то что должна означать оценка текущего
контроля?
После обсуждения этих вопросов в среде специалистов (экспертов в области
обучения в высшей школе) было принято решение — оценка текущего
контроля знаний рассматривается как прогноз экзаменационной оценки.
И снова обратим внимание на тот факт, что такая договоренность между ЛПР
и специалистами ТССА была бы необходима и в том случае, когда речь бы
шла не о знаниях, а о будущих прибылях или надоях!
Здесь возможно различие в достоверности прогноза и то далеко не всегда,
но со стохастичным характером данных системного анализа приходится
мириться — такова природа явлений в реальной жизни.
Но и это еще не всё об информации, используемой при системном анализе.
Далеко не всегда “измерения” чего-то можно производить без ощутимых
последствий. И пусть даже сбор информации не приносит прямого морального
или материального ущерба, что иногда вполне возможно, хотя и не всегда
очевидно. Главное в другом — если мы хотим иметь информацию об
элементе системы, то надо стремиться получить ее с наименьшими,
информационными же, потерями.
В рассматриваемом примере не использовались никакие приборы, лишенные
разума и эмоций, — источниками данных и “измерителями” являлись люди!
В самом деле, необходимость предсказать свои собственные достижения в
условиях, когда они не только от тебя зависят (прогнозировать итог
экзамена студента), вне всяких сомнений, хоть чуть-чуть, но всё же
меняет один из элементов, то есть преподавателя.
Моделирование как метод системного анализа
Одной из проблем, с которой сталкиваются почти всегда при проведении
системного анализа, является проблема эксперимента в системе или над
системой. Очень редко это разрешено моральными законами или законами
безопасности, но сплошь и рядом связано с материальными затратами и
(или) значительными потерями информации.
Опыт всей человеческой деятельности учит — в таких ситуациях надо
экспериментировать не над объектом, интересующим нас предметом или
системой, а над их моделями. Под этим термином надо понимать не
обязательно модель физическую, т. е. копию объекта в уменьшенном или
увеличенном виде. Физическое моделирование очень редко применимо в
системах, хоть как то связанных с людьми. В частности в социальных
системах (в том числе — экономических) приходится прибегать к
математическому моделированию.
Буквально через минуту станет ясно, что математическим моделированием мы
овладеваем еще на школьной скамье. В самом деле, пусть требуется найти
площадь прямоугольника со сторонами 2 и 8 метров. Измерение сторон
произведено приближенно — других измерений расстояний не бывает! Как
решить эту задачу? Конечно же — не путем рисования прямоугольника
(даже в уменьшенном масштабе) и последующем разбиении его на квадратики
с окончательным подсчетом их числа. Да, безусловно, мы знаем формулу S
= B(H и воспользуемся ею — применим математическую модель процесса
определения площади.
Возвращаясь к начатому ранее примеру системного анализа обучения, можно
заметить, что там собственно нечего вычислять по фор-мулам — где же их
взять. Это так и есть, не существует методов расчета в такой сфере как
“прием-передача” знаний и сомнительно, чтобы эти методы когда-либо
появились.
Но ведь не существует формулы пищеварения, а люди все таки едят,
планируют процесс питания, управляют им и иногда даже успешно…..
Так что же? Если нет математических моделей — не выдумывать же их
самому? Ответ на этот вопрос самый простой: всем это уметь и делать —
не обязательно, а вот тому, кто взялся решать задачи системного анализа
— приходится и очень часто. Иногда здесь возможна подсказка природы,
знание технологии системы; в ряде случаев может выручить эксперимент над
реальной системой или ее элементами (т. н. методы планирования
экспериментов) и, наконец, иногда приходится прибегать к методу “черного
ящика”, предполагая некоторую статистическую связь между его входом и
выходом.
Таким “ящиком” в рассматриваемом примере считался не только студент (с
вероятностью такой-то получивший знания), но и все остальные элементы
системы — преподаватели и лица, организующие обучение.
Конечно, возможны ситуации, когда все процессы в большой системе
описываются известными законами природы и когда можно надеяться, что
запись уравнений этих законов даст нам математическую модель хотя бы
отдельных элементов или подсистем. Но и в этих, редких, случаях
возникают проблемы не только в плане сложности урав-нений, невозможности
их аналитического решения (расчета по формулам). Дело в том, что в
природе трудно обнаружить примеры “чистого” проявления ее отдельных
законов — чаще всего сопутствующие явление факторы “смазывают”
теоретическую картину.
Еще одно важное обстоятельство приходится учитывать при математическом
моделировании. Стремление к простым, элементарным моделям и вызванное
этим игнорирование ряда факторов может сделать модель неадекватной
реальному объекту, грубо говоря — сделать ее неправдивой. Снова таки,
без активного взаимодействия с технологами, специалистами в области
законов функционирования систем данного типа, при системном анализе не
обойтись.
В системах экономических, представляющих для вас основной интерес,
приходится прибегать большей частью к математическому моделированию,
правда в специфическом виде — с использованием не только
количественных, но и качественных, а также логических показателей.
Из хорошо себя зарекомендовавших на практике можно упомянуть модели:
межотраслевого баланса; роста; планирования эко-номики;
прогностические; равновесия и ряд других.
Завершая вопрос о моделировании при выполнении системного анализа,
резонно поставить вопрос о соответствии используемых моделей реальности.
Это соответствие или адекватность могут быть очевидными или даже
экспериментально проверенными для отдельных элементов системы. Но уже
для подсистем, а тем более системы в целом существует возможность
серьезной методической ошибки, связанная с объективной невозможность
оценить адекватность модели большой системы на логическом уровне.
Иными словами — в реальных системах вполне возможно логическое
обоснование моделей элементов. Эти модели мы как раз и стремимся
строить минимально достаточными, простыми настолько, насколько это
возможно без потери сущности процессов. Но логически осмыслить
взаимодействие десятков, сотен элементов человек уже не в состоянии. И
именно здесь может “сработать” известное в математике следствие из
знаменитой теоремы Гёделя — в сложной системе, полностью изолированной
от внешнего мира, могут существовать истины, положения, выводы вполне
“допустимые” с позиций самой системы, но не имеющие никакого смысла вне
этой системы.
То есть, можно построить логически безупречную модель реальной системы с
использованием моделей элементов и производить анализ такой модели.
Выводы этого анализа будут справедливы для каждого элемента, но ведь
система — это не простая сумма элементов, и ее свойства не просто
сумма свойств элементов.
Отсюда следует вывод — без учета внешней среды выводы о поведении
системы, полученные на основе моделирования, могут быть вполне
обоснованными при взгляде изнутри системы. Но не исключена и ситуация,
когда эти выводы не имеют никакого отношения к системе — при взгляде на
нее со стороны внешнего мира.
Для пояснения вернемся к рассмотренному ранее примеру. В нем почти все
элементы были построены на вполне оправданных логических постулатах
(допущениях) типа: если студент Иванов получил оценку “знает” по
некоторому предмету, и посетил все занятия по этому предмету, и
управление его обучением было на уровне “Да” — то вероятность
получения им оценки “знает” будет выше, чем при отсутствии хотя бы
одного из этих условий.
Но как на основании системного анализа такой модели ответить на
простейший вопрос; каков вклад (хотя бы по шкале “больше-меньше”)
каждой из подсистем в полученные фактические результаты сессии? А если
есть числовые описания этих вкладов, то каково доверие к ним? Ведь
управляющие воздействия на систему обучения часто можно производить
только через семестр или год.
Здесь приходит на помощь особый способ моделирования — метод
статистических испытаний (Монте Карло). Суть этого метода проста —
имитируется достаточно долгая “жизнь” модели, несколько сотен семестров
для нашего примера. При этом моделируются и регистрируются случайно
меняющиеся внешние (входные) воздействия на систему. Для каждой из
ситуации по уравнениям модели просчитываются выходные (системные)
показатели. Затем производится обратный расчет — по заданным выходным
показателям производится расчет входных. Конечно, никаких совпадений мы
не должны ожидать — каждый элемент системы при входе “Да” вовсе не
обязательно будет “Да” на выходе.
Но существующие современные методы математической статистики позволяют
ответить на вопрос — а можно ли и, с каким доверием, использовать данные
моделирования. Если эти показатели доверия для нас достаточны, мы
можем использовать модель для ответа на поставленные выше вопросы.
Процессы принятия управляющих решений
Пусть построена модель системы с соблюдением всех принципов системного
подхода, разработаны и “обкатаны” алгоритмы необходимых расчетов,
приготовлены варианты управляющих воздействий на систему. Надо понять,
что эти воздействия не всегда заключаются в изменениях уровня некоторых
входных параметров — это могут быть варианты структурных перестроек
системы.
Так вот — все это есть. И что же дальше? Пора и управлять, управлять с
единой целью — повышения эффективности функционирования системы
(однокритериальная задача) или с одновременным достижением нескольких
целей (многокритериальная задача).
Естественно, мы ставим вопрос: “А что будет, если …?” и ожидаем ответа.
Но здесь не следует ожидать чуда, нельзя надеяться на однозначный ответ.
Если к примеру, мы интересуемся вопросом — “к чему приведет
увеличение на 20% закупок цемента?”, то мы должны не удивляться,
получив ответ — “Это приведет к увеличению рентабельности производства
кирпича на величину, которая с вероятностью 95% не будет ниже 6% и не
будет выше 14%”. И это еще очень содержательный ответ, могут быть и
более “расплывчатые”!
Здесь уместно в последний раз обратиться к примеру с анализом системы
обучения и ответить на возможный вопрос — а как же были использованы
выводы системного анализа обучения в КГРИ? Ответ одного из соавторов
системного анализа, пишущего эти строки, очень краткий — никак.
Можно теперь открыть еще одну (не последнюю) тайну ТССА. Дело в том,
что судьбу разработок по управлению большими системами должно решать
только ЛПР, и только этот человек (или коллективный орган) решает вопрос
дальнейшей судьбы итогов системного анализа. Важно отметить, что это
правило никак не связано ни с “важностью” конкретной отрасли
промышленности, торговли или образования, ни с политическими
обстоятельствами, ни с государственным строем. Все намного проще —
мудрость отцов-основателей ТССА проявилась, прежде всего, в том, что
неполнота достоверности выводов системного анализа была ими заранее
оговорена.
Поэтому те, кто ведет системный анализ, не должны претендовать на
обязательное использование своих разработок; факты отказа от их
использования не есть показатель непригодности этих разработок.
С другой стороны, те, кто принимают решения, должны столь же четко
понимать, что расплывчатость выводов ТССА есть неизбежность, она может
быть обусловлена не промахами анализа, а самой природой или ошибкой
постановки задачи, например, попытки управлять такой гигантской
системой, как экономика бывшего СССР.
Основные понятия математической статистики
Случайные события и величины, их основные характеристики
Как уже говорилось, при анализе больших систем наполнителем каналов
связи между элементами, подсистемами и системы в целом могут быть:
( продукция, т. е. реальные, физически ощутимые предметы с заранее
заданным способом их количественного и качественного описания;
( деньги, с единственным способом описания — суммой;
( информация, в виде сообщений о событиях в системе и значениях
описывающих ее поведение величин.
Начнем с того, что обратим внимание на тесную (системную!) связь
показателей продукции и денег с информацией об этих показателях. Если
рассматривать некоторую физическую величину, скажем — количество
проданных за день образцов продукции, то сведения об этой величине
после продажи могут быть получены без проблем и достаточно точно или
достоверно. Но, уже должно быть ясно, что при системном анализе нас куда
больше интересует будущее — а сколько этой продукции будет продано
за день? Этот вопрос совсем не праздный — наша цель управлять, а по
образному выражению “управлять — значит предвидеть”.
Итак, без предварительной информации, знаний о количественных
показателях в системе нам не обойтись. Величины, которые могут
принимать различные значения в зависимости от внешних по отношению к ним
условий, принято называть случайными (стохастичными по природе). Так,
например: пол встреченного нами человека может быть женским или
мужским (дискретная случайная величина); его рост также может быть
различным, но это уже непрерывная случайная величина — с тем или иным
количеством возможных значений (в зависимости от единицы измерения).
Для случайных величин (далее — СВ) приходится использовать особые,
статистические методы их описания. В зависимости от типа самой СВ —
дискретная или непрерывная это делается по разному.
Дискретное описание заключается в том, что указываются все возможные
значения данной величины (например – 7 цветов обычного спектра) и для
каждой из них указывается вероятность или частота наблюдений именного
этого значения при бесконечно большом числе всех наблюдений.
Можно доказать (и это давно сделано), что при увеличении числа
наблюдений в определенных условиях за значениями некоторой дискретной
величины частота повторений данного значения будет все больше
приближаться к некоторому фиксированному значению — которое и есть
вероятность этого значения.
называют достоверными, а с вероятностью 0 — невозможными.
Отсюда простое правило: для случайного события X вероятности P(X)
(событие происходит) и P(X) (событие не происходит), в сумме для
простого события дают 1.
Если мы наблюдаем за сложным событием — например, выпадением чисел
1..6 на верхней грани игральной кости, то можно считать, что такое
событие имеет множество исходов и для каждого из них вероятность
составляет 1/6 при симметрии кости.
Если же кость несимметрична, то вероятности отдельных чисел будут
разными, но сумма их равна 1.
Стоит только рассматривать итог бросания кости как дискретную
случайную величину и мы придем к понятию распределения вероятностей
такой величины.
Пусть в результате достаточно большого числа наблюдений за игрой с
помощью одной и той же кости мы получили следующие данные:
Таблица 2.1
Грани 1 2 3 4 5 6 Итого
Наблюдения 140 80 200 400 100 80 =SIGN(LEFT) 1000
Подобную таблицу наблюдений за СВ часто называют выборочным
распределением, а соответствующую ей картинку (диаграмму) —
гистограммой.
Рис. 2.1
Какую же информацию несет такая табличка или соответствующая ей
гистограмма?
на любой из исходов.
С другой стороны — очень мало, особенно в цифровом, численном описании
СВ. Как, например, ответить на вопрос: — а сколько в среднем мы
выигрываем за одно бросание кости, если выигрыш соответствует выпавшему
числу на грани?
Нетрудно сосчитать:
1(0.140+2(0.080+3(0.200+4(0.400+5(0.100+6(0.080= 3.48
То, что мы вычислили, называется средним значением случайной величины,
если нас интересует прошлое.
Если же мы поставим вопрос иначе — оценить по этим данным наш будущий
выигрыш, то ответ 3.48 принято называть математическим ожиданием
случайной величины, которое в общем случае определяется как
Mx = ( Xi ( P(Xi);
{2 – 1}
где P(Xi) — вероятность того, что X примет свое i-е очередное
значение.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины (как
дискретной, так и непрерывной)— это то, к чему стремится ее среднее
значение при достаточно большом числе наблюдений.
Обращаясь к нашему примеру, можно заметить, что кость несимметрична, в
противном случае вероятности составляли бы по 1/6 каждая, а среднее и
математическое ожидание составило бы 3.5.
Поэтому уместен следующий вопрос – а какова степень асимметрии
кости – как ее оценить по итогам наблюдений?
Для этой цели используется специальная величина — мера рассеяния — так
же как мы “усредняли” допустимые значения СВ, можно усреднить ее
отклонения от среднего. Но так как разности (Xi – Mx) всегда будут
компенсировать друг друга, то приходится усреднять не отклонения от
среднего, а квадраты этих отклонений. Величину
{2 – 2}
принято называть дисперсией случайной величины X.
Вычисление дисперсии намного упрощается, если воспользоваться
выражением
{2 – 3}
т. е. вычислять дисперсию случайной величины через усредненную
разность квадратов ее значений и квадрат ее среднего значения.
Выполним такое вычисление для случайной величины с распределением рис.
1.
Таблица 2.2
Грани(X) 1 2 3 4 5 6 Итого
X2 1 4 9 16 25 36
Pi 0.140 0.080 0.200 0.400 0.100 0.080 1.00
Pi(X2(1000 140 320 1800 6400 2500 2880 =SIGN(LEFT) 14040
Таким образом, дисперсия составит 14.04 – (3.48)2 = 1.930.
Заметим, что размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой СВ
и это не позволяет оценить величину разброса. Поэтому чаще всего вместо
дисперсии используется квадратный корень из ее значения — т. н.
среднеквадратичное отклонение или отклонение от среднего значения:
{2 – 4}
= 1.389. Много это или мало?
Сообразим, что в случае наблюдения только одного из возможных значений
(разброса нет) среднее было бы равно именно этому значению, а дисперсия
составила бы 0. И наоборот – если бы все значения наблюдались одинаково
часто (были бы равновероятными), то среднее значение составило бы
(1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.500; усредненный квадрат отклонения — (1 + 4 + 9
+ 16 + 25 + 36) / 6 =15.167; а дисперсия 15.167-12.25 = 2.917.
Таким образом, наибольшее рассеяние значений СВ имеет место при ее
равновероятном или равномерном распределении.
Отметим, что значения Mx и SX являются размерными и их абсолютные
значения мало что говорят. Поэтому часто для грубой оценки “случайности”
данной СВ используют т. н. коэффициент вариации или отношение корня
квадратного из дисперсии к величине математического ожидания:
Vx = SX/MX .
{2 – 5}
В нашем примере эта величина составит 1.389/3.48=0.399.
Итак, запомним, что неслучайная, детерминированная величина имеет
математическое ожидание равное ей самой, нулевую дисперсию и нулевой
коэффициент вариации, в то время как равномерно распределенная СВ
имеет максимальную дисперсию и максимальный коэффициент вариации.
В ряде ситуаций приходится иметь дело с непрерывно распределенными СВ –
весами, расстояниями и т. п. Для них идея оценки среднего значения
(математического ожидания) и меры рассеяния (дисперсии) остается той
же, что и для дискретных СВ. Приходится только вместо
соответствующих сумм вычислять интегралы. Второе отличие — для
непрерывной СВ вопрос о том какова вероятность принятия нею конкретного
значения обычно не имеет смысла — как проверить, что вес товара
составляет точно 242 кг – не больше и не меньше?
Для всех СВ — дискретных и непрерывно распределенных, имеет очень
большой смысл вопрос о диапазоне значений. В самом деле, иногда знание
вероятности того события, что случайная величина не превзойдет
заданный рубеж, является единственным способом использовать имеющуюся
информацию для системного анализа и системного подхода к управлению.
Правило определения вероятности попадания в диапазон очень просто —
надо просуммировать вероятности отдельных дискретных значений диапазона
или проинтегрировать кривую распределения на этом диапазоне.
Взаимосвязи случайных событий
Вернемся теперь к вопросу о случайных событиях. Здесь методически
удобнее рассматривать вначале простые события (может произойти или не
произойти). Вероятность события X будем обозначать P(X) и иметь
ввиду, что вероятность того, что событие не произойдет, составляет
P(X) = 1 – P(X).
{2 – 6}
Самое важное при рассмотрении нескольких случайных событий (тем более
в сложных системах с развитыми связями между элементами и подсистемами)
— это понимание способа определения вероятности одновременного
наступления нескольких событий или, короче, — совмещения событий.
Рассмотрим простейший пример двух событий X и Y, вероятности которых
составляют P(X) и P(Y). Здесь важен лишь один вопрос — это события
независимые или, наоборот взаимозависимые и тогда какова мера связи
между ними? Попробуем разобраться в этом вопросе на основании здравого
смысла.
Оценим вначале вероятность одновременного наступления двух независимых
событий. Элементарные рассуждения приведут нас к выводу: если события
независимы, то при 80%-й вероятности X и 20%-й вероятности Y
одновременное их наступление имеет вероятность всего лишь 0.8 ( 0.2
= 0.16 или 16% .
Итак — вероятность наступления двух независимых событий определяется
произведением их вероятностей:
P(Y).
{2 – 7}
Перейдем теперь к событиям зависимым. Будем называть вероятность
события X при условии, что событие Y уже произошло условной вероятностью
P(X/Y), считая при этом P(X) безусловной или полной вероятностью. Столь
же простые рассуждения приводят к так называемой формуле Байеса
P(X) {2 – 8}
где слева и справа записано одно и то же — вероятности одновременного
наступления двух “зависимых” или коррелированных событий.
Дополним эту формулу общим выражением безусловной вероятности события
X:
P(Y), {2 – 9}
означающей, что данное событие X может произойти либо после того как
событие Y произошло, либо после того, как оно не произошло (Y) —
третьего не дано!
Формулы Байеса или т. н. байесовский подход к оценке вероятностных
связей для простых событий и дискретно распределенных СВ играют
решающую роль в теории принятия решений в условиях неопределенности
последствий этих решений или в условиях противо-действия со стороны
природы, или других больших систем (конкуренции). В этих условиях
ключевой является стратегия управления, основанная на прогнозе т. н.
апостериорной (послеопытной) вероятности события
. {2 – 10}
Прежде всего, еще раз отметим взаимную связь событий X и Y — если
одно не зависит от другого, то данная формула обращается в тривиальное
тождество. Кстати, это обстоятельство используется при решении задач
оценки тесноты связей — корреляционном анализе. Если же взаимосвязь
событий имеет место, то формула Байеса позволяет вести управление
путем оценки вероятности достижения некоторой цели на основе наблюдений
над процессом функционирования системы — путем перерасчета вариантов
стратегий с учетом изменившихся представлений, т. е. новых значений
вероятностей.
Дело в том, что любая стратегия управления будет строиться на базе
определенных представлений о вероятности событий в системе — и на первых
шагах эти вероятности будут взяты “из головы” или в лучшем случае из
опыта управления другими системами. Но по мере “жизни” системы нельзя
упускать из виду возможность “коррекции” управления – использования
всего накапливаемого опыта.
Схемы случайных событий и законы распределений случайных величин
Большую роль в теории и практике системного анализа играют некоторые
стандартные распределения непрерывных и дискретных СВ.
Эти распределения иногда называют “теоретическими”, поскольку для них
разработаны методы расчета всех показателей распределения,
зафиксированы связи между ними, построены алгоритмы расчета и т. п.
Таких, классических законов распределений достаточно много, хотя “штат”
их за последние 30..50 лет практически не пополнился. Необходимость
знакомства с этими распределениями для специалистов вашего профиля
объясняется тем, что все они соответствуют некоторым
“теоретическим” схемам случайных (большей частью — элементарных)
событий.
Как уже отмечалось, наличие больших массивов взаимосвязанных событий и
обилие случайных величин в системах экономики приводит к трудностям
априорной оценки законов распределений этих событий или величин.
Пусть, к примеру, мы каким-то образом установили математическое
ожидание спроса некоторого товара. Но этого мало – надо хотя бы оценить
степень колебания этого спроса, ответить на вопрос — а какова
вероятность того, что он будет лежать в таких-то пределах? Вот если бы
установить факт принадлежности данной случайной величины к такому
классическому распределению как т. н. нормальное, то тогда задача
оценки диапазона, доверия к нему (доверительных интервалов) была бы
решена безо всяких проблем.
Доказано, например, что с вероятностью более 95% случайная величина X
с нормальным законом распределения лежит в диапазоне — математическое
ожидание Mx плюс/минус три среднеквадратичных отклонения SX.
Так вот — все дело в том к какой из схем случайных событий
классического образца ближе всего схема функционирования элементов
вашей большой системы. Простой пример – надо оценить показатели оплаты
за услуги предоставления времени на междугородние переговоры –
например, найти вероятность того, что за 1 минуту осуществляется ровно
N переговоров, если заранее известно среднее число поступающих в минуту
заказов. Оказывается, что схема таких случайных событий прекрасно
укладывается в т. н. распределение Пуассона для дискретных случайных
величин. Этому распределению подчинены почти все дискретные величины,
связанные с так называемыми “редкими” событиями.
Далеко не всегда математическая оболочка классического закона
распределения достаточно проста. Напротив — чаще всего это сложный
математический аппарат со своими, специфическими приемами. Но дело не в
этом, тем более при “повальной” компьютеризации всех областей
деятельности человека. Разумеется, нет необходимости знать в деталях
свойства всех или хоть какой-то части классических распределений –
достаточно иметь в виду саму возможность воспользоваться ими.
Из личного опыта – очень давно, в до_компьютерную эру автору этих строк
удалось предложить метод оценки степени надежности энергоснабжения,
найти по сути дела игровой метод принятия решения о необходимости затрат
на резервирование линий электропередач в условиях неопределенности —
игры с природой.
Таким образом, при системном подходе к решению той или иной задачи
управления (в том числе и экономического) надо очень взвешено
отнестись к выбору элементов системы или отдельных системных
операций. Не всегда “укрупнение показателей” обеспечит логическую
стройность структуры системы — надо понимать, что заметить близость
схемы событий в данной системе к схеме классической чаще всего удается
на самом “элементарном” уровне системного анализа.
Завершая вопрос о распределении случайных величин обратим внимание на
еще одно важное обстоятельство: даже если нам достаточно одного
единственного показателя — математического ожидания данной случайной
величины, то и в этом случае возникает вопрос о надежности данных об
этом показателя.
В самом деле, пусть нам дано т. н. выборочное распределение случайной
величины X (например — ежедневной выручки в $) в виде 100 наблюдений
за этой величиной. Пусть мы рассчитали среднее Mx и оно составило $125
при колебаниях от $50 до $200. Попутно мы нашли SX, равное $5. Теперь
уместен вопрос: а насколько правдоподобным будет утверждение о том,
что в последующие дни выручка составит точно $125? Или будет лежать в
интервале $120..$130? Или окажется более некоторой суммы — например,
$90?
Вопросы такого типа чрезвычайно остры – если это всего лишь элемент
некоторой экономической системы (один из многих), то выводы на финише
системного анализа, их достоверность, конечно же, зависят от ответов
на такие вопросы.
Что же говорит теория, отвечая на эти вопросы? С одной стороны очень
много, но в некоторых случаях — почти ничего. Так, если у вас есть
уверенность в том, что “теоретическое” распределение данной случайной
величины относится к некоторому классическому (т. е. полностью
описанному в теории) типу, то можно получить достаточно много
полезного.
Sx) или в нашем примере выручка с вероятностью 0.05 будет $140. Надо смириться со своеобразностью теоретического вывода —
утверждается не тот факт, что выручка составит от 90 до 140 (с
вероятностью 95%), а только то, что сказано выше.
( Если у нас нет теоретических оснований принять какое либо
классическое распределение в качестве подходящего для нашей СВ, то и
здесь теория окажет нам услугу — позволит проверить гипотезу о таком
распределении на основании имеющихся у нас данных. Правда –
исчерпывающего ответа “Да” или “Нет” ждать нечего. Можно лишь получить
вероятность ошибиться, отбросив верную гипотезу (ошибка 1 рода) или
вероятность ошибиться приняв ложную (ошибка 2 рода).
( Даже такие “обтекаемые” теоретические выводы в сильной степени
зависят от объема выборки (количества наблюдений), а также от “чистоты
эксперимента” — условий его проведения.
Методы непараметрической статистики
Использование классических распределений случайных величин обычно
называют “параметрической статистикой” – мы делаем предположение о том,
что интересующая нас СВ (дискретная или непрерывная) имеет вероятности,
вычисляемые по некоторым формулам или алгоритмам. Однако не всегда у нас
имеются основания для этого. Причин тому чаще всего две:
( некоторые случайные величины просто не имеют количественного
описания, обоснованных единиц измерения (уровень знаний, качество
продукции и т. п.);
( наблюдения над величинами возможны, но их количество слишком мало
для проверки предположения (гипотезы) о типе распределения.
В настоящее время в прикладной статистике все большей популярностью
пользуются методы т. н. непараметрической статистики — когда вопрос о
принадлежности распределения вероятностей данной величины к тому или
иному классу вообще не подымается, но конечно же — задача оценки самой
СВ, получения информации о ней, остается.
Одним из основных понятий непараметрической статистики является понятие
ШКАЛЫ или процедуры шкалирования значений СВ. По своему смыслу процедура
шкалирования суть решение вопроса о “единицах измерения” СВ. Принято
использовать четыре вида шкал.
Nom. Первой из них рассмотрим НОМИНАЛЬНУЮ шкалу — применяемую к тем
величинам, которые не имеют природной единицы измерения. Если некоторая
величина может принимать на своей номинальной шкале значения X, Y или
Z, то справедливыми считаются только выражения типа: (X#Y), (X#Z),
(X=Z), а выражения типа (X>Y), (X
Эксперты 1 2 3 4 5 6 Сумма
A 5 4 1 6 3 2 21
B 2 3 1 5 6 4 21
C 4 1 6 3 2 5 21
D 4 3 2 3 2 5 21
Сумма рангов
Сум. ранг 15
4 11
2 10
1 19
6 12
3 17
5 84
Отклонение суммы
от среднего +1
1 -3
9 -4
16 +5
25 -2
4 +3
9 0
64
Заметим, что полная сумма рангов составляет 84, что дает в среднем по
14 на фактор.
Для общего случая n факторов и m экспертов среднее значение суммы
рангов для любого фактора определится выражением
{3 – 10}
Теперь можно оценить степень согласованности мнений экспертов по
отношению к шести факторам. Для каждого из факторов наблюдается
отклонение суммы рангов, указанных экспертами, от среднего значения
такой суммы. Поскольку сумма этих отклонений всегда равна нулю, для их
усреднения разумно использовать квадраты значений.
В нашем случае сумма таких квадратов составит S= 64, а в общем случае
эта сумма будет наибольшей только при полном совпадении мнений всех
экспертов по отношению ко всем факторам:
{3 – 11}
М. Кэндэллом предложен показатель согласованности или коэффициент
конкордации, определяемый как
{3 – 12}
В нашем примере значение коэффициента конкордации составляет около
0.229, что при четырех экспертах и шести факторах достаточно, чтобы с
вероятностью не более 0.05 считать мнения экспертов несогласованными.
Дело в том, что как раз случайность ранжировок, их некоррелированность
просчитывается достаточно просто. Так для нашего примера указанная
вероятность соответствует сумме квадратов отклонений S= 143.3 , что
намного больше 64.
В заключение вопроса об особенностях метода экспертных оценок в
системном анализе отметим еще два обстоятельства.
В первом примере мы получили результирующие ранги 10 целей
функционирования некоторой системы. Как воспользоваться этой
результируюзей ранжировкой? Как перейти от ранговой (Ord) шкалы целей к
шкале весовых коэффициентов — в диапазоне от 0 до 1?
Здесь обычно используются элементарные приемы нормирования. Если цель 3
имеет ранг 1, цель 8 имеет ранг 2 и т. д., а сумма рангов составляет
55, то весовой коэффициент для цели 3 будет наибольшим и сумма весов
всех 10 целей составит 1.
Вес цели придется определять как
(11-1) / 55 для 3 цели;
(11-2) / 55 для 8 цели и т. д.
При использовании групповой экспертной оценки можно не только выяснять
мнение экспертов о показателях, необходимых для системного анализа.
Очень часто в подобных ситуациях используют так называемый метод Дельфы
(от легенды о дельфийском оракуле).
Опрос экспертов проводят в несколько этапов, как правило — анонимно.
После очередного этапа от эксперта требуется не просто ранжировка, но и
ее обоснование. Эти обоснования сообщаются всем экспертам перед
очередным этапом без указания авторов обоснований.
Имеющийся опыт свидетельствует о возможностях существенно повысить
представительность, обоснованность и, главное, достоверность суждений
экспертов. В качестве “побочного эффекта” можно составить мнение о
профессиональности каждого эксперта.
Моделирование системы в условиях неопределенности
Как уже отмечалось в первой части нашего курса, в большинстве реальных
больших систем не обойтись без учета “состояний природы” — воздействий
стохастического типа, случайных величин или случайных событий. Это
могут быть не только внешние воздействия на систему в целом или на
отдельные ее элементы. Очень часто и внутренние системные связи имеют
такую же, “случайную” природу.
Важно понять, что стохастичность связей между элементами системы и уж
тем более внутри самого элемента (связь “вход-выход”) является основной
причиной риска выполнить вместо системного анализа совершенно
бессмысленную работу, получить в качестве рекомендаций по управлению
системой заведомо непригодные решения.
Выше уже оговаривалось, что в таких случаях вместо самой случайной
величины X приходится использовать ее математическое ожи-дание Mx. Все
вроде бы просто — не знаем, так ожидаем. Но насколько оправданы наши
ожидания? Какова уверенность или какова вероятность ошибиться?
Такие вопросы решаются, ответы на них получить можно — но для этого
надо иметь информацию о законе распределения СВ. Вот и приходится на
данном этапе системного анализа (этапе моделирования) заниматься
статистического исследованиями, пытаться получить ответы на вопросы:
( А не является ли данный элемент системы и производимые им операции
“классическими”?
( Нет ли оснований использовать теорию для определения типа
распределения СВ (продукции, денег или информационных сообщений)? Если
это так — можно надеяться на оценки ошибок при принятии решений, если же
это не так, то приходится ставить вопрос иначе.
( А нельзя ли получить искомое распределение интересующей нас СВ из
данных эксперимента? Если этот эксперимент обойдется дорого или
физически невозможен, или недопустим по моральным причинам, то может
быть “для рагу из зайца использовать хотя бы кошку” — воспользоваться
апостериорными данными, опытом прошлого или предсказаниями на будущее,
экспертными оценками?
Если и здесь нет оснований принимать положительное решение, то можно
надеяться еще на один выход из положения.
Не всегда, но все же возможно использовать текущее состояние уже
действующей большой системы, ее реальную “жизнь” для получения
глобальных показателей функционирования системы.
Этой цели служат методы планирования эксперимента, теоретической и
методологической основой которых является особая область системного
анализа — т. н. факторный анализ, сущность которого будет освещена
несколько позже.
Моделирование систем массового обслуживания
Достаточно часто при анализе экономических систем приходится решать т.
н. задачи массового обслуживания, возникающие в следующей ситуации.
Пусть анализируется система технического обслужи-вания автомобилей,
состоящая из некоторого количества станций различной мощности. На каждой
из станций (элементе системы) могут возникать, по крайней мере, две
типичных ситуации:
( число заявок слишком велико для данной мощности станции, возникают
очереди и за задержки в обслуживании приходится платить;
( на станцию поступает слишком мало заявок и теперь уже приходится
учитывать потери, вызванные простоем станции.
Ясно, что цель системного анализа в данном случае заключается в
определении некоторого соотношения между потерями доходов по причине
очередей и потерями по причине простоя станций. Такого соотношения, при
котором математическое ожидание суммарных потерь окажется минимальным.
Так вот, специальный раздел теории систем — теория массового
обслуживания, позволяет
( использовать методику определения средней длины очереди и среднего
времени ожидания заказа в тех случаях, когда скорость поступления
заказов и время их выполнения заданы;
( найти оптимальное соотношение между издержками по причине ожидания в
очереди и издержками простоя станций обслуживания;
( установить оптимальные стратегии обслуживания.
Обратим внимание на главную особенность такого подхода к задаче
системного анализа — явную зависимость результатов анализа и получаемых
рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности
заказов (а значит — времени их исполнения).
Но это уже связи нашей системы с внешним миром и без учета этого факта
нам не обойтись. Потребуется провести исследования потоков заявок по их
численности и сложности, найти статистические показатели этих величин,
выдвинуть и оценить достоверность гипотез о законах их распределения.
Лишь после этого можно пытаться анализировать — а как будет вести себя
система при таких внешних воздействиях, как будут меняться ее показатели
(значение суммарных издержек) при разных управляющих воздействиях или
стратегиях управления.
Очень редко при этом используется сама система, производится натуральный
эксперимент над ней. Чаще всего такой эксперимент связан с риском потерь
заказчиков или неоправданными затратами на создание дополнительных
станций обслуживания.
Поэтому следует знать о таком особом подходе к вопросу моделирования
систем как метод статистических испытаний или метод Монте Карло.
Вернемся к примеру с анализом работы станций обслуживания. Пусть у нас
всего лишь одна такая станция и заранее известны:
( — средняя скорость поступления заказов и
( — средняя скорость выполнения заказов (штук в единицу времени), и
таким образом задана величина ( = ( / ( — интенсивность нагрузки
станции.
Уже по этим данным оказывается возможным построить простейшую модель
системы. Будем обозначать X число заказов, находящихся в очереди на
обслуживании в единицу времени, и попытаемся построить схему случайных
событий для определения вероятности P(X).
Событие — в очереди находятся точно X заказов может наблюдаться в
одной из четырех ситуаций.
( В очереди было X заказов (A1), за это время не поступило ни одного
нового заказа (A2) и за это же время не был выполнен ни один заказ из
находящихся в работе (A3).
( В очереди было X – 1 заказов (B1), за это время поступил один новый
заказ (B2) и за это же время не был выполнен ни один заказ из
находящихся в работе (B3).
( В очереди было X + 1 заказов (C1), за это время не поступило ни одного
нового заказа (C2) и за это же время был выполнен один заказ из
находящихся в работе (C3).
( В очереди было X заказов (D1), за это время поступил один новый
заказа (D2) и за это же время был выполнен один заказ из находящихся в
работе (D3).
Такая схема событий предполагает особое свойство “технологии” нашей
системы — вероятность поступления более одного заказа за
рассматриваемую единицу времени и вероятность выполнения более одного
заказа за то же время считаются равными 0.
Это не такое уж “вольное” допущение — длительность отрезка времени
всегда можно уменьшить до необходимых пределов.
А далее все очень просто. Перемножая вероятности событий A1..3, B1..3,
C1..3, D1..3, мы определим вероятности каждого из вариантов
интересующего нас события — в течение заданного нами интервала времени
длина очереди не поменялась..
Несложные преобразования суммы вероятностей всех четырех вариантов
такого события приведут нас к выражению для вероятности длины очереди в
X заказов:
P(X) = (x ( (1-(),
{3-13}
а также для математического ожидания длины очереди:
MX = ( / (1-().
{3-14}
Оценить полезность такого моделирования позволят простые примеры. Пусть
мы решили иметь всего лишь 50%-ю интенсивность нагрузки станции, то есть
вдвое “завысили” ее пропускную способность по отношению к потоку
заказов.
Тогда для ( = 0.5 имеем следующие данные:
Таблица 3.4
Очередь 0 1 2 3 4 и более
Вероятность 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
Обобщим полученные результаты:
( вероятность отсутствия очереди оказалась точно такой же, как и ее
наличия;
( очередь в 4 и более заказа практически невероятна;
( математическое ожидание очереди составляет ровно 1 заказ.
Наше право (если мы и есть ЛПР!) — принять такую интенсивность или
отказаться от нее, но все же у нас есть определенные показатели
последствий такого решения.
Полезно проанализировать ситуации с другими значениями интенсивности
нагрузки станции.
Таблица 3.5
( 1 / 2 3 / 4 7 / 8 15 / 16
Mx 1 3 7 15
Обратим теперь внимание еще на одно обстоятельство — мы полагали
известной информацию только о средней скорости (ее математического
ожидания) выполнения заказов. Иными словами, мы считали время
выполнения очередного заказа независящим ни от его “содержания” (помыть
автомобиль или ликвидировать следствия аварии), ни от числа заказов,
“стоящих в очереди”.
В реальной жизни это далеко не всегда так и хотелось бы хоть как-то
учесть такую зависимость. И здесь теория приходит на помощь (тому, кто
понимает ее возможности).
Если нам представляется возможность установить не только само ( (среднюю
или ожидаемую скорость обработки заказа), но и разброс этой величины D(
(дисперсию), то можно будет оценить среднее число заказов в очереди
более надежно (именно так — не точнее, а надежнее!):
. {3 – 15}
Моделирование в условиях противодействия, игровые модели
Как уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета
взаимодействий данной системы с внешней средой. Ранее упоминалась
необходимость учитывать состояния природы — большей частью случайных,
стохастических воздействий на систему.
Конечно, природа не мешает (но и не помогает) процессам системы
осознанно, злонамеренно или, наоборот, поощряюще. Поэтому учет
внешних природных воздействий можно рассматривать как “игру с
природой”, но в этой игре природа — не противник, не оппонент, у нее нет
цели существования вообще, а тем более — цели противодействия нашей
системе.
Совершенно иначе обстоит дело при учете взаимодействий данной системы с
другими, аналогичными или близкими по целям своего функционирования. Как
известно, такое взаимодействие называют конкуренцией и ситуации жизни
больших систем-монополистов крайне редки, да и не вызывают особого
интереса с позиций теории систем и системного анализа.
Особый раздел науки — теория игр позволяет хотя бы частично разрешать
затруднения, возникающие при системном анализе в условиях
противодействия. Интересно отметить, что одна из первых монографий
по этим вопросам называлась “Теория игр и экономического поведения”
(авторы — Нейман и Моргенштерн, 1953 г., имеется перевод) и послужила
своеобразным катализатором развития методов линейного
программирования и теории статистических решений.
В качестве простого примера использования методов теории игр в экономике
рассмотрим следующую задачу.
Пусть вы имеете всего три варианта стратегий в условиях конкуренции
S1,S2 и S3 (например — выпускать в течение месяца один из 3 видов
продукции). При этом ваш конкурент имеет всего два варианта стратегий C1
и C2 (выпускать один из 2 видов своей продукции, в каком то смысле
заменяющей продукцию вашей фирмы). При этом менять вид продукции в
течение месяца невозможно ни вам, ни вашему конкуренту.
Пусть и вам, и вашему конкуренту достоверно известны последствия каждого
из собственных вариантов поведения, описываемые следующей таблицей.
Таблица 3.6
C1 C2
S1 -2000 + 2000
S2 -1000 +3000
S3 +1000 +2000
Цифры в таблице означают следующее:
( вы несете убытки в 2000 гривен, а конкурент имеет ту же сумму
прибыли, если вы приняли стратегию S1, а конкурент применил C1;
( вы имеете прибыль в 2000 гривен, а конкурент теряет ту же сумму,
если вы приняли S1 против C2;
( вы несете убытки в сумме 1000 гривен, а конкурент получает такую
прибыль, если ваш вариант S2 оказался против его варианта C1 , и так
далее.
Предполагается, что обе стороны имеют профессиональную подготовку в
области ТССА и действуют разумно, соблюдая правила — вариант поведения
принимают один раз на весь месяц, не зная, конечно, что предпринял на
этот же месяц конкурент.
По сути дела, в чисто житейском смысле — это обычная “азартная” игра, в
которой существует конечный результат, цель игры — выигрыш.
Этой цели добивается каждый игрок, но не каждый может ее добиться.
Варианты поведения игроков можно считать ходами, а множество ходов —
рассматривать как партию.
Пусть партия состоит всего лишь из одного хода с каждой стороны.
Попробуем найти этот наилучший ход сначала для вашего конкурента —
порассуждаем за него.
Так как таблица известна как вам, так и конкуренту, то его рассуждения
можно промоделировать.
Вашему конкуренту вариант C2 явно невыгоден — при любом вашем ходе вы
будете в выигрыше, а конкурент в проигрыше. Следовательно, со стороны
вашего противника будет, скорее всего, принят вариант C1, доставляющий
ему минимум потерь.
Теперь можно порассуждать за себя. Вроде бы вариант S2 принесет нам
максимальный выигрыш в 3000 гривен, но это при условии выбора C2 вашим
конкурентом, а он, скорее всего, выберет C1.
Значит наилучшее, что мы можем предпринять — выбрать вариант S3,
рассчитывая на наименьший из возможных выигрышей — в 1000 гривен.
Ознакомимся с рядом общепринятых терминов теории игр:
( поскольку в таблице игры наш возможный выигрыш всегда равен проигрышу
конкурента и наоборот, то эту специфику отображают обычно в названии —
игра с нулевой суммой;
( варианты поведения игроков-конкурентов называют чистыми стратегиями
игры, учитывая независимость их от поведения конкурента;
( наилучшие стратегии для каждого из игроков называют решением игры;
( результат игры, на который рассчитывают оба игрока (1000 гривен
прибыли для вас или столько же в виде проигрыша для конкурента)
называют ценой игры; она в игре с нулевой суммой однакова для обеих
сторон;
( таблицу выигрышей (проигрышей) называют матрицей игры, в данном
случае — прямоугольной.
Рассмотренный выше ход рассуждений по поиску наилучшего плана игры в
условиях конкуренции — не единственный способ решения задач. Очень часто
намного короче и, главное, более логически стройным оказывается другой
принцип поиска оптимальных игровых стратегий — принцип минимакса.
Для иллюстрации этого метода рассмотрим предыдущий пример игры с
несколько видоизмененной матрицей.
C1 C2
S1 -2000 – 4000
S2 -1000 +3000
S3 +1000 +2000
Таблица 3.7
Повторим метод рассуждений, использованный для предыдущего примера.
( Мы никогда не выберем стратегию S1, поскольку она при любом ответе
конкурента принесет нам значительные убытки.
( Из двух оставшихся разумнее выбрать S3, так как при любом ответе
конкурента мы получим прибыль.
( Выбираем в качестве оптимальной стратегии S3.
Рассуждения нашего конкурента окажутся примерно такими же по смыслу.
Понимая, что мы никогда не примем S1 и выберем, в конце концов, S3, он
примет решение считать оптимальной для себя стратегию C1 — в этом случае
он будет иметь наименьшие убытки.
Можно применить и иной метод рассуждений, дающий, в конце концов, тот
же результат. При выборе наилучшего плана игры для нас можно рассуждать
так:
( при стратегии S1 минимальный (min) “выигрыш” составит – 4000 гривен;
( при стратегии S2 минимальный (min) “выигрыш” составит – 1000 гривен;
( при стратегии S3 минимальный (min) выигрыш составит + 1000 гривен.
Выходит, что наибольший (max) из наименьших (min) выигрышей — это 1000
гривен и сам бог велел полагать стратегию S3 оптимальной, с надеждой на
ответный ход конкурента его стратегией C1. Такую стратегию и называют
стратегией MaxiMin.
Если теперь попробовать смоделировать поведение конкурента, то для
него:
( при стратегии C1 максимальный (max) проигрыш составит 1000 гривен;
( при стратегии C2 максимальный (max) проигрыш составит 2000 гривен.
Значит, наш конкурент, если он будет рассуждать здраво, выберет
стратегию C1, поскольку именно она обеспечивает наименьший (min) из
наибольших (max) проигрышей. Такую стратегию и называют стратегией
MiniMax.
Легко заметить, что это одно и то же — вы делаете ход S3 в расчете на
ответ C1, а ваш конкурент — ход C1 в расчете на S3.
Поэтому такие стратегии называют минимаксными — мы надеемся на минимум
максимальных убытков или, что одно и то же, на максимум минимальной
прибыли.
В двух рассмотренных примерах оптимальные стратегии “противников”
совпадали, принято говорить — они соответствовали седловой точке матрицы
игры.
Метод минимакса отличается от стандартного пути логических рассуждений
таким важным показателем как алгоритмичность. В самом деле, можно
доказать, что если седловая точка существует, то она находится на
пересечении некоторой строки S и некоторого столбца C. Если число в этой
точке самое большое для данной строки и, одновременно, самое малое в
данном столбце, то это и есть седловая точка.
Конечно, далеко не все игры обладают седловой точкой, но если она
есть, то поиск ее при числе строк и столбцов в несколько десятков (а то
и сотен) по стандартному логическому плану — дело практически
безнадежное без использования компьютерных технологий.
Но, даже при использовании компьютера, писать программу для реализации
всех возможных If … Then придется на специальных языках
программирования (например — язык Prolog). Эти языки велико-лепны для
решения логических задач, но практически непригодны для обычных
вычислений. Если же использовать метод минимакса, то весь алгоритм
поиска седловой точки займет на языке Pascal или C++ не более 5…10
строк программы.
Рассмотрим еще один простой пример игры, но уже без седловой точки.
C1 C2
S1 -3000 +7000
S2 +6000 +1000
Таблица 3.8
Задача в этом случае для нас (и для нашего разумного конкурента) будет
заключаться в смене стратегий, в надежде найти такую их комбинацию, при
которой математическое ожидание выигрыша или средний выигрыш за
некоторое число ходов будет максимальным.
Пусть мы приняли решение половину ходов в игре делать с использованием
S1, а другую половину — с S2. Конечно, мы не можем знать, какую из
своих двух стратегий будет применять конкурент, и поэтому придется
рассматривать два крайних случая его поведения.
Если наш конкурент все время будет применять C1, то для нас выигрыш
составит 0.5((-3000)+0.5((+6000) = 1500 гривен.
Если же он все время будет применять C2, то на выигрыш составит
0.5((+7000)+0.5((+1000) = 4000 гривен.
Ну, это уже повод для размышлений, для анализа. В конце концов, можно
прикинуть, а что мы будем иметь в случае применения конкурентом также
смешанной стратегии? Ответ уже готов — мы будем иметь выигрыш не менее
1500 гривен, поскольку выполненные выше расчеты охватили все варианты
смешанных стратегий конкурента.
Поставим вопрос в более общем виде — а существует ли наилучшая
смешанная стратегия (комбинация S1 и S2) для нас в условиях применения
смешанных стратегий (комбинации C1 и C2) со стороны конкурента?
Математическая теория игр позволяет ответить на этот вопрос
утвердительно — оптимальная смешанная стратегия всегда существует, но
она может гарантировать минимум математического ожидания выигрыша.
Методы поиска таких стратегий хорошо разработаны и отражены в
литературе.
Таким образом, мы снова оказались в роли ЛПР — системный подход не
может дать рецепта для безусловного получения выигрыша.
Нам и только нам, решать — воспользоваться ли рекомендацией и применить
оптимальную стратегию игры, но при этом считаться с риском возможного
проигрыша (выигрыш окажется гарантированным лишь при очень большом числе
ходов).
Завершим рассмотрение последнего примера демонстрацией поиска наилучшей
смешанной стратегии.
Пусть мы применяем стратегию S1 с частотой (, а стратегию S2 с
частотой (1 – ().
Тогда мы будем иметь выигрыш
W(C1) = ( ( (-3000) + (1-() ( (+6000) = 6000 – 9000((
при применении конкурентом стратегии C1
или будем иметь выигрыш
W(C2) = ( ( (+7000) + (1-() ( (+1000) = 1000 + 6000((
при применении конкурентом стратегии C2.
Теория игр позволяет найти наилучшую стратегию для нас из условия
W(C1) = W(C2);
{3 – 16}
что приводит к наилучшему значению (=1/3 и математическому ожиданию
выигрыша величиной в (-3000)((1/3)+(+6000)((2/3)=3000 гривен.
Моделирование в условиях противодействия, модели торгов
К этому классу относятся задачи анализа систем с противодействием
(конкуренцией), также игровых по сути, но с одной особенностью —
“правила игры” не постоянны в одном единственном пункте — цены за то,
что продается.
При небольшом числе участников торгов вполне пригодны описанные выше
приемы теории игр, но когда число участников велико и, что еще хуже,
заранее неизвестно, — приходится использовать несколько иные методы
моделирования ситуаций в торгах.
Наиболее часто встречаются два вида торгов:
( закрытые торги, в которых два или более участников независимо друг от
друга предлагают цены (ставки) за тот или иной объект; при этом участник
имеет право лишь на одну ставку, а ведущий торги принимает высшую (или
низшую) из предложенных;
( открытые торги или аукционы, когда два или более участников подымают
цены до тех пор, пока новой надбавки уже не предлагается.
Рассмотрим вначале простейший пример закрытых торгов. Пусть мы (A) и
наш конкурент (B) участвуем в закрытых торгах по двум объектам
суммарной стоимости C1 + C2.
Мы располагаем свободной суммой S и нам известно, что точно такой же
суммой располагает наш конкурент. При этом S
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
