Министерство общего и профессионального образования
Свердловской области
Управление образования Администрации г. Нижний Тагил
Образовательное учреждение – средняя школа № 64
Образовательная область Математика
Предмет
Алгебра и начала анализа
Тема реферата
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ
Исполнитель: учащийся 11Б класса
Федореев Юрий
Руководитель: Сараева Татьяна
Саввична , ОУ №64,
учитель математики I категории
Внешний рецензент: Закарлюк
Лариса Ильинична ,политехническая
гимназия,кандидат педагогических
наук,учитель высшей категории
г. Нижний Тагил
2000 г.
План
1. Введение
2. Математические модели и их свойства.
3. Практические задачи, приводящие к исследованию линейной функции.
4. Использование свойств квадратичной функции при решении экстремальных
задач.
5. Применение методов дифференциального исчисления при решении
прикладных задач.
6. Заключение.
7. Список литературы.
Введение
Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего т.е.
оптимального
решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами,
добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей
производительности
труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты
времени –
так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену
общества.
Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшее и
наименьшее значение, или, как их еще называют, задач на оптимизацию ( от
латинского «оптимум» – наилучший). Многие задачи, поиска оптимальных
решений,
могут быть решены только с использованием методов дифференциального
исчисления. Ряд задач такого типа решается с помощью специальных методов
линейного программирования, но существуют и такие экстремальные задачи,
которые решаются средствами элементарной математики.
Следует различать также два вида задач на оптимизацию. В задачах первого
вида
улучшение достигается за счет коренных качественных изменений: выбор
новых
конструктивных решений, переход на новую технологию изготовления. В
задачах
второго рода качественная сторона дела остается неизменной, но
меняются
количественные показатели. В данной работе рассмотрены задачи только
второго
типа. В таких задачах ищутся наибольшее и наименьшее значения функций,
зависящих от одной или нескольких переменных.
1. Математические модели и их свойства
Прежде чем решать какую – либо жизненную задачу, человек старается
взвесить имеющуюся у него информацию, выбрать из нее существенную. И
только потом, когда станет более или менее ясно, из чего исходить и на
какой результата рассчитывать, он приступает к решению задачи. Иногда
описанный процесс называют «уяснением задачи», фактически же это замена
исходной жизненной задачи ее моделью. В осмыслении простейшей жизненной
ситуации присутствует модельный подход, хотя человек обычно не замечает
своей деятельности по созданию моделей – настолько она для него
естественна. Иное дело, если возникающая задача затрагивает ключевые
моменты жизни одного человека или какого – либо сообщества людей.
Разнообразие информационных аспектов в каждой такой задаче настолько
велико, что бывает сложно из всего многообразия информации об изучаемом
явлении или объекте выбрать наиболее существенные. В таких случаях
необходимо сделать упрощающее предположение, чтобы выделить исходные
данные, определить, что будет служить результатом и какова связь между
исходными данными и результатом. Все это – предположения, исходные
данные, результаты, связи между ними – их называют моделью задачи.
Если построенная модель дает удовлетворительные результаты при решении
жизненных задач, то говорят, что модель адекватна рассматриваемому
объекту (процессу или явлению). Нередко для решения модельной задачи
требуется некоторый инструментарий. Этот инструментарий обычно
организуется в виде единого объекта, называемого исполнителем. Чтобы
исполнитель мог получить ответ, ему нужны указания, что и как делать.
Такие указания часто представляются в виде алгоритма, в котором задаются
математические соотношения, связывающие исходные данные и результат. В
этом случае говорят о построении математической модели задачи.
Обычно модель возникает как необходимый этап решения конкретной задачи.
Однако в дельнейшем может происходить обособление модели от задачи, и
модель начинает жить самостоятельно. Примером может служить сюжет
движения с постоянной скоростью, который возникал в человеческой
деятельности столь часто, что в конце концов обособился от задач и стал
составляющей физического знания, называемого «равномерное прямолинейное
движение». Теперь при необходимости решить какую – либо задачу,
связанную с равномерным движением пользуются этой готовой моделью
процесса. В одних задачах результатом может оказаться время, в других –
пройденный путь, в третьих скорость. Остальные параметры модели процесса
станут исходными данными.
Если же в задаче фигурирует не равномерное движение, а равноускоренное,
то физика и здесь предложит готовую модель в виде формулы: S = V0t +
at2
2
Соответственно говоря, все естественные науки, использующие математику,
можно считать математическими моделями явлений. Например, гидродинамика
является моделью движения жидкости, математическая экономика – моделью
процессов экономики и т.д. До появления ЭВМ математическое моделирование
сводилось к построению аналитической теории явления. Не всегда
математическую теорию явления удавалось доводить до возможности вывода
формул. Природа оказывалась сложнее возможностей аналитических методов
математики. Приходилось вносить значительные упрощения в модель явления,
а тем самым обеднять выводы. В этом веке математика пополнилась мощным
математическим методом исследования: моделированием сложных систем на
ЭВМ. Теперь исследователь ставит перед собой не ту цель, что раньше –
вывод расчетной формулы. Теперь он стремится вычислять те или иные
параметры, характеризующие явление. Таким путем были исследованы сложные
вопросы, связанные с термоядерными реакциями, поведением самолетов в
критических ситуациях, влиянием различных факторов на экологические
системы, распространением эпидемий и пр.
В настоящее время широко используется математическое моделирование и
тогда, когда о физической структуре процесса известно крайне мало. В
этом случае строится гипотетическая модель и на ее основе выводятся
следствия уже доступные наблюдению. Если такие модели не оправдываются
опытом, то они живут недолго и отмирают, уступив место другим моделям,
позволяющим познать природу вещей точнее. История науки показывает,
сколь большую роль сыграли научные гипотезы и построенные на их основе
математические модели явлений.
Математический аппарат, применяемый при построении моделей, весьма
разнообразен. Кроме классических разделов математического анализа
(дифференциальное и интегральное исчисление) широко используются
современные разделы математики, в которых изучаются методы, позволяющие
находить оптимальные решения: линейное, нелинейное и динамическое
программирование. Для анализа многих операций применяют аппарат теории
вероятностей. Это вызвано тем, что исследования проводятся в условиях,
определенных не полностью, зависящих от случайных причин. В тех случаях,
когда в центре внимания находятся вопросы динамики явлений, широко
применяют аппарат дифференциальных уравнений, а в более сложных случаях
используется метод статистического моделирования.
2. Практические задачи, приводящие к исследованию линейной
функции
Задача 1 .
Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте
А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т в сутки. Где нужно
построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество
тонно-километров было наименьшим?
Выясняем, что суммарное количество тонно-километров изменяется в
зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для
случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км,
10 км. Далее приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от завода
С до шахты А через х:
х 60 – х
АС = х
ВС = 60 – х
A_____________________________B
Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый
день, составляет 200 х т/км, а от В до С – 100 (60 – х) т/км. Суммарное
количество тонно-километров выразится функцией у = 200х + 100 (60 – х) =
100х + 6000, которая определена на сегменте [0; 60].
Ясно, что это уравнение может иметь бесконечно много решений.
Естественно здесь поставить вопрос – найти дешевый вариант перевозок.
Исследуя функцию у = 100х + 6000 на сегменте [0; 60], получим уmin =
6000.
Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при х = 0, уmin =
6000 т/км. Завод надо строить возле шахты А.
Для лучшего понимания этой задачи целесообразно дополнительно выяснить
вопрос, где нужно бы построить завод, если бы:
а) в шахте А добывалось 100 т, а в шахте В – 200 т руды;
б) в шахте А – 200 т, а в шахте В – 190 т;
в) в шахте А и шахте В – по 200 т руды;
Чтобы решить этот вопрос, нужно найти на сегменте [0; 60] минимум
функции:
а) у = 100х + 200(60 – х) = – 100х + 12000;
б) у = 200х + 190(60 – х) = 10х + 11400;
в) у = 200х + 200(60 – х) = 12000.
Из всего этого можно сделать такой вывод: если в шахте А добывается руды
больше, чем в шахте В, то завод надо строить возле шахты А; если же
количество руды в этих шахтах одинаковое, то завод можно строить в любом
месте вблизи шоссейной дороги между шахтами А и В.
Задача 2.
На колхозной ферме нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы
длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы
сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?
Учитывая, что количество как одних, так и других труб может изменяться,
количество 7 – метровых труб обозначим через х, а 5 – метровых – через
у. Тогда 7х – длина 7-метровых труб, 5у – длина 5-метровых труб. Отсюда
получаем неопределенное уравнение
7х + 5у = 167
Выразив, например, переменную у через переменную х, получим:
Так как х, у Є Z, то методом перебора легко найти
соответствующие пары значений х и у, которые удовлетворяют уравнение 7х
+ 5у = 167.
(1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).
Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21, у = 4.
Задача 3 .
Для изготовления двух видов изделий Аи В завод расходует в качестве
сырья сталь и цветные металлы, запас которых ограничен. На изготовление
указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки в количестве,
указанном в таблице.
Таблица
Затраты на одно изделие А В
Ресурсы
Материалы Сталь (кг) 10 70 320
Материалы Цветные металлы (кг) 20 50 420
Оборудование Токарные станки (станко-ч)
300
400
6200
Оборудование Фрезерные станки (станко-ч)
200
100
3400
Прибыль на одно изделие (в тыс.руб.) 3 8
Необходимо определить план выпуска
продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль, если время
работы фрезерных станков используется полностью.
Решение.
Посмотрим математическую модель задачи. Обозначим через х число изделий
вида А, а через у – число изделий вида В. На изготовление всей продукции
уйдет (10 х +70у)кг стали и (20 х +50у) кг цветных металлов. Так как
запасы стали не превышают 320 кг, а цветных металлов – 420 кг, то
10х +70у ( 320
20х + 50у ( 420
(300х +400у) ч – время обработки всех изделий на токарных станках:
300х + 400 ( 6200
Учитывая, что фрезерные станки используются максимально, имеем:
200х +100у = 3400
Итак, система ограничений этой задачи есть:
10х + 70у ( 320
20х + 50у ( 420
300х + 400у ( 6200
(1)
200х + 100у = 3400
х ( 0, у (
0.
Общая прибыль фабрики может быть выражена целевой функцией
F = 3х + 8у.
(2)
Выразим у через x из уравнения 200х + 100у = 3400 и подставим полученное
выражение вместо у в неравенства и целевую функцию:
х +7(34 –2х) ( 32
2х + 5(34 – 2х) ( 42
3х + 4( 43 – 2х) ( 62
у = 43 – 2х
(3)
х ( 0
34 – 2х ( 0,
F = 3х + 8(34 – 2х) = -13+272 (4)
Преобразуем систему ограничений (3):
11
13х ( 206 х( 5 13
8х ( 218 х ( 16
4
5х ( 174 х ( 4 5
16 ( х ( 17
5х ( 74 ( 0 ( х ( 17
(
у = 34 – 2х
0 ( х ( 17
у =34 – 2х у = 34 – 2х
Очевидно, что F =272 –3х принимает наибольшее значение, если х=16.
Fнаиб = 272 – 13 ( 16 – 64 (тыс. руб.)
Отдельно следует остановиться на случаях использования ЭВМ при решении
задач оптимизации. Рассмотрим это на примере решения следующей задачи:
Задача 4.
В обработку поступила партия из 150 досок длиной по 7.5 м. каждая, для
изготовления комплектов из 4-х деталей. Комплект состоит из:
1 детали длиной 3 м.
2-х деталей длиной 2 м.
1 детали длиной 1.5 м
Как распилить все доски, получив наибольшее возможное число комплектов?
Решение.
Для решения этой задачи воспользуемся редактором электронных таблиц
EXCEL
Вводим в ячейки B3:D10 варианты возможного распила одной доски. В
ячейках E3:E10 ставим по умолчанию количество досок по одной. В ячейках
F3:H10 суммируем получившиеся распиленные детали.
Способы 3м 2м 1,5м Количество 3м 2м 1,5м
1 2 0 1 1 2 0 1
2 0 3 1 1 0 3 1
3 0 0 5 1 0 0 5
4 1 0 3 1 1 0 3
5 1 2 0 1 1 2 0
6 0 2 2 1 0 2 2
7 1 1 1 1 1 1 1
8 0 1 3 1 0 1 3
8 5 9 16
1
23
11
В ячейках E11:H11 суммируем количество досок и деталей.
Вводим формулы:
G11 – ABS(2*F11-G11)
G12 – ABS(G11-2*H11)
G13 – ABS(F11-H11)
Входим во встроенную функцию EXCEL Поиск Решения
Устанавливаем Целевую ячейку E11
Ставим ограничения:
E3:E10=>0
E3:E10= ЦЕЛЫЕ
G120 при h=b/2(((1+m2)-m)
Ответ.( имеет наименьшее значение при условии h=b/2(((1+m2)-m)
Задача 12.
Рама из швеллера размера а ( в перекрыта рифленой сталью, в которой
вырезан круг диаметром d с центром пересечения диагоналей
прямоугольника. Для усиления жесткости перекрытия решено окантовать
круг уголками, устанавливаемыми под ( 45( к сторонам рамы и являющимися
касательными к кругу.
Найти длину касательных.
Введем систему координат как
показано на рисунке.
D2D1 – касательная
Напишем уравнение касательной.
Для чего, зная ее угол наклона 45(
найдем точки
касания.
Для этого продифференцируем
уравнение окружности
х2 + у2 = r2
х + у ( у = 0
т.к. у( = 1 (у = tg 45(=1), то
у = -х.
r ( 2 r ( 2
Т.е. т. Е имеет координаты Е (- (( ; (( (
2
Cоставим уравнение D2D1: т.к. D2D1 ? прямой у = х, то она имеет вид
r( 2
у = х +2 * (( (( у = х + r( 2
2
Напишем уравнения АВ и ВС
А
АВ: х = – (
2
в
ВС: у = (
2
Найдем координаты т. Р2 решая систему
а а
y = х + r ( 2 х = – (, у = – ( + r ( 2
( а (( 2 2
х = – ( a а
D2 ( – (; – ( + r ( 2)
2
Найдем координаты т. D1
b
b
y = х + r ( 2 x = ( – r ( 2, у = (
( b 2
2
y = ( b b
D1 ( ( – r ( 2; ( )
2
Найдем D1D2
B a b a
b a
D2D1 = ( (( – r ( 2 + ()2 + (( + ( – r ( 2)2 = ( 2 ( (( + ( – r ( 2)
2 2 2 2
2 2
Ответ.Длина касательных
(a +b) ( 2
D2D1 = (((( – d .
2
Задача 13.
Найти наименьшую длину стрелы крана,
необходимую для монтажа плит перекры –
тия здания высотою Н, шириною а, при
условии, что кран может двигаться вдоль
фасада здания, параллельно ему.
Высота основания стрелы крана над землей
h1.
Зазор между стеной здания и стрелой крана должен быть всегда не менее m
Пояснение
На чертеже указан боковой фасад здания.
Кран должен подавать так, чтобы крюк его приходился точно над серединой
здания.
Длина стрелы крана, начало которой есть точка А1, а проекция конца
(крюка) точка М, меняется с изменением угла ?.
Решение.
h2
Из ? АВD АВ= ((
sin (
а
(
2. Из ? ВСМ ВС = 2
((
cos ?
h2
а
3. т.е. (=АС=АВ+ВС , то l = ((( + ((( (3)
sin (
2cos (
т.к. величины h2 и a – постоянные, изучим функцию
( и l – переменные
h2 ( cos ( a
( sin (
f(‘(() = ( ((((( + ((((
sin2 (
2 cos2 (
l’ (() = 0
h2 cos ( a (
sin (
(((( = ((((
sin2 ( 2
cos2 (
2 h2
2 h2
tg3 ( = ((
tg ( = 3( ((
a
a
Найдем вторую производную
h2 (1+ cos2 () a (1+ sin2 ()
l” (() = (((((( + (((((
sin3 ( 2 ( cos3 (
т.к. ( – острый, то
l” (() ( 0, значит при ( из равенства
2h2 l” (() ( 0, т.е. при этом значении
( функция имеет минимум
tg ( = 3( (( h2 = H + m – h1
a
2 (H +
m – h1)
tg ( = 3( ((((((
Ответ. при угле ( , таком, что
2 (H +
m – h1)
tg ( = 3( ((((((
длина стрелы крана минимальна.
Таким образом, для решения задач оптимизации нужно выполнить следующие
действия:
1) Выразить оптимизируемую величину как функцию некоторой переменной
и найти область определения этой функции.
Найти точки экстремума этой функции.
Вычислить значения функции в экстремальных точках и на концах
промежутка, где определяется функция
Выбрать из этих значений оптимальное.
Заключение.
В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития
многих
областей науки и техники существенно зависит от развития многих
направлений
математики. Математика становится средством решения проблем организации
производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете,
содействует
повышению производительности труда и устойчивому поступательному
развитию
народного хозяйства.
Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем,
что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек
ищет,
постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся
результаты его деятельности были как можно лучше. Решая задачи
указанного
типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических
понятий, а с другой – большую эффективную их применимость к решению
жизненных практических задач.
Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и
прикладными методами школьного курса математики, которые часто
применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей
действительности.
Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению наших
математических знаний. Через задачи мы знакомимся с экстремальными
свойствами изучаемых функций, с некоторыми свойствами неравенств. Эти
задачи могут серьезно повлиять на содержание учебного материала, на
аспекты
применения положений изучаемой теории на практике.
Список литературы
Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа 10-11. М.: Просвещение, 1992.
Беляева Э. С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. М.: Просвещение, 1997.
Виленкин Н. Л. Функции в природе и технике. – М.: Просвещение, 1978
Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.:
Просвещение, 1985.
Гейн А. Г. Земля Информатика. – Екатеринбург: Издательство Уральского
университета, 1997
Гнеденко Б. В. Введение в специальность математика. – М: Наука, 1991
Гнеденко Б. В. Математика в современном мире. М: Просвещение, 1980.
Перельман Я. И. Занимательная алгебра. М: АО «Столетие», 1994
Хургин Я. И. Ну и что? (Разговоры математика с биологами и радистами,
врачами и технологами… о математике и ее связях с другими науками). М.:
Молодая гвардия, 1967.
Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. – М.:
Просвещение, 1997
PAGE
PAGE 16
PAGE \# “‘Стр: ‘#’
PAGE \# “‘Стр: ‘#’
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
