МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МАДИ (ТУ)
КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Выполнил: Белоногов М.В.
Группа 4ВЭДС3
Проверил: Беляков Г.С.
Москва 1999-2000
Раздел 1.
Выбор оптимального маршрута поездки.
Постановка задачи:
Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек
(пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее
в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с
учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется
найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и
заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и
проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался
минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать
переезд из пункта Б в пункт Г.
Порядок решения задачи:
Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов
используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.
А 1 Б
4 В 2
Д 3 Г
Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.
пункт i А Б В Д 1 4
yi 0 ( ( ( ( (
28 13 17 8,32 9
16,64
Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а
расстояние от А до самого себя равным нулю.
Затем пересчитываем величины yi используя правило:
Если yj + lij ( yi , то величина yi = yj + lij , в противном случае yi
оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в
него входят.
yA + l4A=0+9=9 ( y4=( ( y4=9
yA + lBA=0+13=13 ( yB=( ( yB=13
yA + l1A=0+8,32=8,32 ( y1=( ( y1=8,32
Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной
бесконечности и дуги, которые в него входят.
y4 + lB4=9+7=16 ( yB=13
y4 + lД4=9+8=17 ( уД=( ( yД=17
yВ + lДВ=13+12=25 ( yД=17
yВ + lБВ=13+15=28 ( уБ=( ( yБ=28
yВ + l1В=13+9=22 ( у1=8,32
y1 + lВ1=8,32+10=18,32 ( yВ=13
y1 + lБ1=8,32+8,32=16,64 ( уБ=28 ( yБ=16,64
yД + l4Д=8,32+17=25,32 ( y4=9
yД + lВД=17+12,32=29,32 ( yВ=13
yБ + lВБ=16,64+15,32=31 ( yВ=13
yБ + l1Б=16,64+8=24,64 ( y1=8,32
Теперь проверим условие lij ( yi – yj для всех дуг сети.
l4A = у4 – уА 9=9-0
l4Д ( у4 – уД 8,32(9-17
lД4 = уД – у4 8=17-9
lДВ ( уД – уВ 12(17-13
lBA = yB – yA 13=13-0
lBД ( yB – yД 12,32(13-17
lBБ ( yB – yБ 15,32(13-16,64
lB4 ( yB – y4 7(13-9
lB1 ( yB – y1 10(13-8,32
lБВ ( уБ – уВ 15(16,64-13
lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32
l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0
l1В ( у1 – уВ 9(8,32-13
l1Б ( у1 – уБ 8(8,32-16,64
Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется
условие:
lij = yi – yj
Таковыми являются:
l4A = у4 – уА 9=9-0
lД4 = уД – у4 8=17-9
lBA = yB – yA 13=13-0
lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32
l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0
Кратчайшие расстояния до пункта А равны:
пункт 4 Д Б 1 В
расстояние до А 9 17 16,64 8,32 13
Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.
Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.
А Б В Г Д
А — 16 13,32 — 17,64
Б 16,64 — 15 21 —
В 13 15,32 — 15 12,32
Г — 21,64 15,32 — 16
Д 17 — 12 16,32 —
Математическая модель задачи коммивояжера:
Найти минимальное значение целевой функции z
n+1 n+1
min z = ( ( lij * xij
i=1 j=1
при следующих ограничениях:
из каждого города i нужно уехать только один раз
n+1
( xij = 1 i=1, ……, n+1
j=1
в каждый город j нужно приехать только один раз:
n+1
( xij = 1 j=1, ……, n+1
i=1
переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,
1 – если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j
0 – в противном случае
решение есть простой цикл
Решение задачи:
А Б В Г Д
А — 16 13,32 — 17,64
Б 16,64 — 15 21 —
В 13 15,32 — 15 12,32
Г — 21,64 15,32 — 16
Д 17 — 12 16,32 —
Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д
Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым
разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок.
(2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем
элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить
повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и
зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не
появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим.
Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется
последний разрешающий элемент.
В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:
А – Б – Г – Д – В – А
min z = 16+21+16+12+13 = 78
Раздел 2.
Определение рационального варианта размещения производственных
предприятий (на примере АБЗ).
Постановка задачи:
В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети
некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности
которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:
B1 = 50.000 т
B2 = 60.000 т
B3 = 45.000 т
B4 = 70.000 т
Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить
сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района
выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта
рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.
Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его
потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует
разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и
доставку потребителям были минимальными.
Затраты на приготовление аб, руб
мощность АБЗ Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в
пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд
т/час тыс. т/год 1 2 3 4
10 18 484 489 495 481
25 45 423 428 435 420
50 90 405 410 416 401
Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб
Пункт размещения Зона-потребитель
1 28,3 60,3 45,3 90,3
2 61,3 30,3 93,3 48,3
3 50,3 95,3 33,3 62,3
4 99,3 54,3 65,3 36,3
Математическая модель транспортной задачи:
m n
min z = ( ( Cij * xij
i=1 j=1
Ограничения:
n
( xij = ai i=1, ……, m
j=1
весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен
потребителю.
m
( xij = bj j=1, ……, n
i=1
спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен
xij ( 0 i=1, …., m; j=1, …., n
xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю
Транспортная таблица:
Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1=50 B2=60 B3=45 B4=70 Bф=135 Ui Ki
433,3 440,3 ( 465,3 449,3 ( 450,3 437,3 ( 495,3 0
X1=90 50
40 0 5/9
433,3 ( 471,3 440,3 449,3 ( 503,3 437,3 ( 458,3 0
X2=90
60
30 0 6/9
433,3 ( 466,3 440,3 ( 511,3 449,3 437,3 ( 478,3 0
X3=90
45
45 0 1/2
433,3 ( 500,3 440,3 ( 455,3 4????????????????????????????????????????
Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного
потребителя:
Вф=( аi – ( bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год
В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных
затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сpi + E*Kpi + Cij
С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij.
Проверяем план на вырожденность:
m + n – 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательно план является
невырожденным.
Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого
потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток
приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф, остальные
потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток
(Ui + Vj = Сpi + E*Kpi + Cij).
Проверяем план на оптимальность:
число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1
для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной
величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.
для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :
Ui + Vj ( Сpi + E*Kpi + Cij
Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с
точки зрения транспортной задачи.
Определяем значения коэффициентов интенсивности.
Ki = ( xij / xi
( xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям
xi – мощность i-го АБЗ
Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант
размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому
необходимо его улучшить.
Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке
мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае
это третья строка.
Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ
должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо
пересчитать величину Сpi + E*Kpi + Cij для клеток третьей строки.
Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1=50 B2=60 B3=45 B4=70 Bф=90 Ui Ki
433,3 424,3 ( 465,3 450,3 421,3 ( 495,3 -16( 0
X1=90 50
40
-16 1
449,3 ( 471,3 440,3 466,3 ( 503,3 437,3 ( 458,3 0
X2=90
60
30 0 6/9
449,3 ( 485,3 440,3 ( 530,3 466,3 ( 468,3 437,3 ( 497,3 0
X3=45
45 0 0
449,3 ( 500,3 440,3 ( 455,3 466,3 437,3 0
X4=90
5 70 15 0 15/18
Vj 449,3 440,3 466,3 437,3 0
Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность
АБЗ во втором пункте.
X4=90
15 + †?†††??????????????????????
Для одной свободной клетки не выполняется условие
Ui + Vj ( Сpi + E*Kpi + Cij поэтому план необходимо
улучшить.
Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак
“-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5.
Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+”
и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную
таблицу с учетом изменений.
Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1=50 B2=60 B3=45 B4=70 Bф=45 Ui Ki
433,3 440,3 ( 465,3 450,3 422,3 ( 495,3 -18 ( 0
X1=90 50
40
-18 1
451,3 ( 489,3 458,3 468,3 ( 521,3 440,3 ( 476,3 0
X2=45
40
5 0 8/9
451,3 ( 485,3 458,3 ( 530,3 468,3 440,3 ( 497,3 0
X3=45
5
40 0 1/9
448,3 ( 500,3 455,3 465,3 ( 466,3 437,3 -3 ( 0
X4=90
20
70
-3 1
Vj 451,3 458,3 468,3 440,3 0
План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты
интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то
уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.
Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1=50 B2=60 B3=45 B4=70 Bф=18 Ui Ki
433,3 439,3 ( 465,3 450,3 421,3 ( 495,3 -78 ( 0
X1=90 50
40
-16 1
452,3 ( 489,3 458,3 469,3 ( 521,3 440,3 ( 476,3 -59 ( 0
X2=45
45
3 1
511,3 ( 545,3 517,3 ( 590,3 528,3 499,3 ( 557,3 0
X3=18
0
18 62 0
449,3 ( 500,3 455,3 466,3 437,3 -62 ( 0
X4=90
15 5 70
0 1
Vj 449,3 455,3 466,3 437,3 -62
План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов
интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный
план является наилучшим.
Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных
вариантов и построить таблицу.
Вариант размещения Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год
Значение целевой функции, zi, тыс.руб.
М1 М2 М3 М4
1 50 60 45 70 98912,5
2 90 60 0 75 99037,5
3 90 40 5 90 100067,5
4 90 45 0 90 100072,5
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
