Несобственный интеграл
с несколькими особенностями .
Если функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в
точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют
несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и[c,b),c((a,b).
При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора
точки с.Тогда
Y
. f(x)
0 a k c l b X
Такие интегралы называются несобственными интегралами с двумя (или
несколькими) особенностями.(рисунок 2)
Вообще,если функция f :(R имеет на промежутке конечное число
особых точек и Т: a=k1
каждом из
концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов (1) :
cходится, то
cходится. Если хотя бы один из (1) расходится,то и весь (2)
расходится.Действительно,расходимость хотя бы одного из участников суммы
(2) означает,что данный интеграл (1) либо имеет бесконечную величину
,либо не имеет конкретного значения тем самым обращая всю сумму
(2) либо в бесконечность,либо лишая ее конкретного значения.
Y
f(x)
0 a=k1 k2………ki…….kn-1
kn=b(+( в данном случае).
Рис.,поясняющий несобственный интеграл с несколькими
особенностями .
Пример1.
Несобственный интеграл имеет две особенности : в точке x=0 функция
неограниченно возрастает (собственная особая точка) ,при x((( имеем
интеграл по бесконечному промежутку(несобственная особая точка).
Разобьём интервал интегрирования (0;+(( так, чтобы на каждом
промежутке подынтегральная функция f(x) имела не более одной
особенности .Например,
(0; 1) и (1;+().
По определению исходный интеграл
Сходится тогда,и только тогда , когда сходятся оба интеграла
Первый из этих интегралов расходится при p ( 1 , второй – при p
( 1 ,таким образом , одновременно оба эти интеграла не сходятся
ни при каком значении p .Итак , исходный интеграл расходится
при любом значении p .
Пример 2.
Исследуем сходимость интеграла
Решение.
Подынтегральная функция имеет на на промежутке интегрирования (
0;+( ) две особые точки x= 0 и (+(), следовательно, необходимо
смотреть сходимость каждого из интегралов
Для некоторого a ( (0; +( ).Начнём с простейших оценок .Так как
Подынтегральная функция неотрицательна , и , в силу признака
сравнения
Cходится абсолютно.
При x(( имеем
Значит,по признаку сравнения интеграл и на промежутке (a;+()
сходится абсолютно,так как сходится интеграл от модуля функции:
Вывод : исходный интеграл сходится,причём абсолютно.
Пример 3
На концах отрезка [0,2] подынтегральная функция определена. Но x=1
– особая точка.
Для сходимости интеграла необходима сходимость интегралов
Рассмотрим сначала
При b(1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] не имеет предела ( данный и, как
следствие, исходный интегралы расходятся.
Примечание.
Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу
Ньютона- Лейбница, то можно получить неверный ответ ln1/3.Поэтому
прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость, полезно
внимательно изучить подынтегральную функцию ,найти ее особые точки
и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке [0,2]
выглядит примерно так:
Y
1
0 1 2 X
Пример 4.
.
Следовательно,расходится весь интеграл,отметим только,что на интервале
[3;5) функция сравнения имеет вид
Часто для нахождения функции сравнения требуется таблица эквивалентных
замен (следствие из формулы Тейлора)
При x ( 0
Ln (1+x) ~ x
Sin x ~ x
Tg x ~ x
Arcsin x,arctg x ~ x
Необходимо помнить также,что при x((
Cosx, sinx есть ограниченные функции,
Arctg x ( (/2, (-(/2 при x(-()
Arcctg x ( 0 (( при x(-()
При x ( 0
Arccos x, arcctg x ( (/2
Напоминание:
По правилу Лопиталя
Пример 5.
Исходный интеграл ,состоящий из суммы сходящегося и расходящегося
интегралов,тоже расходится.
Следующие примеры иллюстрируют исследование сходимости с помощью
непосредственного вычисления значения несобственного интеграла.
Пример 6.
Интеграл сходится – его значение стремится к -4.
Предел
С помощью примера 6 решим пример 7:
Пример 7.
В результате получили сумму двух сходящихся интегралов –
следовательно , и исходный интеграл тоже сходится.
Пример 8.
Интеграл расходится.
Пример 9.
Данный интеграл имеет две особенности x(0 и x(( .
Обратите внимание на различные приёмы при исследовании функций
при стремлении переменной x к нулю и к бесконечности.
Значит , сходится исходный интеграл , как сумма двух
сходящихся .
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter