.

Несобственный интеграл

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
1 548
Скачать документ

Несобственный интеграл

с несколькими особенностями .

Если функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в
точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют
несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и[c,b),c((a,b).

При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора
точки с.Тогда

Y

. f(x)

0 a k c l b X

Такие интегралы называются несобственными интегралами с двумя (или
несколькими) особенностями.(рисунок 2)

Вообще,если функция f :(R имеет на промежутке конечное число
особых точек и Т: a=k1, что на
каждом из,i=1(n,особой точкой функции является только одна из
концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов (1) :

cходится, то

cходится. Если хотя бы один из (1) расходится,то и весь (2)
расходится.Действительно,расходимость хотя бы одного из участников суммы
(2) означает,что данный интеграл (1) либо имеет бесконечную величину
,либо не имеет конкретного значения тем самым обращая всю сумму
(2) либо в бесконечность,либо лишая ее конкретного значения.

Y

f(x)

0 a=k1 k2………ki…….kn-1
kn=b(+( в данном случае).

Рис.,поясняющий несобственный интеграл с несколькими
особенностями .

Пример1.

Несобственный интеграл имеет две особенности : в точке x=0 функция
неограниченно возрастает (собственная особая точка) ,при x((( имеем
интеграл по бесконечному промежутку(несобственная особая точка).
Разобьём интервал интегрирования (0;+(( так, чтобы на каждом
промежутке подынтегральная функция f(x) имела не более одной
особенности .Например,

(0; 1) и (1;+().

По определению исходный интеграл

Сходится тогда,и только тогда , когда сходятся оба интеграла

Первый из этих интегралов расходится при p ( 1 , второй – при p
( 1 ,таким образом , одновременно оба эти интеграла не сходятся
ни при каком значении p .Итак , исходный интеграл расходится
при любом значении p .

Пример 2.

Исследуем сходимость интеграла

Решение.

Подынтегральная функция имеет на на промежутке интегрирования (
0;+( ) две особые точки x= 0 и (+(), следовательно, необходимо
смотреть сходимость каждого из интегралов

Для некоторого a ( (0; +( ).Начнём с простейших оценок .Так как

Подынтегральная функция неотрицательна , и , в силу признака
сравнения

Cходится абсолютно.

При x(( имеем

Значит,по признаку сравнения интеграл и на промежутке (a;+()
сходится абсолютно,так как сходится интеграл от модуля функции:

Вывод : исходный интеграл сходится,причём абсолютно.

Пример 3

На концах отрезка [0,2] подынтегральная функция определена. Но x=1
– особая точка.

Для сходимости интеграла необходима сходимость интегралов

Рассмотрим сначала

При b(1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] не имеет предела ( данный и, как
следствие, исходный интегралы расходятся.

Примечание.

Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу
Ньютона- Лейбница, то можно получить неверный ответ ln1/3.Поэтому
прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость, полезно
внимательно изучить подынтегральную функцию ,найти ее особые точки
и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке [0,2]
выглядит примерно так:

Y

1

0 1 2 X

Пример 4.

.

Следовательно,расходится весь интеграл,отметим только,что на интервале
[3;5) функция сравнения имеет вид

Часто для нахождения функции сравнения требуется таблица эквивалентных
замен (следствие из формулы Тейлора)

При x ( 0

Ln (1+x) ~ x

Sin x ~ x

Tg x ~ x

Arcsin x,arctg x ~ x

Необходимо помнить также,что при x((

Cosx, sinx есть ограниченные функции,

Arctg x ( (/2, (-(/2 при x(-()

Arcctg x ( 0 (( при x(-()

При x ( 0

Arccos x, arcctg x ( (/2

Напоминание:

По правилу Лопиталя

Пример 5.

Исходный интеграл ,состоящий из суммы сходящегося и расходящегося
интегралов,тоже расходится.

Следующие примеры иллюстрируют исследование сходимости с помощью
непосредственного вычисления значения несобственного интеграла.

Пример 6.

Интеграл сходится – его значение стремится к -4.

Предел

С помощью примера 6 решим пример 7:

Пример 7.

В результате получили сумму двух сходящихся интегралов –
следовательно , и исходный интеграл тоже сходится.

Пример 8.

Интеграл расходится.

Пример 9.

Данный интеграл имеет две особенности x(0 и x(( .

Обратите внимание на различные приёмы при исследовании функций
при стремлении переменной x к нулю и к бесконечности.

Значит , сходится исходный интеграл , как сумма двух
сходящихся .

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020