Методы решения уравнений в странах древнего мира.
История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи,
связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне.
Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и
народов.
В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения
(«фальфивое правило»)
Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда
к виду ах + Ь == с, в котором а, Ь, с — целые числа. По правилам
арифметических действий ах = с — b,
Если Ь > с, то с — b число отрицательное. Отрицательные числа были
египтянам и многим другим более поздним народам неизвестны (равноправно
с положительными числами их стали употреблять в математике только в
семнадцатом веке).
Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени,
был изобретен метод ложного положения.
В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них
позволяет понять, как рассуждал автор.
Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который
до недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча» («куча»
или «неизвестное количество» единиц). Теперь читают немного менее
неточно: «ага».
bqt задача № 24 сборника Ахмеса:
«Куча. Ее седьмая часть (‘подразумевается: «дают в сумме») 19. Найти
кучу».
Запись задачи нашими знаками:
Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих
четырех столбцах:
Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: «Делай как
делается», другими словами: «Делай, как люди делают».
Смысл решения Ахмеса легко понять.
ее часть есть 1. Это записано в первом столбце.
.
.
. В сумме получается 19, и решение заканчивается обычным для автора
заключением: «Будет хорошо».
Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного
положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах == b. Его
применяли как египтяне, так и вавилоняне.
У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот
метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в
учебники европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого.
Магницкий называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет о части
своей книги, излагающей этот метод:
Зело бо хитра есть сия часть,
Яко можеши ею все
класть (вычислить. — И. Д.)
Не токмо что есть во гражданстве,
Но и высших наук в пространстве,
Яже числятся в сфере
неба,
Якоже мудрым есть потреба.
Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть
арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то,
что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие»,
которые встают перед «мудрыми».
Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали
арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще
в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с
нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного
характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные
уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя
современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных
текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные
квадратные уравнения:
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах,
совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом
дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор
клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в
виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были
найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, • в клинописных
текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения
квадратных уравнений.
. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения ,
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в
ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых
объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных
степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает
неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что
искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их
произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет
больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 — х.
Разность между ними 2х. Отсюда уравнение
или же
Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = —2
для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только
положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из
искомых чисел, то мы придем к решению уравнения
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел,
Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного
квадратного уравнения (1).
Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате
«Ариабхаттаим», составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом
Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье.
В Алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и
квадратных уравнений.
Индий учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в
том числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал).
Формула решений
квадратного уравнения.
Греческий математик Герон (I или II век нашего летоисчисления)
вывел формулу для решения квадратного равнения ax2 + bx = c умножением
всех членов на а и
:
В индии пришли к более простому способу вывода, который встречается в
школьных учебниках: они умножали на 4a и к обеим половинам по b2. Это
даёт:
Индийские математики часто давали задачи в стихах.
Задача о лотосе.
Над озером тихим, с полмеры над водой,
Был виден лотоса цвет.
Он рос одиноко, и ветер волной
Нагнул его в сторону – и уж нет
Цветка над водой.
Нашёл его глаз рыбака
В двух мерах от места, где рос.
Сколько озера здесь вода глубока?
Тебе предложу я вопрос.
Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй
степени и одно линейное
В древневавилонских текстах, написанных в III—II тысячелетиях до н. э.,
содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем
уравнений, в которые входят и уравнения второй степени. Вот одна из них.
стороны первого и еще 5».
Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:
Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у
в квадрат и согласно формуле квадрата суммы, которая ему, видимо, была
известна, получает:
Подставляя это значение у в первое из системы уравнений (1), автор
приходит к квадратному уравнению:
Решая это уравнение по правилу, применяемому нами в настоящее время,
автор находит х, после чего определяет у. Итак, хотя вавилоняне и не
имели алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим
методом.
Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал
немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести
решение системы к решению одного уравнения. Вот один пример из его
«Арифметики».
Задача 21. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их
квадратов — 208».
Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений:
Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых
чисел, получает (в современных обозначениях):
Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все это
Диофант производит устно), получаем
Х = 2 + 10; у = 10 —2.
Далее,
х2 + у2 = (г + lO)2 + (10 — г)2 == 2z2 + 200.
Таким образом,
2z2 + 200 = 208,
откуда
z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 — 2 = 8.
Диофантовы уравнения.
Задача Диофанта №80 (Из II книги его «Арифметики»)
Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из них с другим
искомым числом дала полный квадрат,
Решение Диофанта
Пусть первое число (I) будет s. Чтобы квадрат его •при прибавлении
второго числа дал квадрат, второе число должно быть 2s + 1, так как в
таком случае выполняется требование задачи: квадрат первого числа.
сложенный со вторым, дает
s2 + 2s + 1, то есть полный квадрат (s + 1)2.
Квадрат второго числа, сложенный с первым, должен также дать квадрат, то
есть число (2s + I)2 + s, равное
4s2 + 5s + 1 == t2
Положим, что t = 2s — 2; тогда t2 = 4s2 — 8s + 4. Это выражение должно
равняться 4s2 + 5s + 1. Итак, должно быть:
Значит, задаче удовлетворяют числа:
.
Проверка;
Почему Диофант делает предположение, что t==2s—2, он не объясняет. Во
всех своих задачах (в дошедших до нас шести книгах его их 189) он делает
то или другое предположение, не давая никакого обоснования.
Вообще содержание 6 книг таково:
В «Арифметике» 189 задач, каждая снабжена одним или несколькими
решениями. Задачи ставятся в общем виде, затем берутся конкретные
значения входящих в нее величин и даются решения.
Задачи книги I в большинстве определенные. В ней имеются и такие,
которые решаются с помощью систем двух уравнений с двумя неизвестными,
эквивалентных квадратному уравнению. Для его разрешимости Диофант
выдвигает условие, чтобы дискриминант был полным квадратом. Так, задача
30— найти таких два числа, чтобы их разность и произведение были
заданными числами,— приводится к системе
х — у = а, х = b.
Диофант выдвигает «условие формирования»: требуется, чтобы учетверенное
произведение чисел, сложенное с квадратом разности их, было квадратом,
т. е. 4b + а2 = с2.
В книге II решаются задачи, связанные с неопределенными уравнениями и
системами таких уравнений с 2, 3, 4, 5, 6 неизвестными степени не выше
второй.
Диофант применяет различные приемы. Пусть необходимо решить
неопределенное уравнение второй степени с двумя неизвестными f2 (х, у)
==0. Если у него есть рациональное решение (x0, y0), то Диофант вводит
подстановку
x = x0 + t,
y = y0 + kt,
в которой k рационально. После этого основное уравнение преобразуется в
квадратное относительно t, у которого свободный член f2 ( x0, у0) = 0.
Из уравнения получается t1 == 0 (это значение Диофант отбрасывает), t2 —
рациональное число. Тогда подстановка дает рациональные х и у.
В случае, когда задача приводилась к уравнению у2 = ax2 + bx + с,
очевидно рациональное решение x0 = О,y0=±C. Подстановка Диофанта
выглядит так:
x = t,
y = kt ± c
Другим методом при решении задач книги II Диофант пользовался, когда они
приводили к уравнению у2 == = a2x2 + bx + с. Он делал подстановку
x= t,
y = at + k,
после чего х и у выражались рационально через параметр k:
Диофант, по существу, применял теорему, состоящую в том,; что если
неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, то
таких решений будет бесчисленное множество, причем значения х и у могут
быть представлены в виде рациональных функций некоторого параметра»
В книге II есть задачи, решаемые с помощью «двойного неравенства», т. е.
системы
ах + b = и2,
сх + d == v2.
Диофант рассматривает случай а = с, но впоследствии пишет, что метод
можно применить и при а : с = т2, Когда а == с, Диофант почленным
вычитанием одного равенства из другого получает и2 —и2 = b — d. Затем
разность b — d раскладывается на множители b — d = п1 и приравнивает и +
v = I, и — v = п, после чего находит
и = (I + п)/2, v = (I – n)/2, х – (l2 + п2}/4a – {b + d)/2a.
Если задача сводится к системе из двух или трех уравнений второй
степени, то Диофант находит такие рациональные выражения неизвестных
через одно неизвестное и параметры, при которых все уравнения, кроме
одного, обращаются в тождества. Из оставшегося уравнения он выражает
основное неизвестное через параметры, а затем находит и другие
неизвестные.
Методы, разработанные в книге II, Диофант применяет к более трудным
задачам книги III, связанным с системами трех, четырех и большего числа
уравнений степени не выше второй. Он, кроме того, до формального решения
задач проводит исследования и находит условия, которым должны
удовлетворять параметры, чтобы решения существовали.
В книге IV встречаются определенные и неопределенные уравнения третьей и
более высоких степеней. Здесь дело обстоит значительно сложнее, потому
что, вообще говоря, неизвестные невозможно выразить как рациональные
функции одного параметра. Но, как и раньше, если известны одна или две
рациональные точки кубической кривой fз (х, у) == 0, то можно найти и
другие точки. Диофант при решении задач книги IV применяет новые методы»
Книга V содержит наиболее сложные задачи; некоторые из них решаются с
помощью уравнений третьей и четвертой степеней от трех и более
неизвестных. Есть и такие, в которых требуется разложить данное целое
число на сумму двух, трех или четырех квадратов, причем эти квадраты
должны удовлетворить определенным неравенствам.,
При решении задач Диофант дважды рассматривает уравнение Пелля ax2 + 1 =
у2.
Задачи книги VI касаются прямоугольных треугольников с рациональными
сторонами. К условию х2 + у2 == z2 в них добавляются еще условия
относительно площадей, периметров, сторон треугольников.
В книге VI доказывается, что если уравнение ax2 + b == у2 имеет хотя бы
одно рациональное решение, то их будет бесчисленное множество. Для
решения задач книги VI Диофант применяет все употребляемые им способы.
Кстати, в одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь
Диофанта описывается в виде следующей алгебраиче-юй загадки,
представляющей надгробную надпись на его могиле
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей—и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:
откуда х = 84 = вот сколько лет жил Диофант.
Неопределённое уравнение x2 + y2 = z2
Такое неопределённое уравнение исследовали пиффагорийцы, целые решения
которого поэтому называют «пифагоровыми тройками», они нашли бесконечно
много таких троек, имеющих вид:
Кубические уравнения
Более систематическое исследование задач, эквивалентных кубическим
уравнениям, относится только к эпохе эллинизма. Архимед в сочинении «О
шаре и цилиндре» (книга II, предложение 4) свел задачу о рассечении шара
плоскостью на два сегмента, объемы которых имели бы заданное отношение т
: п (т > п), к нахождению высоты х большего сегмента из пропорции
(1)
где а — радиус шара.
Архимед обобщает задачу: рассечь заданный отрезок а на две части х и а—х
так, чтобы
(а — х) : с = S : х2, (2)
где с и S — заданные отрезок и площадь.
Заметив, что при такой общей постановке задача не всегда разрешима
(имеются в виду только положительные действительные решения), Архимед
приступает к ее исследованию с тем, чтобы наложить ограничения на с и S.
Он говорит, что изложит полное решение задачи «в конце», однако
соответствующее место не сохранилось. Жившие на столетие позже Архимеда
греческие геометры Диокл и Дионисодор уже не знали его. Они предложили
собственные, гораздо более сложные решения, но никто из них не сумел
провести анализ общего случая.
Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное
место. Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:
Параболы
(3)
и гиперболы
(4)
(здесь положено S = pb). Оба уравнения легко получить из пропорции (2).
Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции (2) к
кубическому уравнению
x2(a-x)
= Sc (5)
которое он выражает словесно как соотношение между объемами. Ясно, что
уравнение (5) может иметь положительные корни, если
Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х2 (а — х).
Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы вернемся
к этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах древних.
Скажем только, что Архимед полностью исследовал условия существования
положительных вещественных корней уравнения (5), а именно:
1) если Sc 4aз/27, то корня нет.
Здесь 4а3/27 есть максимум х2 (а — х), достигаемый при х = 2а/3. В конце
письма, предпосланного книге «О коноидах и сфероидах» (греки называли
сфероидами эллипсоиды вращения, прямоугольными коноидами — параболоиды
вращения, а тупоугольными коноидами — полости двуполостных гиперболоидов
вращения), Архимед пишет, что с помощью доказанных в книге теорем можно
решить ряд задач, как, например: от данного сфероида или коноида отсечь
сегмент плоскостью, проведенной параллельно заданной, так, чтобы
отсеченный сегмент был равен данному конусу, цилиндру или шару.
Перечисленные задачи, так же как и задачи о делении шара, сводятся к
кубическим уравнениям, причем в случае тупоугольного коноида уравнение
будет иметь вид
x2(a + x)=Sc
Из текста Архимеда можно заключить, что он проанализировал и решил это
уравнение. Таким образом, Архимед рассмотрел кубические уравнения вида
х3 + ax + b = 0 при различных значениях a и b и дал метод их решения.
Однако исследование кубических уравнений оставалось для греков трудной
задачей, с которой, в ее общем виде никто, кроме Архимеда, не мог
справиться. Решение отдельных задач, эквивалентных кубическим
уравнениям, греческие математики получали с помощью нового
геометрического аппарата конических сечений. Этот метод впоследствии
восприняли математики стран ислама, которые сделали попытку провести
полный анализ всех уравнений третьей степени.
Но еще до этого, и притом греческими математиками, был сделан новый
решительный шаг в развитии алгебры: геометрическая оболочка была
сброшена, и началось построение буквенной алгебры на основе арифметики.
Это произошло в первые века нашей эры, о чем мы будем говорить позже.
(2)_
(1)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter