Кафедра «Высшей математики»
Реферат:
Выполнил: Матвеев Ф.И.
Проверила: Бурлова Л.В.
Улан-Удэ.2002
Содержание.
1.Численные методы интегрирования
2.Вывод формулы Симпсона
3.Геометрическая иллюстрация
4.Выбор шага интегрирования
5.Примеры
1. Численные методы интегрирования
Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла
.
Задачи численного интегрирования приходится решать для функций,
заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в
элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной
переменной.
Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем
интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной
функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам
многочлена оценить точность результата или же по заданной точности
подобрать эти параметры.
Численные методы условно можно сгруппировать по способу
аппроксимации подынтегральной функции.
. Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома. Как
правило, узлы аппроксимирующего полинома – равноотносящие.
сплайном-кусочным полиномом.
В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса)
используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие
минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном)
количестве узлов.
Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных
интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный
характер.
суммарная погрешность
погрешность усечения
погрешность округления
Независимо от выбранного метода в процессе численного
интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и
оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества
. Однако при этом возрастает погрешность округления
за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных
отрезках.
частичного отрезка.
2. Вывод формулы Симпсона
построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и
воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу
Симпсона.
:
:
Формула:
и называется формулой Симпсона.
. Составим разность
неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на
втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:
).
другое выражение:
следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени
не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде:
.
применяют формулу Симпсона, именно:
Запишем формулу Симпсона в общем виде:
(1)
(2)
Погрешность формулы Симпсона – метода четвертого порядка:
(3)
не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать
большую точность.
3. Геометрическая иллюстрация
.
Особенностью применения формулы Симпсона является тот факт, что
число разбиений отрезка интегрирования – четное.
Если же количество отрезков разбиения – нечетное, то для первых
трех отрезков следует применить формулу, использующую параболу третьей
степени, проходящую через четыре первые точки, для аппроксимации
подынтегральной функции.
(4)
Это формула Симпсона «трех восьмых».
точек).
, m=2,3,… (5)
– целая часть
Можно получить формулы Ньютона-Котеса старших порядков :
(6)
– количество отрезков разбиения;
– степень используемого полинома;
;
– шаг разбиения.
узлами для построения многочлена k-ой степени. Чтобы воспользоваться
этой схемой для большего количества наборов (например, при k=2 и n=6),
нужно «продолжить» коэффициенты, а затем сложить их.
Таблица 1:
1 4 1
1 4 1
1 4 1
1 4 2
2 4 1 (
(7),
– коэффициент, зависящий от метода интегрирования и свойств
подынтегральной функции;
h – шаг интегрирования;
p – порядок метода.
Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путем двойного
просчета интеграла с шагами h и kh.
(8)
.
^
`
b
?
4u
gdaeth
`
&A
?
?
?
?
o
oe
- ”&A
,-.-3/4i!-“n”?”iiiaiiiiiiiiiiiOOOiiOiAE
4u
??
??
6issiiississssiOissiissssssissiiiO
jQ
j§
j–
j‚
6oeaUeUE1/2eaUeU¬ eUa’a?a?awg’aU]V
j
j
, то есть:
из системы трех уравнений:
с неизвестными I,А и p получаем :
(10)
(11)
, связаны соотношением:
(12)
, справедливы соотношения:
(13)
4. Выбор шага интегрирования
Для выбора шага интегрирования можно воспользоваться выражением
остаточного члена. Возьмем, например, остаточный член формулы Симпсона:
.
.
По заданной точности ( метода интегрирования из последнего неравенства
определяем подходящий шаг.
.
(что на практике не всегда возможно). Поэтому пользуются другими
приемами определения оценки точности, которые по ходу вычислений
позволяют выбрать нужный шаг h.
Разберем один из таких приемов. Пусть
,
).
,
.
и т.д. Это правило называется правилом Рунге.
.
уменьшается количество вычислений подынтегральной функции.
(14).
За меру точности метода Симпсона принимают величину :
5. Примеры
задана таблицей. Оценить погрешность.
Таблица 3.
.
.
.
.
=0.1. Результаты вычислений приведены в таблице 4.
Таблица 4.
Вычисление интеграла по формуле Симпсона
0 0
y0=1,00000
1 0.1 0,90909
2 0.2
0,83333
3 0.3 0,76923
4 0.4
0,71429
5 0.5 0,66667
6 0.6
0,62500
7 0.7 0,58824
8 0.8
0,55556
9 0,9 0,52632
10 1,0
0,50000=yn
(
3,45955((1) 2,72818((2)
По формуле Симпсона получим:
. Очевидно:
– коэффициенты формулы Симпсона и (- максимальная ошибка округления
значений подынтегральной функции.
.
.
.
Решение:
2 -0,41613 -0,208065 1
2,05 -0,46107 -0,224912
2,1 -0,59485 -0,240405 4
2,15 -0,54736 -0,254586
2,2 -0,58850 -0,267500 2
2,25 -0,62817 -0,279187
2,3 -0,66628 -0,289687 4
2,35 -0,70271 -0,299026
2,4 -0,73739 -0,307246 2
2,45 -0,77023 -0,314380
2,5 -0,80114 -0,320465 4
2,55 -0,83005 -0,325510
2,6 -0,85689 -0,329573 2
2,65 -0,88158 -0,332672
2,7 -0,90407 -0,334841 4
2,75 -0,92430 -0,336109
2,8 -0,94222 -0,336507 2
,85 -0,95779 -0,336067
2,9 -0,97096 -0,334814 4
2,95 -0,98170 -0,332780
3 -0,98999 -0,329997 1
.
получаем:
(( 1,
(( 3.
=0.05.
Чтобы погрешность округления не искажала столь точный результат для
формулы Симпсона, все вычисления проводились с шестью знаками после
запятой.
Окончательные результаты:
0,1 -0,30335 0,0000017
0,05 -0,30335 0,0000002
PAGE
PAGE 2
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
