.

Метод математической индукции

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 727
Скачать документ

Брянский Городской Лицей №1

Исследовательская работа на тему:

Метод Математической Индукции

Выполнил

Мелешко
Константин

ученик 10
физико-математического

Брянского
Городского Лицея №1

Проверил

Тюкачева Ольга Ивановна

-2003-

Содержание исследовательской работы

Содержание_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2

Введение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3

Основная часть

Полная и неполная индукция_ _ _ _ _ _ _ _ _3-4

Принцип математической индукции_ _ _ _ _4-5

Метод математической индукции_ _ _ _ _ _ 6

Решение Методом Математической Индукции

К задачам на суммирование_ _ _ _ _ _ _ _ _ 7

К задачам на доказательство неравенств_ _8

К задачам на делимость _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _11

К задачам на доказательство тождеств _ _ _12

К другим задачам _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13

Заключение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16

Список использованной литературы _ _ _ _17

Введение

Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют
выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем
заключения от частного к общему.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они
дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие
умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех
законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого
продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения
планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского
астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в
дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов
Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось
необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она
лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная
практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного,
естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С
выполняется неравенство

.

Лежащее в основе арифметики понятие «следовать за» тоже появилось при
наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными
множествами.

Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в
математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы,
логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано
логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые
нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много
утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь
подсказывается индукцией. Именно она позволяет отделить полезные теоремы
от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже
помогает наметить путь доказательства.

Суть Математической Индукции

Покажем на примере использование Метода Математической Индукции
и в конце сделаем обобщающий вывод.

Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число
n в пределах 4 p, где
p-фиксированное натуральное число. В этом случае принцип
математической индукции формулируется следующим образом.

Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k)(А(k+1) для любого
k>p, то предложение А(n) истинно для любого n>p.

Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим
образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е.
устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства
называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства,
называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость
утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k
(предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k)(A(k+1).

Применение метода математической индукции в задачах на суммирование

Применение метода математической индукции в задачах на суммирование

Пример:

Доказать, что

1

Решение.

, следовательно, при n=1 формула верна.

Пусть k- любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.

Докажем тогда

В самом деле ,

.

Значит, по принципу математической индукции формула верна для любого
натурального n.

Примеры применения метода математической индукции к доказательству
неравенств.

Доказать, что при любом натуральном n>1

.

Решение.

.

, следовательно, при n=2 неравенство справедливо.

.

.

.

Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.

.

Доказательство.

Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное
число, т.е.

. (1)

Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.

.

. Утверждение доказано.

, n – натуральное число, большее 1.

Решение.

.

Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное
число, т.е.

. (1)

Покажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.

. (2)

, поэтому справедливо неравенство

, (3)

, получим справедливое неравенство (2).

Пример 4. Доказать, что

(1)

, n – натуральное число, большее 1.

Решение.

При n=2 неравенство (1) принимает вид

. (2)

, то справедливо неравенство

. (3)

, получим неравенство (2).

Этим доказано, что при n=2 неравенство (1) справедливо.

Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное
число, т.е.

. (4)

Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1,
т.е.

(5)

, то получаем следующее справедливое неравенство:

. (6)

Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно
показать, что

, (7)

или, что то же самое,

. (8)

Неравенство (8) равносильно неравенству

. (9)

, и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных
чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо.

Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его
справедливость при n=k+1.

Метод математической индукции в решении задач на делимость.

С помощью метода математической индукции можно доказывать различные
утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.

Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как
оно получается с помощью метода математической индукции.

четное.

четно при всех натуральных значениях n.

Пример 2. Доказать истинность предложения

кратно 19}, n – натуральное число.

Решение.

кратно 19} истинно.

Предположим, что для некоторого значения n=k

кратно 19} истинно. Тогда, так как

, очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое
делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое
тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия
принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение
A(n) истинно при всех значениях n.

Доказательство тождеств с помощью метода математической индукции

Доказать , что при всех допустимых значениях x имеет место тождество:

Решение. Надо доказать , что тождество справедливо при всех x , кроме
x=0, 1, -1.

При n=1 имеем:

,

т.е. при n=1 тождество выполняется.

Предположим , что

Докажем , что тогда

Имеем:

Итак, тождество верно для любого натурального числа n.

Метод математической индукции в применение к другим задачам.

Наиболее естественное применение метода математической индукции в
геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в
алгебре, – это применение к решению геометрических задач на вычисление.
Рассмотрим несколько примеров.

– угольника, вписанного в круг радиуса R.

Решение.

. Далее, согласно формуле удвоения

равна

. (1)

– угольника выражается формулой (1). В таком случае по формуле удвоения

,

откуда следует, что формула (1) справедлива при всех n.

Пример 2. На сколько треугольников n-угольник (не обязательно выпуклый)
может быть разбит своими непересекающимися диагоналями?

Решение.

Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести
ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, очевидно,
двум.

Предположим, что мы уже знаем, что каждый k-угольник, где k

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019