Министерство образования Российской Федерации
Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова
РЕФЕРАТ
на тему:
“МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ”
Выполнил: студент гр. МХТ-02
Казаков Василий Васильевич
Проверила:
Абрамова Ирина Михайловна
Магнитогорск 2003
Содержание
Гармонические колебания
Затухающие колебания
Вынужденные колебания без учета сопротивления среды
Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды
Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной
повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены
в природе и технике, например качания маятника часов, переменный
электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется
координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение
и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако
различные колебательные процессы описываются одинаковыми
характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические
колебания.
Гармонические колебания.
Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых
изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).
. Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения
груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.
Решение
Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку
подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз,
то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения
пружины.
Пусть ( означает удлинение пружины в данный момент, а (ст—статическое
удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения
равновесия. Тогда (=(ст+х, или (-(ст=х.
Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma,
где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая
приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из
силы натяжения пружины и силы тяжести.
По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению:
Fупр=-с(, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый
жесткостью пружины.
Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины
уравновешивается весом тела, то P= с(ст. Подставим в дифференциальное
уравнение выражение Р и заменим (-(ст через х, получится уравнение в
виде:
или, обозначив с/m через k2,
(1)
Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания
груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это
линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
, соответственно этому общее решение
, получим:
Если положить
то
(2)
График гармонических колебаний имеет вид:
Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения
равновесия.
и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы.
Так как с = Р/(ст = mg/(ст, то для периода можно получить также формулу:
Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:
, откуда
Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты
и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния
системы. При отсутствии начальной скорости ((0=0) амплитуда А=х0, а
начальная фаза (=(/2 и, таким образом,
Затухающие колебания.
Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за
потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени
уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи,
но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости
движения.
Решение
(знак минус показывает, что сила R направлена противоположно скорости
(). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет
вид
, то
(3)
Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
имеет корни
(4)
. Тогда общее решение можно записать в виде
, получим:
положим, что
,
тогда
(5)
График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет
вид:
при t = 0, то можно определить А и (. Для этого находим
получим систему уравнений
Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого
получим
откуда
Так как
то
.
Период затухающих колебаний определяется по формуле
. Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается
буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD = – пТ/2 называется
логарифмическим декрементом затухания.
), но, как и там, не зависит от начального положения груза.
, то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае
имеет вид
(6)
, когда общее решение имеет вид
(7)
.
, получим
и, следовательно
и следовательно,
”
?
?
?????@??
o
o
oe
o
u
ue
th
?”2
r
?
h
h
h›
h›
h›
h›
h›
jiG h›
h
h
j
Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.
Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней
периодической возмущающей силой.
где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая
массой пружины и сопротивлением среды.
Решение
Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение
перепишем уравнение в виде
(8)
, где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,
Производя вычисления, получаем
Полученное таким образом частное решение
(9)
. Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила,
совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p,
либо отличаются на (, если k
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
