.

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 480
Скачать документ

Министерство образования Российской Федерации

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова

РЕФЕРАТ

на тему:

“МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ”

Выполнил: студент гр. МХТ-02

Казаков Василий Васильевич

Проверила:

Абрамова Ирина Михайловна

Магнитогорск 2003

Содержание

Гармонические колебания

Затухающие колебания

Вынужденные колебания без учета сопротивления среды

Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды

Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной
повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены
в природе и технике, например качания маятника часов, переменный
электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется
координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение
и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако
различные колебательные процессы описываются одинаковыми
характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические
колебания.

Гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых
изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).

. Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения
груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Решение

Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку
подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз,
то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения
пружины.

Пусть ( означает удлинение пружины в данный момент, а (ст—статическое
удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения
равновесия. Тогда (=(ст+х, или (-(ст=х.

Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma,
где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая
приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из
силы натяжения пружины и силы тяжести.

По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению:
Fупр=-с(, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый
жесткостью пружины.

Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины
уравновешивается весом тела, то P= с(ст. Подставим в дифференциальное
уравнение выражение Р и заменим (-(ст через х, получится уравнение в
виде:

или, обозначив с/m через k2,

(1)

Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания
груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это
линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

, соответственно этому общее решение

, получим:

Если положить

то

(2)

График гармонических колебаний имеет вид:

Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения
равновесия.

и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы.
Так как с = Р/(ст = mg/(ст, то для периода можно получить также формулу:

Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:

, откуда

Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты
и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния
системы. При отсутствии начальной скорости ((0=0) амплитуда А=х0, а
начальная фаза (=(/2 и, таким образом,

Затухающие колебания.

Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за
потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени
уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи,
но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости
движения.

Решение

(знак минус показывает, что сила R направлена противоположно скорости
(). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет
вид

, то

(3)

Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

имеет корни

(4)

. Тогда общее решение можно записать в виде

, получим:

положим, что

,

тогда

(5)

График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет
вид:

при t = 0, то можно определить А и (. Для этого находим

получим систему уравнений

Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого
получим

откуда

Так как

то

.

Период затухающих колебаний определяется по формуле

. Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается
буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD = – пТ/2 называется
логарифмическим декрементом затухания.

), но, как и там, не зависит от начального положения груза.

, то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае
имеет вид

(6)

, когда общее решение имеет вид

(7)

.

, получим

и, следовательно

и следовательно,

?

?

[email protected]??

o

o

oe

o

u

ue

th

?”2

r

?

h

h

h›

h›

h›

h›

h›

jiG h›

h

h

j

Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.

Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней
периодической возмущающей силой.

где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая
массой пружины и сопротивлением среды.

Решение

Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение

перепишем уравнение в виде

(8)

, где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,

Производя вычисления, получаем

Полученное таким образом частное решение

(9)

. Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила,
совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p,
либо отличаются на (, если k

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020