Глава 3. Функции от матриц.
Определение функции.
– функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под
f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение
аргумента.
.
Определение f(A) в общем случае.
– собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают
одинаковые значения.
Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий
многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный
многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).
.
.
Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на
спектре матрицы А.
Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на
спектре матрицы А.
Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) ( (3) ( (1). Таким образом, если
задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется
значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены
gi(x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют
одинаковые матричные значения gi(A). Потребуем, чтобы определение
значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.
Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить
f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны
иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для
определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x),
который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция
f(A)=g(A).
.
Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре
матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые
значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого
многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и
f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).
Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом
Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.
.
Пример:
Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица
. Построим f(H1). Найдем минимальный многочлен H1 – последний
инвариантный множитель [xE-H1]:
, dn-1=x2; dn-1=1;
mx=fn(x)=dn(x)/dn-1(x)=xn( 0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные
собственные значения H1.
.
Свойства функций от матриц.
.
Доказательство:
Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:
Сделаем замену в равенстве:
(*)
, получим:
.
– собственные значения матрицы f(A).
ЧТД.
.
Доказательство:
.
ЧТД.
Доказательство:
.
ЧТД.
, где f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А.
Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.
Случай № 1.
, Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены lk(x):
.
.
Построим:
.
.
.
Построим базисные многочлены:
Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:
.
, тогда интерполяционный многочлен
.
Случай № 2.
. В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в
предыдущем случае.
Случай № 3.
Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:
,
где m1+m2+…+ms=m, deg r(x)
4. Простые матрицы. . . . . В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом: Теорема. Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности. называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью. . . Запишем это равенство в матричном виде: . - называют левым собственным подпространством. . (**). называются квазиортогональными. . Очень важной для матриц является следующая теорема: . Следствие. Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства: простая. Найти сопутствующие матрицы для матрицы А и использовать их для А20, p(x)=x20. Решение: ( существуют 2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов. Найдем правые собственные векторы: Найдем левые собственные векторы: Найдем сопутствующие матрицы: . 5.Спектральное разложение функции f(A). Спектральное разложение для f(A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц. . называются компонентами матрицы А или компонентными матрицами. ЧТД. Опишем следующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщают свойства сопровождающих матриц. обладают следующими свойствами: . Замечание. Для того, чтобы найти компонентные матрицы для f(x) определенной на спектре матрицы А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие в интерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f(x) связано с некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицы подбирая соответствующим образом системы функций. . . . f(x)=1 E=1Z11+0Z12+1Z21=Z11+Z21 f(x)=x-4 A-4E=0Z11+1Z12+(-2)Z21=Z12-2Z21 f(x)=(x-4)2 (A-4E)2=4Z21 . Таким образом, для любой функции f(x), определенное на спектре матрицы А . Пример 2. Найти компоненты для матрицы . Найдем минимальный многочлен матрицы А. f(x)=1 E=Z11+Z21+Z31 f(x)=x+1 (A+E)=2Z21+Z31+Z12 f(x)=(x+1)2 (A+E)2=4Z21+Z31 f(x)=x-1 A-E=-2Z11+Z12-Z31 Определенные матрицы. Эрмитовы и квадратичные матрицы. Пусть А – эрмитова матрица (А*=А). Рассмотрим функцию h(x) – действительная функция комплексного аргумента. , где А – эрмитова матрица, называется эрмитовой формой от n переменных x1, …, xn, где А – матрица эрмитовой формы. . Для каждой эрмитовой (квадратичной) формы инвариантами являются: ранг (число не нулевых коэффициентов в квадратичной форме нормального вида совпадающих с рангом матрицы А), p (индекс) – число положительных коэффициентов в квадратичной форме нормального вида, оно совпадает с числом положительных собственных значений, сигнатура. Эти числа r, p, гр-r не зависят от тех преобразований, которые совершаются над данными формами. В дальнейшем ограничимся рассмотрением только квадратичных форм. Нас интересуют 2 семейства матриц. . . , что противоречит условию. тогда и только тогда , когда она имеет r положительных собственных значений, а остальные (n-r) – собственные значения равны 0. Теорема № 2. Действительная симметрическая матрица положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны. Теорема № 3. Действительная симметрическая матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны. 7.Неотрицательные матрицы. называется неотрицательной, если каждый ее элемент положителен. Квадратные матрицы такого типа возникают во множестве задач и это определяющее свойство приводит к сильным результатам об их строении. Теорема Фробениуса-Перона является основным результатом для неотрицательных матриц. . приводит к перестановке столбцов матрицы А. , где А11, А12, А22 – квадратные матрицы меньшего чем n порядка. Если матрица Р не существует, то матрица А называется неприводимой. , получаем . и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А11 и А22 в своей совокупности составляет множество значений матрицы А. Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице. В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы. Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц. . Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы. Например: . Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным. 8.Теорема Фробениуса-Перона. . . Доказательство: и разбив матрицу А на блоки следующим образом . , что противоречит неприводимости матрицы. . ЧТД. , (Ax)i – i-я координата вектора Ах. . . . . Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz). Интерес к числу r объясняется следующим результатом. является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r. Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц. неотрицательна и неприводима, то: А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А; существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r. собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1. Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием. Теорме Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор. Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы. р1 р3 р2
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
