Математическое ожидание и его свойства.
. Расширим понятие независимости случайных событий и введем понятие
независимых случайных величин.
.
.
.
задана законом распределения вероятностей:
имеет вид
.
3) Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых
случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.
заданы рядами распределения
имеет следующий закон распределения:
.
случайных величин.
.
рядами распределения (см. предыдущее свойство).
.
Переходя к математическом ожиданию рассматриваемой суммы, имеем
INCLUDEPICTURE
“http://brsu.brest.by/math/SSS/conspect/teorver/matem/2kurs/glav????????
•???????????
случайных величин.
Дисперсия случайной величины
. Хотя отклонение является величиной случайной, но использовать его для
оценки разброса не удобно, т.к. его математическое ожидание всегда равно
0. Поэтому для характеристики рассеивания вводят другие характеристики.
.
вычисляется по формуле
. (1)
Справедлива следующая теорема.
.
Доказательство. Из определения дисперсии и учитывая, что математическое
ожидание — постоянная величина, получим
.
Тогда формула (1) примет вид
. (2)
Свойства дисперсии
.
.
.
Доказательство. По определению дисперсии и в силу свойств
математического ожидания получаем:
.
Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме
дисперсий этих величин:
.
.
По теореме
INCLUDEPICTURE
“http://brsu.brest.by/math/SSS/conspect/teorver/matem/2kurs/glava10/Imag
e338.g?•???????????
И далее методом математической индукции…
.
.
.
Доказательство. Используя свойства 2) и 3), получаем
.
.
.
, — получаем ориентировочное представление о пределах возможных
значений случайной величины.
Мода и медиана как разновидность средних величин в вариационных рядах
Средние величины являются своего рода отвлеченной, абстрактной
величиной. Отвлекаясь от конкретных величин каждого варианта, эти числа
отражают то общее, что присуще всей совокупности единиц. При этом может
случиться, что величина средней не имеет равенства ни с одним из
конкретных вариантов встречающихся в рассматриваемой совокупности
вариантов.
Например, среднее число членов семьи, равное 3,84, полученное на основе
исчисления соответствующей совокупности данных, ничего общего с
конкретным составом семьи не имеет, поскольку дробного числа членов
семьи не может быть. Здесь в данном показателе средней величины состава
семьи выражается некоторое центральное значение, около которого
группируются реально существующие варианты.
Кроме рассмотренных средних, когда определяется некая абстрактная
величина, могут быть использованы величины конкретных вариантов
имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин занимающих
определенное место в ранжированном ряду индивидуальных значений
признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке
возрастания или убывания индивидуальных значений признака. Такими
величинами, чаще всего являются мода и медиана.
Мода – это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина
варианта. Эту величину означают символом Мо.
Мода как величина в дискритном (прерывистом) ряду определяется следующим
образом на примере выявления наибольшего процента мужчин носящих
определенный размер обуви. Наглядно это можно представить следующей
таблицей.
Распределение числа мужчин по размеру используемой обуви
Размер обуви Число мужчин старше 16 лет % к итогу Накопление частности
До 37 1 1
38 5 6
39 12 18
40 23 41
41 28 69
42 21 90
43 8 98
44 2 100
и более –
Всего 100
В распределении мужчин по размеру обуви наибольшая часть мужчин (28%)
относится к величине номера обуви в 41. Следовательно, мода Мо = 41,
т.е. модой является 41-й размер обуви.
Чтобы определить медиану, необходимо найти один из центральных вариантов
рассматриваемой совокупности. В нашем примере центральным вариантом
будет находиться в центре совокупности состоящей из 100 членов, т.е. 100
: 2 = 50. Затем по накопленным частотам определяем величину 50-го члена
ряда. В нашем примере он будет находиться между 41 и 69 накопленной
частности (см. 3-ий столбец таблицы), 50-ый член ряда имеет величину 41,
т.е. Ме = 41-му размеру обуви.
В практике мода и медиана часто используются вместо средней
арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых
рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта,
т.е. определяют моду цены. Тем не менее наилучшей характеристикой
величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд
существенных преимуществ, о которых было сказано раньше, главное из
которых, точное отражение суммы всех значений признака, использующихся
для решения соответствующих практических задач.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
