ТЕМА 1. Скалярные и векторные величины
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН.
ВЕКТОР
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ
Величины называют скалярными (скалярами), если они после выбора единиц
измерения полностью характеризуются одним числом.
Если некоторая скалярная величина полностью определяется одним числом,
не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда говорят о чистой скалярной
величине или об истинном скаляре.
Если некоторая скалярная величина определяется одним числом, абсолютная
величина которого не зависит от выбора осей отсчета, а ее знак зависит
от выбора положительного направления на осях координат, то тогда говорят
о псевдоскалярной величине
Величина называется вектором (векторной), если она определяется двумя
элементами различной природы: алгебраическим элементом – числом,
показывающим длину вектора и являющимся скаляром, и геометрическим
элементом, указывающим направление вектора.
, т.е. от координат конца вычитают координаты начала вектора.
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание векторов производят геометрически (рис. 7). Этот
способ называют правилом треугольника.
, если речь идет о вычитании векторов (рис. 7).
Геометрически этот способ называют правилом многоугольника.
.
Два одинаково направленных и параллельных вектора называют
коллинеарными. Коллинеарные векторы могут быть разной длины
называют коллинеарными, если существуют такие два числа ( и (, не
равные нулю одновременно, что выполняется равенство
ТЕМА 2. Действия над векторами
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО КООРДИНАТНЫМ ОРТАМ.
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ
. Если один из перемножаемых векторов единичный, то:
.
соответственно на оси 0х, 0у и 0z.
.
численно будет равен
.
Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор,
независимо от типа, можно представить в виде:
,
с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем
соответственно с осями 0х, 0у и 0z.
.
Скалярное произведение векторов в координатной форме
ТЕМА 3. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех
векторов.
ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
образуют правую тройку векторов, если они имеют такую же ориентацию,
как соответственно большой, указательный и средний палец правой руки, в
противном случае говорят о левой тройке векторов
Три единичных вектора i, j, k, попарно ортогональные друг другу и
образующие правую тройку векторов, называют прямоугольной декартовой
системой координат.
).
как на сторонах (это геометрический смысл векторного произведения).
. Векторное произведение подчиняется только распределительному закону:
.
назовем число К, равное объему параллелепипеда, построенного на этих
векторах (рис. 10) и вычисляемое как:
=0.
Из определения смешанного произведения следует интересный факт, что
произведение не зависит от порядка следования векторов в смешанном
произведении, так как объем параллелепипеда (положительный или
отрицательный) зависит только от расположения этих векторов в
пространстве (левая или правая тройка) потому, что является
псевдоскаляром. Следовательно, можно записать
.
Это свойство смешанного произведения служит обоснованием упрощения
записи смешанного произведения:
.
ТЕМА 4. Прямая линия на плоскости.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С ЗАДАННОЙ ТОЧКОЙ И НАПРАВЛЯЮЩИМ ВЕКТОРОМ
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ДВУМ ТОЧКАМ
На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные, или плоские
преобразования.
, связывающее две переменные x и y называется уравнением линии L в
выбранной плоской системе координат, если координаты любой точки этой
линии L удовлетворяют уравнению, а любые другие координаты точек, не
принадлежащих лини L, не удовлетворяют указанному уравнению.
По определению линия — это есть соотношение, связывающее координаты
точек некоторой области пространства, и, причем только эти координаты.
Уравнение представляет собой аналитическую запись уравнения любой
плоской линии.
.
подставить его численное значение, от получим известное уравнение
прямой
.
Известно, что уравнение прямой имеет вид:
.
По условию задачи k задан. Точка M (x0 ,y0) должна также принадлежать
искомой прямой и, по определению линии, обращать уравнение прямой в
тождество. Воспользуемся этим и подставим значения x0 и y0 в уравнение,
получим :
.
В последнем уравнении неизвестно b. Элементарным преобразованием из
последнего уравнения получим
.
Найденное b подставим в уравнение и окончательно
.
Уравнение является уравнением прямой, проходящей через данную точку в
заданном направлении.
) и учитывая, что обе точки расположены на искомой линии, можно
составить следующую систему:
,
– координаты точек M1 и M2 соответственно, (известны), а k и b –
искомые неизвестные. Вычитая из первого уравнения второе, выразим k,
.
Подставим найденное k в любое из уравнений и определим b
.
Подставим найденные k и b в уравнение прямой
.
Преобразуем последнее уравнение
и окончательно
.
Данное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две
точки.
ТЕМА 5. Прямая и плоскость в пространстве.
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.
ПРЯМАЯ КАК ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Любая поверхность есть
геометрическое место точек, ее
составляющих, определенное уравнением
Иными словами, все точки, которые
удовлетворяют этому уравнению, будут
принадлежать
поверхности.
Пусть в пространстве XYZ задана
плоскость ( и к ней в точке K проведем
. Так как плоскость (
ориентирована произвольно в пространстве,
будет составлять с осями x, y, z углы (, ( и ( соответственно.
.
.
Зная, что для любой точки, принадлежащей плоскости, с координатами
(A,B.C) можно вычислить направляющие косинусы
с учетом которых можно уравнение преобразовать
,
которое известно, как уравнение плоскости.
.
Пусть плоскости ( и ( (рис. 6) заданы уравнениями:
и
,
система из этих уравнений:
Уравнения называются общими уравнениями прямой в
пространстве, записанными в
векторной форме.
ТЕМА 6Матрицы и определители.
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИХ СВОЙСТВА
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
, которые называют элементами матрицы и обозначается
, то о прямоугольной.
.
называется такая
матрица C = (cij), у которой (cij) = (kaij).
.
.
Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком
определителя
Решением системы называется совокупность из n чисел (с1, с2, …, сn),
которые, будучи подставленными в систему на место неизвестных x1, x2,
…, xn, обращают все уравнения системы в истинные равенства
Систему уравнений, имеющую хотя бы одно решение, называют совместной,
систему, не имеющую решений, – несовместной.
Если совместная система имеет единственное решение, то она называется
определнной; если совместная система имеет по крайней мере два различных
решения, то она называется неопределенной.
.
Метод Гаусса.
Пусть А – невырожденная матрица, то есть det A? 0, и, следовательно, она
имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части на А-1 слева, получаем:
А-1 (А Х) = А-1 В ???(А-1 А)Х = А-1 В ??Е Х = А-1 В, то есть Х = А-1 В
и есть искомое решение системы (14). Действительно, подставив (16) в
(14), получим А (А-1 В) = (А-1 А)В = Е В = В.
ТЕМА 7. Предел функции.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
– областью определения функции. Такая функция называется однозначной.
задана многозначная функция.
и т.д.
и т.д.
.
.
.
.
Эта теорема дает связь между пределом сходящейся последовательности и
бесконечно малыми.
.
.
ТЕМА 8. Производная.
ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЁ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕС-КИЙ СМЫСЛ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
имеет предел при
этот предел называют
при заданном
и записывают
.
будет отрицательным. На этом свойстве производной основано исследование
поведения функции на возрастание (убывание) на заданном отрезке.
.
.
.
Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную
второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем
производную третьего порядка и т.д.
.
, то можно предположить, что в данном случае функцию можно
дифференцировать бесконечное количество раз.
. Как и во втором примере, эта функция дифференцируема бесконечное
количество раз.
; …Как следует из приведенных примеров, разные функции ведут себя
по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное
количество производных высших порядков, другие – переходят сами в себя,
а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но
порождают новые функции, отличные от исходной. Однако все
сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для
производных высших порядков.
ТЕМА 9. Экстремум функции.
ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИЙ
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
.
.
.
.
.
Правило поиска экстремальных точек
.
.
по ее первой производной.
на знак слева и справа от найденных точек.
является точкой максимума.
является точкой минимума.
является точкой перегиба функции.
не обращается в нуль при вычитании указанных условий, тогда можно
сформулировать следующую теорему.
.
в указанной точке.
ТЕМА 10
ТЕМА 11
ТЕМА 12
ТЕМА 13
ТЕМА 14
ТЕМА 15
M
(
K
n
(
(
(
0
z
y
x
x+(x
x
x
y
C
(
B
A
(f
(x
(
b
(
(
(
(
(
(
c = a + b
b
a
a
(
c = a – b
(
(
В2
А2
(
В1
А1
(
В
А
(
z
y
x
(
(
(
(
(
(
а
аz
ау
ах
(
(
(
c
b
a
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
