.

Математический анализ

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 342
Скачать документ

§ 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Математическое исследование многих реальных процессов основано на
применении дифференциальных уравнений, содержащих производные искомых
функций. Аппарат дифференциальных уравнений универсален: разнообразные
процессы могут описываться одинаковыми уравнениями. Практика показывает,
что даже простые математические модели, использующие дифференциальные
уравнения, позволяют качественно изучить основные черты сложных явлений
и оценить их количественные характеристики.

1. Определения

Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок
входящих в него производных. Этот параграф посвящен обыкновенным
дифференциальным уравнениям первого порядка, то есть уравнениям вида

,

– ее производная. Уравнения вида

называются разрешенными относительно производной.

называется решением дифференциального уравнения, если после ее
подстановки уравнение обращается в тождество. Процесс нахождения решений
называется интегрированием уравнения. Решить уравнение значит найти все
его решения.

, то есть уравнение имеет вид

,

(см. § 4). Совокупность всех решений, то есть общее решение уравнения,
можно представить формулой

,

– произвольная постоянная. При этом в данном параграфе под
неопределенным интегралом функции условимся понимать не все множество ее
первообразных, а любую фиксированную первообразную.

Пример. Для уравнения

,

интегрируя, получим общее решение

.

В следующем пункте рассматривается один класс уравнений, общее решение
которых представляется в квадратурах, то есть с использованием
интегралов от известных функций.

2. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется
уравнение вида

, (1)

– заданные функции.

является решением уравнения (1).

– произвольная постоянная. Отсюда, используя формулу замены переменной
в неопределенном интеграле, получим равенство

, (2)

определяющее в неявном виде семейство решений уравнения (1), зависящее
от произвольной постоянной.

Замечание. Чтобы из бесконечного множества решений дифференциального
уравнения выделить частное решение нужно задать какое-либо
дополнительное условие, например,

, (3)

– некоторые постоянные. Условие (2) называется начальным, а задача
отыскания решения, удовлетворяющего такому условию, называется задачей
Коши.

Пример. Найдем общее решение уравнения

.

, при котором правая часть уравнения обращается в ноль. Все найденные
решения можно представить одной формулой

,

– произвольная постоянная.

Пример. Рассмотрим уравнение

. (5)

, откуда находим бесконечное семейство решений

.

Пример. Решим задачу Коши

.

и, следовательно,

.

. Таким образом, решением задачи Коши является функция

.

3. Математические модели некоторых процессов

Рассмотрим примеры задач, исследование которых проводится с
использованием обыкновенных дифференциальных уравнений.

пропорционален квадрату числа людей и интервалу времени:

,

, получим уравнение

, (6)

. Заметим, что известные демографические данные хорошо согласуются с
частным решением

,

, поэтому закон роста населения в будущем должен измениться.

. Пусть часть вырученных средств, равная

, (7)

– некоторое число, направляется на расширение производства.
Предположим, что скорость изменения интенсивности выпуска продукции
прямо пропорциональна объему инвестиций:

, (8)

– постоянная. Из (9) и (10) получаем уравнение

, (9)

. Если задано начальное условие

, (10)

то решением задачи Коши (9), (10) является функция

.

Уравнение (9) называется уравнением естественного роста. Им описываются
также процессы радиоактивного распада в физике и размножения бактерий в
биологии.

– положительные постоянные, то вместо (9) получим уравнение

, (11)

аналогичное уравнению, рассматриваемому в следующем примере.

, еще не знающих новости, то есть

, (12)

– постоянная. Разделив переменные в этом уравнении, получим

,

откуда, используя результат последнего примера § 4, найдем

или

.

), эта кривая представлена на рис. .

, обращающими в ноль его правую часть. Эти решения соответствуют
ситуациям, когда новость не распространяется: в первом случае в
начальный момент ее не знает никто, а во втором – знают все.

Отметим, что уравнения (11) и (12), описывающие совершенно разные
процессы, по существу, совпадают. Уравнения того же типа возникают при
описании динамики эпидемий и процессов размножения бактерий в
ограниченной среде обитания, применяются в математической теории
экологии.

Упражнения

1. Решить уравнения:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

2. Решить задачи Коши:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

,

;

;

, EMBED
Equation.??????–????????†?????????????????–????????†???????????????

Ответы

1.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Общее решение находится

;

;

;

;

;

;

.

2.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020