§ 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Математическое исследование многих реальных процессов основано на
применении дифференциальных уравнений, содержащих производные искомых
функций. Аппарат дифференциальных уравнений универсален: разнообразные
процессы могут описываться одинаковыми уравнениями. Практика показывает,
что даже простые математические модели, использующие дифференциальные
уравнения, позволяют качественно изучить основные черты сложных явлений
и оценить их количественные характеристики.
1. Определения
Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок
входящих в него производных. Этот параграф посвящен обыкновенным
дифференциальным уравнениям первого порядка, то есть уравнениям вида
,
– ее производная. Уравнения вида
называются разрешенными относительно производной.
называется решением дифференциального уравнения, если после ее
подстановки уравнение обращается в тождество. Процесс нахождения решений
называется интегрированием уравнения. Решить уравнение значит найти все
его решения.
, то есть уравнение имеет вид
,
(см. § 4). Совокупность всех решений, то есть общее решение уравнения,
можно представить формулой
,
– произвольная постоянная. При этом в данном параграфе под
неопределенным интегралом функции условимся понимать не все множество ее
первообразных, а любую фиксированную первообразную.
Пример. Для уравнения
,
интегрируя, получим общее решение
.
В следующем пункте рассматривается один класс уравнений, общее решение
которых представляется в квадратурах, то есть с использованием
интегралов от известных функций.
2. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется
уравнение вида
, (1)
– заданные функции.
является решением уравнения (1).
– произвольная постоянная. Отсюда, используя формулу замены переменной
в неопределенном интеграле, получим равенство
, (2)
определяющее в неявном виде семейство решений уравнения (1), зависящее
от произвольной постоянной.
Замечание. Чтобы из бесконечного множества решений дифференциального
уравнения выделить частное решение нужно задать какое-либо
дополнительное условие, например,
, (3)
– некоторые постоянные. Условие (2) называется начальным, а задача
отыскания решения, удовлетворяющего такому условию, называется задачей
Коши.
Пример. Найдем общее решение уравнения
.
, при котором правая часть уравнения обращается в ноль. Все найденные
решения можно представить одной формулой
,
– произвольная постоянная.
Пример. Рассмотрим уравнение
. (5)
, откуда находим бесконечное семейство решений
.
Пример. Решим задачу Коши
.
и, следовательно,
.
. Таким образом, решением задачи Коши является функция
.
3. Математические модели некоторых процессов
Рассмотрим примеры задач, исследование которых проводится с
использованием обыкновенных дифференциальных уравнений.
пропорционален квадрату числа людей и интервалу времени:
,
, получим уравнение
, (6)
. Заметим, что известные демографические данные хорошо согласуются с
частным решением
,
, поэтому закон роста населения в будущем должен измениться.
. Пусть часть вырученных средств, равная
, (7)
– некоторое число, направляется на расширение производства.
Предположим, что скорость изменения интенсивности выпуска продукции
прямо пропорциональна объему инвестиций:
, (8)
– постоянная. Из (9) и (10) получаем уравнение
, (9)
. Если задано начальное условие
, (10)
то решением задачи Коши (9), (10) является функция
.
Уравнение (9) называется уравнением естественного роста. Им описываются
также процессы радиоактивного распада в физике и размножения бактерий в
биологии.
– положительные постоянные, то вместо (9) получим уравнение
, (11)
аналогичное уравнению, рассматриваемому в следующем примере.
, еще не знающих новости, то есть
, (12)
– постоянная. Разделив переменные в этом уравнении, получим
,
откуда, используя результат последнего примера § 4, найдем
или
.
), эта кривая представлена на рис. .
, обращающими в ноль его правую часть. Эти решения соответствуют
ситуациям, когда новость не распространяется: в первом случае в
начальный момент ее не знает никто, а во втором – знают все.
Отметим, что уравнения (11) и (12), описывающие совершенно разные
процессы, по существу, совпадают. Уравнения того же типа возникают при
описании динамики эпидемий и процессов размножения бактерий в
ограниченной среде обитания, применяются в математической теории
экологии.
Упражнения
1. Решить уравнения:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
2. Решить задачи Коши:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
, EMBED
Equation.??????–????????†?????????????????–????????†???????????????
Ответы
1.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Общее решение находится
;
;
;
;
;
;
.
2.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
