2. Математические модели электромеханических систем в пространстве
состояний
Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов ничем
не отличаются от способов описания этих объектов с помощью
дифференциальных уравнений. Уравнения состояния записываются на основе
физических законов, положенных в основу работы объекта.
Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя
постоянного тока с независимым возбуждением, работающего на инерционную
нагрузку с вязким трением. Управляющим воздействием для двигателя
считаем напряжение на якоре U(t), выходной координатой, угол поворота
вала двигателя y(t)=((t). Уравнение электрической цепи имеет вид
,
– единый электромагнитный коэффициент.
Уравнение моментов будет иметь следующий вид
,
, J – момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f –
коэффициент вязкого трения.
Выберем следующие переменные состояния: х1=i, x2=(, x3=(.
Получим
,
,
,
,
,
,
Запишем матричные уравнения
,
,
где
Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с двигателем
постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.
Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем
постоянного тока.
Запишем уравнение состояния для механической системы, представляющей
собой груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с
гидравлическим демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная
переменная перемещения x(t), управляющие воздействия U(t)=P(t).
Уравнение движения груза получаем из уравнения равновесия сил
,
– сила сопротивления пружины.
– перемещение и скорость перемещения соответственно.
Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину,
массу и вязкий демпфер.
Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и количество
переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение движения груза
можно записать в виде двух уравнений
,
U(t)=P(t) – управляющее воздействие.
Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода
,
Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной
механической системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде
,
,
Запишем это уравнение в другом виде
,
,
.
С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную
схему, где двойными линиями показаны векторные переменные.
Рис. 2.3. Структурная схема.
Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение состояния RLC
цепи
Рис. 2.4. RLC цепь.
Динамическое поведение этой электрической системы полностью определяется
при t(t0, если известны начальные значения: i(t0), ec(t0) и входное
напряжение e(t) при t(t0, следовательно, эта система полностью
определяется переменными состояния i(t) и ec(t). При указанных
переменных состояния i(t) и ec(t) имеем следующие уравнения
,
.
Введем следующие обозначения
,
В соответствии с этими обозначениями получаем
,
.
Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в
векторно-матричном виде
,
,
Запишем матричные уравнения
,
,
.
PAGE
PAGE 9
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
