Введение и краткое резюме
Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с
одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие
движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к
исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника).
Особенно замечательно здесь явления так называемого “захватывания”. Это
явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно
близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила
как бы “захватывает” автоколебания. Колебания системы начинают
совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно
зависит от амплитуды “исчезнувших” автоколебаний. Интервал захватывания
зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.
Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически
недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма
частного вида – кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать
случай произвольной характеристики при колебаниях близких к
синусоидальных.
В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным
периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы
оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой
системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду
внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне
важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях
Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре,
которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно
близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр
( таким образом, чтобы при ( = 0 уравнение превращалось в линейное и
колебания делались синусоидальными. Этот параметр (, который мы
предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости
от выбора системы.
Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых
отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые
решения обладали “устойчивостью по Ляпунову”.
В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов,
с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по
Пуанкаре.
В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4
посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие
формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть
применены в конкретных случаях, причем в качестве примера
рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул
совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.
§ 1 Отыскания периодического решения в случае достаточно сильной
расстройки.
Уравнение, которое нас будет интересовать:
При ( = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
Рассмотрим случай, когда ( бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем
искать решение (1) в следующем виде:
Начальные условия выберем так:
F2 – степенной ряд по (1 (2, ( начинающийся с членов второго порядка.
Подставим (3) в (1):
Сравнивая коэффициенты при (1 (2, ( получим уравнение для А, В, С.
Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).
Решая задачи Коши, получим:
; для остальных функций аналогично.
Тогда (6) запишется в виде:
Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых ( и любых f.
Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.
§ 2 Исследование устойчивости периодического решения
Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8).
Сделаем замену: x = Ф(t) + ( ; в уравнении (1) при этом отбросим члены ,
содержащие квадраты и высшие степени ( и (‘.
Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) – решение уравнения. Получим
уравнение первого приближения:
Удовлетворяют тому же уравнению, что и (, то есть (10). Начальные
условия для них определены следующим образом.
(11).
Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по (.
(12).
Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих
степенях (, получим:
Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись
условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая
коэффициенты при соответствующих степенях (, получим
Для В’о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений
условия будут нулевые. Итак:
(14)
Решение (13) можно найти при помощи квадратур:
(15)
Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими
коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:
S1, S2 – периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). (1, (2 –
характеристические показатели.
, т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема,
доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение
уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре
характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:
;
Тогда определитель будет:
Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re ((), или
что все равно ( (( . Если ( (( 1 имеет
место неустойчивость.
При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q 1 –
неустойчивость.
p и q нетрудно получить в виде рядов по степени ( из формул (19)
(12).
(22)
Если принять во внимание (15)
(22a)
(23)
Мы видим, что при достаточно малом ( и ((n; n ( Z вопрос об устойчивости
решается величиной q и следовательно знаком b, если b 0 – неустойчивость.
В нашем случае b имеет вид:
(23a)
§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.
Тогда ((((о; (2 = 1+ aо (, (24) (aо , ( – расстройка , реальный
физический резонанс наступает при aо ( 0).
Тогда исследуемое уравнение имеет вид :
(25)
(26)
Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:
(27);
Начальные условия возьмем как и раньше:
Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем
(27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при (1 (2, ( и других
интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A,
B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если
подставим (28) в (27).
(29)
Запишем условия периодичности для (27):
Делим на (:
( 30a )
Необходимым условием существования периодического решения является:
Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому
устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в
раскрытой форме :
(31)
Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство
0 детерминанта: (см. § 1).
D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных
(15). Заметим, что (30) мы можем определить (1, (2, в виде рядов по
степеням (. Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде
ряда.
(33)
P,Q-определяются формулами (31) (32).
§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса
Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого
приближения, порожденное решением (33).
. Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново.
Воспользуемся результатами § 2, приняв:
( – тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:
(36)
;
Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить ( в виде функции P, Q и aо.
Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:
; (37)
Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть
при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых ()
В первом случае устойчивость характеризуется условием q 0.
Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях
является b 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).
§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к
теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда
характеристика – кубическая парабола.
Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в
цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin (1 t.
Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:
(39)
Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также,
что характеристикой является кубическая парабола:
(40)
.
Получим дифференциальное уравнение для х:
(41)
А: (случай далекий от резонанса).
.
Исходное решение в не посредственной близости, к которому
устанавливается искомое решение следующее:
Если ( > 1, т.е. (о > (1, то разность фаз равна 0, если ( 0. Считаем
b и ( через формулы (35-37).
(46)
Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В
заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине
захватывания для рассматриваемого случая.
a0 – является общим корнем уравнений
Сама ширина ((, отсчитанная от одной границы захватывания до другой
выражается следующим образом: (( = aо (2о (MS – c r). Можно дать простые
формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:
а) (2о
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
