0) M и N- взаимно простые целые числа. Иррациональные – ?2 все
вышепереч-е + бесконечные непериодич. дроби. Все эти числа –
действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; i?=-1
2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)
Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)
Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+
i(b1a2-a1b2)\a2?+b2?=(a1a2+b1b2/a2?+b2?)+i* (b1a2-
a1b2/a2?+b2?)
3 Тигонометрическая форма комплексного числа
Z=a+ib=r*cos?+i*r*sin?=r*(cos?+i*sin?)
r – модуль; ? – аргумент. b – y; a – x.
4 Z?=r?(cos A?+i*sin A?)
5 ??Z=??r(cos ?+2?k/а +i *sin ?+2?k/a) k?(1;2;3…a-1)
Все корни А-ой степени лежат на окружности r=| Z |?\а и являются
вершинами правильного А-угольника, вписанного в эту окружность.
6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера
n ) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью
1,1,1,1,1…1
1,1/2,1/3…1/N
1,-1,1,-1…(-1)?
Xn,n?N
Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно
малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только
n>N(E) то имеет место неравенство | Xn – A | 0 найдётся
такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены
последовательности будут заключены в ?-окрестности какой бы она узкой ни
была. Вне этой окрестности может быть лишь конечное число членов этой
последовательности.
7 Если последовательность Хn монотонна и ограничена, то она имеет
предел (сходится).
Cвойства пределов:
если Хn=С то lim Xn=C
n??
пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B
n?? n?? lim (Xn*Yn)=A*B
lim
(Xn/Yn)=A/B ; B?0
если Xn?Yn для n?N то lim Xn ? lim Yn
n?? n??
8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена
Последовательность Xn; n?N наз. ограниченной если существует
положительное число М, что выполняется нер-во | Xn |?M; n?N
Если lim Xn=0, то Xn; n?N наз. БМВ обознач (?n,?n,?n)
n??
Св-ва БМВ:
lim ?n=0
n??
lim (?n±?n)=0
n??
lim (Xn*?n)=0; если Xn-ограничена
n??
В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической
сумме замену можно производить в том случае если не происходит
сокращения БМ одного порядка с Х:
sin X ~ X e?-1 ~ a
tg X ~ X (1+x)? ~ ax
1 – cos X ~ X?/2 arctg X ~ X
LOGe(1+X) ~ X x?-1 ~ aLNx
9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.
Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда
Если при n?? lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .
Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его
частичных сумм.
Прим:
при каких q сходится и расходится ?
сходится к сумме S=a/1-q при | q |1, если l=1 то вопрос о
сходимости нерешён.
Признак Коши
?An – знакополож. ряд lim ??An=q
n??
q1 – расходится.
12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An
An>0
Признак Лейбница:
Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и
предел Аn при n?? =0 то ряд сходится
пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n
13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными
величинами х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х?Х
соответствует значение y?Y. х-аргумент
y=kx+b – линейная ф-ия
y=ax?+bx+c – квадратичная ф-ия
Обратная ф-ия – ф-ия x=?(y) наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии y=f(x)
если x=?(f(x)) для всех х?Х
Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой у=х.
y=X? и y=LOGxA – примеры
14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или
в точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа
?>0, найдётся такое положительное число ?(?)>0 что для всех х не равных
х0 и удовлетворяющих условию | x-x0 | выполняется нерав-во | f(x)-B |
0)
Докажем, что y=B? непрерывна на (-?;+?)
lim B?=1
a?0
| B?-1 | 1) B=1 2) B>1
-? 0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой
вверх на (a;b) если f“(x)R; R – радиус
сходимости ряда
Даламбер: lim | Bn+1 |/| Bn |1 (n??) расходится
32 Разложение ф-ий в ряд:
Если бесконечно дифференцируемая ф-ия f(x0)=a0
f`=A1+2A2(x-x0)+n*An(x-x0)???
f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+…+f?(x0)(x-x0)?/a!
Рядом Тейлора ф-ии f(x) в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн.
разности (х-х0)
Особенно часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням х, при
этом х0=0; f(x)=f(0)+f`(0)+f ?(0)/a!*x?
Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора
e?=1+x+x?/2!+x?/3!+…+x?/a!+…
sin x=1+ x-x?/3+…+(-1)?*(x????)/(2a+1)!+…
cos x=1-x?/2!+x?/4!+…+(-1)?*x??/(2n)!+…
ln(1+x)=x-x?/2+x?/3-…+(-1)?x???/n+1…
33 Ф-ия F(x) наз. первообразной для ф-ии f(x) если для всех х (из
области определения) имеет место F`(x)?f(x) нетрудно увидеть что если
F(x) является первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл.
первообразной.
Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от
ф-ии f(x) обозначается F(x)+C=?f(x)dx
dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx
Св-ва неопр.?
?dF(x)=F(x)+C
(?f(x)dx)`=f(x)
??f(x)dx=??f(x)dx
?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx
Таблица интегралов
34 Метод замены переменных:
?f(x)dx=?f(?(t))·?`(t)dt ? x=?(t)
?sin 5x dx=?sin t 1/5dt=1/5?sin t dt=-1/5 cost+C =-1/5cos 5x+C
5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt
35 Интегрир-ие по частям:
? U·dV=UV-?VdU
Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие может
существенно упростить один из сомножителей (при условии что дифф-ие не
слишком усложнит другой)
? x?·sinx dx
x?=U dU=2x dx
sin x dx =dV V=-cos x
? = x?·sin x dx=-x?·cos x -?(-cos x)2x dx=-x?·cos x+2?x·cos x dx
x=U dU=dx
cos x dx=dV V=sin x
? = x?·sin x dx=-x?cos x +2(x·sin x-?sin x dx)= -x?·cos x+2x·sin x +2cos
x+C
36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная отношению двух
многочленов f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)-
многочлен степени n.
Рациональная дробь наз. правильной если степень числителя меньше степени
знаменателя, т.е. m
Если на (А,В) f(x)g(x) то S=?[f(x)-g(x)]dx
(действительно для всех вариантов расп. ф-ий)
2 Вычисление объёмов тел вращения
V=??f?(x)dx
39 Приближ. вычисление интегралов
1 Формула Н-Лейб.
2 Метод прямоугольника
(B-A)/n=h: ?(A?B)f(x)dx~=h(f1+f2…+fn)
3 Формула трапеции ?f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+…fn)
4 Формула Симпсона
n-чётное
?f(x(dx=(B-A)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+…+4fn-1+fn)
40 Несобственные ? бывают 2-х видов:
?-ы вида ?(a;+?)f(x)dx; ?(-?;b)f(x)dx; ?(-?;+?)f(x)dx
называются несобственными ?-и 1-го рода
Если сущ. предел (b??) ?(a;b)f(x)dx=C (C??) то интеграл сходится и
наоборот.
Пусть есть числовой ряд ?Ax=A0+A1+…An+… и пусть есть ф-ия f(x)=Ax на
интервале [ a:b) Тогда ряд и несобственный ?(a;?)f(x)dx сходятся или
расходятся одновременно
Если lim (x?b)f(x)=? или lim(x?a)f(x)=? то ?f(x)dx наз. несобственным
интегралом 2-го рода, он сходится если сущ. конечный предел
lim ?(a; b-?)f(x)dx
??0
41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений
(x1,x2,x3…xn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне
определённое значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана
ф-ия нескольких переменных Z=f(x1…xn)
Если сущ-ет lim(?x?0)f(x+?x,y)-f(x,y)/?x=fx`(x,y) то он называется
частной производной по переменной х.
Если сущ-ет lim(?y?0)f(x,y+?y)-f(x,y)/?y=fy`(x,y) то он называется
частной производной по переменной y
Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии
f(x;y)
Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn
Дифференциалом ф-ии называется сумма произведений частных производных на
приращение соответствующих независимых переменных.
42 Если Z=f(x;y) имеет в точке (х0;у0) экстремум (локальный) и ф-ия
дифференцируема (т.е. имеет частные произв-ые) то частные произв-ые в
этой т. равны 0.
43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных
получили название эмпирических формул
Этапы вывода ЭФ:
1 Установить вид зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и
т.д.)
2 Определение известных параметров этой ф-ии
Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших
квадратов
44 ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких
переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной
ф-ии.
Решением ДУ называется такая ф-ия, котю при подстановке её в это ур-ие
обращает его в тождество.
ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию
y=f(x) и её производную y`=f`(x)
ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б
представленно в виде
dy/dx=f(x)g(y)
Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором
дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а
переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного
рав-ва:
dy/g(y)=f(x)·dx ? ? dy/g(y)=? f(x)·dx
f(x) f`(x) f(x) f`(x)
c 0 x? ax???
x 1 x? 2x
?x 2?x arccos x -1/?1-x? |x|
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter