.

Матанализ

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
86 711
Скачать документ

0) M и N- взаимно простые целые числа. Иррациональные – ?2 все
вышепереч-е + бесконечные непериодич. дроби. Все эти числа –
действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; i?=-1

2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)

Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)

Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+

i(b1a2-a1b2)\a2?+b2?=(a1a2+b1b2/a2?+b2?)+i* (b1a2-

a1b2/a2?+b2?)

3 Тигонометрическая форма комплексного числа

Z=a+ib=r*cos?+i*r*sin?=r*(cos?+i*sin?)

r – модуль; ? – аргумент. b – y; a – x.

4 Z?=r?(cos A?+i*sin A?)

5 ??Z=??r(cos ?+2?k/а +i *sin ?+2?k/a) k?(1;2;3…a-1)

Все корни А-ой степени лежат на окружности r=| Z |?\а и являются
вершинами правильного А-угольника, вписанного в эту окружность.

6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера
n ) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью

1,1,1,1,1…1

1,1/2,1/3…1/N

1,-1,1,-1…(-1)?

Xn,n?N

Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно
малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только
n>N(E) то имеет место неравенство | Xn – A | 0 найдётся
такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены
последовательности будут заключены в ?-окрестности какой бы она узкой ни
была. Вне этой окрестности может быть лишь конечное число членов этой
последовательности.

7 Если последовательность Хn монотонна и ограничена, то она имеет
предел (сходится).

Cвойства пределов:

если Хn=С то lim Xn=C

n??

пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B

n?? n?? lim (Xn*Yn)=A*B

lim
(Xn/Yn)=A/B ; B?0

если Xn?Yn для n?N то lim Xn ? lim Yn

n?? n??

8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена

Последовательность Xn; n?N наз. ограниченной если существует
положительное число М, что выполняется нер-во | Xn |?M; n?N

Если lim Xn=0, то Xn; n?N наз. БМВ обознач (?n,?n,?n)

n??

Св-ва БМВ:

lim ?n=0

n??

lim (?n±?n)=0

n??

lim (Xn*?n)=0; если Xn-ограничена

n??

В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической
сумме замену можно производить в том случае если не происходит
сокращения БМ одного порядка с Х:

sin X ~ X e?-1 ~ a

tg X ~ X (1+x)? ~ ax

1 – cos X ~ X?/2 arctg X ~ X

LOGe(1+X) ~ X x?-1 ~ aLNx

9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.

Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда

Если при n?? lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .

Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его
частичных сумм.

Прим:

при каких q сходится и расходится ?

сходится к сумме S=a/1-q при | q |1, если l=1 то вопрос о
сходимости нерешён.

Признак Коши

?An – знакополож. ряд lim ??An=q

n??

q1 – расходится.

12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An

An>0

Признак Лейбница:

Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и

предел Аn при n?? =0 то ряд сходится

пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n

13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными
величинами х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х?Х
соответствует значение y?Y. х-аргумент

y=kx+b – линейная ф-ия

y=ax?+bx+c – квадратичная ф-ия

Обратная ф-ия – ф-ия x=?(y) наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии y=f(x)
если x=?(f(x)) для всех х?Х

Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой у=х.

y=X? и y=LOGxA – примеры

14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или
в точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа
?>0, найдётся такое положительное число ?(?)>0 что для всех х не равных
х0 и удовлетворяющих условию | x-x0 | выполняется нерав-во | f(x)-B | 0)

Докажем, что y=B? непрерывна на (-?;+?)

lim B?=1

a?0

| B?-1 | 1) B=1 2) B>1

-? 0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой

вверх на (a;b) если f“(x)R; R – радиус
сходимости ряда

Даламбер: lim | Bn+1 |/| Bn |1 (n??) расходится

32 Разложение ф-ий в ряд:

Если бесконечно дифференцируемая ф-ия f(x0)=a0

f`=A1+2A2(x-x0)+n*An(x-x0)???

f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+…+f?(x0)(x-x0)?/a!

Рядом Тейлора ф-ии f(x) в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн.
разности (х-х0)

Особенно часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням х, при
этом х0=0; f(x)=f(0)+f`(0)+f ?(0)/a!*x?

Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора

e?=1+x+x?/2!+x?/3!+…+x?/a!+…

sin x=1+ x-x?/3+…+(-1)?*(x????)/(2a+1)!+…

cos x=1-x?/2!+x?/4!+…+(-1)?*x??/(2n)!+…

ln(1+x)=x-x?/2+x?/3-…+(-1)?x???/n+1…

33 Ф-ия F(x) наз. первообразной для ф-ии f(x) если для всех х (из
области определения) имеет место F`(x)?f(x) нетрудно увидеть что если
F(x) является первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл.
первообразной.

Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от
ф-ии f(x) обозначается F(x)+C=?f(x)dx

dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx

Св-ва неопр.?

?dF(x)=F(x)+C

(?f(x)dx)`=f(x)

??f(x)dx=??f(x)dx

?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx

Таблица интегралов

34 Метод замены переменных:

?f(x)dx=?f(?(t))·?`(t)dt ? x=?(t)

?sin 5x dx=?sin t 1/5dt=1/5?sin t dt=-1/5 cost+C =-1/5cos 5x+C

5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt

35 Интегрир-ие по частям:

? U·dV=UV-?VdU

Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие может
существенно упростить один из сомножителей (при условии что дифф-ие не
слишком усложнит другой)

? x?·sinx dx

x?=U dU=2x dx

sin x dx =dV V=-cos x

? = x?·sin x dx=-x?·cos x -?(-cos x)2x dx=-x?·cos x+2?x·cos x dx

x=U dU=dx

cos x dx=dV V=sin x

? = x?·sin x dx=-x?cos x +2(x·sin x-?sin x dx)= -x?·cos x+2x·sin x +2cos
x+C

36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная отношению двух
многочленов f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)-
многочлен степени n.

Рациональная дробь наз. правильной если степень числителя меньше степени
знаменателя, т.е. m0 то S=?f(x)dx

Если на (А,В) f(x)g(x) то S=?[f(x)-g(x)]dx

(действительно для всех вариантов расп. ф-ий)

2 Вычисление объёмов тел вращения

V=??f?(x)dx

39 Приближ. вычисление интегралов

1 Формула Н-Лейб.

2 Метод прямоугольника

(B-A)/n=h: ?(A?B)f(x)dx~=h(f1+f2…+fn)

3 Формула трапеции ?f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+…fn)

4 Формула Симпсона

n-чётное

?f(x(dx=(B-A)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+…+4fn-1+fn)

40 Несобственные ? бывают 2-х видов:

?-ы вида ?(a;+?)f(x)dx; ?(-?;b)f(x)dx; ?(-?;+?)f(x)dx

называются несобственными ?-и 1-го рода

Если сущ. предел (b??) ?(a;b)f(x)dx=C (C??) то интеграл сходится и
наоборот.

Пусть есть числовой ряд ?Ax=A0+A1+…An+… и пусть есть ф-ия f(x)=Ax на
интервале [ a:b) Тогда ряд и несобственный ?(a;?)f(x)dx сходятся или
расходятся одновременно

Если lim (x?b)f(x)=? или lim(x?a)f(x)=? то ?f(x)dx наз. несобственным
интегралом 2-го рода, он сходится если сущ. конечный предел

lim ?(a; b-?)f(x)dx

??0

41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений
(x1,x2,x3…xn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне
определённое значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана
ф-ия нескольких переменных Z=f(x1…xn)

Если сущ-ет lim(?x?0)f(x+?x,y)-f(x,y)/?x=fx`(x,y) то он называется
частной производной по переменной х.

Если сущ-ет lim(?y?0)f(x,y+?y)-f(x,y)/?y=fy`(x,y) то он называется
частной производной по переменной y

Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии
f(x;y)

Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn

Дифференциалом ф-ии называется сумма произведений частных производных на
приращение соответствующих независимых переменных.

42 Если Z=f(x;y) имеет в точке (х0;у0) экстремум (локальный) и ф-ия
дифференцируема (т.е. имеет частные произв-ые) то частные произв-ые в
этой т. равны 0.

43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных
получили название эмпирических формул

Этапы вывода ЭФ:

1 Установить вид зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и
т.д.)

2 Определение известных параметров этой ф-ии

Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших

квадратов

44 ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких
переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной
ф-ии.

Решением ДУ называется такая ф-ия, котю при подстановке её в это ур-ие
обращает его в тождество.

ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию
y=f(x) и её производную y`=f`(x)

ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б
представленно в виде

dy/dx=f(x)g(y)

Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором
дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а
переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного
рав-ва:

dy/g(y)=f(x)·dx ? ? dy/g(y)=? f(x)·dx

f(x) f`(x) f(x) f`(x)

c 0 x? ax???

x 1 x? 2x

?x 2?x arccos x -1/?1-x? |x|

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020