Ляпунов Александр Михайлович
Ляпунов Александр Михайлович [25.5(6.6).1857, Ярославль, – 3.11.1918,
Одесса], русский математик и механик, академик Петербургской АН (1901;
член-корреспондент 1900). Ученик П. Л. Чебышева. В 1880 окончил
Петербургский университет. С 1885 доцент, с 1892 профессор Харьковского
университета; с 1902 работал в Петербургской АН. Л. создал современную
строгую теорию устойчивости равновесия и движения механических систем,
определяемых конечным числом параметров. С математической стороны этот
вопрос сводится к исследованию предельного поведения решений систем
обыкновенных дифференциальных уравнений при стремлении независимого
переменного к бесконечности. Устойчивость определялась Л. по отношению к
возмущениям начальных данных движения. До работ Л. вопросы об
устойчивости обычно решались по первому приближению, то есть путём
отбрасывания всех нелинейных членов уравнений, причём не выяснялась
законность такой линеаризации уравнений движения. Выдающаяся заслуга Л.
— построение общего метода для решения задач об устойчивости; основной
труд — докторская диссертация Л. «Общая задача об устойчивости движения»
(1892). В этой работе даётся строгое определение основных понятий теории
устойчивости, указываются случаи, когда рассмотрение линейных уравнений
первого приближения даёт решение вопроса об устойчивости, и проводится
подробное исследование некоторых важных случаев, когда первое
приближение не даёт ответа на этот вопрос. Диссертация и последующие
работы Л. в рассматриваемой области содержат целый ряд фундаментальных
результатов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений как
линейных, так и нелинейных.
Большой цикл исследований Л. посвящен теории фигур равновесия
равномерно вращающейся жидкости, частицы которой взаимно притягиваются
по закону всемирного тяготения. До Л. были установлены для однородной
жидкости эллипсоидальные фигуры равновесия. Л. впервые доказал
существование фигур равновесия однородной и слабо неоднородной жидкости,
близких к эллипсоидальным. Он установил, что от некоторых
эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются близкие к ним
неэллипсоидальные фигуры равновесия однородной жидкости, а от других
эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются фигуры равновесия слабо
неоднородной жидкости. Л. разрешил также задачу, предложенную ему ещё в
начале его научной деятельности П. Л. Чебышевым, о возможности
ответвления от эллипсоидальной фигуры равновесия с наибольшей (возможной
для эллипсоидов) угловой скоростью неэллипсоидальных фигур равновесия.
Ответ получился отрицательным. Л. впервые строго доказал существование
близких к сфере фигур равновесия медленно вращающейся неоднородной
жидкости при весьма общих предположениях об изменении плотности с
глубиной. Л. занимался также исследованием устойчивости, как
эллипсоидальных фигур, так и открытых им новых фигур для случая
однородной жидкости. Сама постановка вопроса об устойчивости для
сплошной среды (жидкость) до работ Л. была неясной. Он впервые строго
поставил вопрос и с помощью тонкого математического анализа провёл
исследование устойчивости фигур равновесия. В частности, он доказал
неустойчивость так называемых грушевидных фигур равновесия и тем самым
опроверг противоположное утверждение английского астронома Дж. Дарвина.
Цикл работ Л. по фигурам равновесия вращающейся жидкости и устойчивости
этих фигур занимает центральное место во всей теории фигур равновесия.
Небольшим по объёму, но весьма важным для дальнейшего развития науки
был цикл работ Л. по некоторым вопросам математической физики. Среди
работ цикла основное значение имеет его труд «О некоторых вопросах,
связанных с задачей Дирихле» (1898). Эта работа основана на исследовании
свойств потенциала от зарядов и диполей, непрерывно распределённых по
некоторой поверхности. Наиболее существенно исследование так называемого
потенциала двойного слоя (случай диполей). Далее Л. получил важные
результаты, касающиеся поведения производных решения задачи Дирихле (см.
Гармонические функции) при приближении к поверхности, на которой задано
граничное условие. На этой основе им впервые были доказаны симметрия
функции Грина для задачи Дирихле и формула, дающая решение задачи в виде
интеграла по поверхности от произведения функции, входящей в граничное
условие, на нормальную производную функции Грина. При всех этих условиях
Л. налагает на граничную поверхность некоторые ограничения; поверхности,
удовлетворяющие им, называются теперь поверхностями Л.
В теории вероятностей Л. предложил новый метод исследования (метод
«характеристических функций»), замечательный по своей общности и
плодотворности; обобщая исследования П. Л. Чебышева и А. А. Маркова
(старшего), Л. доказал так называемую центральную предельную теорему
теории вероятностей при значительно более общих условиях, чем его
предшественники (см. Ляпунова теорема).
Ляпунова методы
¦ ¶ oe
–
‘iUeE°???zhzXzXzXzXzXzXzXFXzX” h
h
” h
aJ ” h
aJ ” h
” h
h
& h
” h
h
” h
. По существу каждый из Л. м. охватывает целую совокупность способов
исследования, объединённых общей идеей. Первый Л. м. основывается на
отыскании и исследовании решений уравнений так называемого возмущённого
движения, то есть движения, которое по каким-то причинам (например,
вследствие случайного толчка) отличается от рассматриваемого
невозмущенного движения. Второй (или прямой) Л. м. наиболее
распространён и состоит в исследовании устойчивости движения с помощью
некоторых, специальным образом вводимых функций, называемых функциями
Ляпунова, (см. также Устойчивость движения).
Устойчивость движения
Устойчивость движения, одно из важнейших понятий механики. Движение
любой механической системы, например машины, гироскопического
устройства, самолёта, снаряда и т.п., зависит от действующих сил и т. н.
начальных условий, т. е. от положений и скоростей точек системы в момент
начала движения. Зная эти силы и начальные условия, можно теоретически
рассчитать, как будет двигаться система. Движение, соответствующее этому
расчёту, называется невозмущённым. Но поскольку все измерения
производятся с той или иной степенью точности, то на практике истинные
значения начальных условий будут обычно несколько отличаться от
расчётных. Кроме того, механическая система может во время движения
подвергнуться незначительным случайным воздействиям, не учтенным при
расчёте, что тоже эквивалентно изменению начальных условий. Возникающие
по разным причинам отклонения начальных условий от их расчётных
значений, называются начальными возмущениями, а движение, которое
система будет совершать при наличии этих возмущений, – возмущённым
движением.
точек, их скорости и т.п.) может быть двояким. Если при достаточно
малых начальных возмущениях каких-нибудь из характеристик во всё
последующее время мало отличается от того значения, которое она должна
иметь в невозмущённом движении, то движение системы по отношению к этой
характеристике называется устойчивым. Если же при сколь угодно малых, но
не равных нулю начальных возмущениях данная характеристика со временем
будет всё более и более отличаться от значения, которое она должна иметь
в невозмущённом движении, то движение системы по отношению к этой
характеристике называется неустойчивым. Эти определения соответствуют
определению У. д. по А. М. Ляпунову. Условия, при которых движение
механической системы является устойчивым, называются критериями
устойчивости.
В качестве примера рассмотрим гироскоп (волчок), ось которого
вертикальна и который вращается вокруг этой оси с угловой скоростью
(рис.). Теоретически ось гироскопа должна оставаться вертикальной при
любом значении (, но фактически, когда ( меньше некоторой величины (кр,
ось при любом малом возмущении (толчке) будет всё более отклоняться от
вертикали. Если же ( больше (кр, то малые возмущения практически
направление оси не изменят.
, где Р вес гироскопа, а расстояние от точки опоры О до центра тяжести
С, Ix и Iy – моменты инерции гироскопа относительно осей х и у
соответственно.
Теория У. д. имеет важное практическое значение для многих областей
техники, т.к. У. д. должны обладать различного рода двигатели,
автомобили, самолёты, ракеты, гироскопические приборы, системы
автоматического регулирования и др. В небесной механике проблема У. д.
возникает при изучении вопроса о длительности сохранения структуры
солнечной системы, двойных звёзд и др.
Ляпунова теорема
– дисперсия суммы Xi,…, Xn. Утверждается, что, если при некотором
(>0,
(условие Ляпунова), то вероятность неравенства
стремится при n к пределу
равномерно относительно всех значений x1 и x2. Ляпунов дал также оценку
скорости сходимости. В Ляпуновой теореме в дальнейшем были установлены
условия, расширяющие условие Ляпунова и являющиеся не только
достаточными, но в некотором смысле необходимыми.
Устойчивость движения. Рис.
Рис. Волчок
Рис. Гироскоп
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
