Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Донской Государственный Технический Университет
кафедра “Высшей математики”
_______________________________________________________
Линейные системы
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
доклад по математике
Выполнил
Груздев Владимир Викторович
студент группы У-1-47
Руководитель
Братищев Александр Васильевич
г.Ростов-на-Дону
2000 г.
Доклад посвящен теме, которой,по мнению автора,
в курсе дифференциального исчисления уделено
недостаточное внимание,
“СЛДУ с периодическими коэффициентами”.
Приведены основные определения, теоремы,
на основе которых можно искать решения
(периодические) подобных систем.
Рассмотрены несколько примеров на тему.
Содержание.
Однородная линейная система дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами…………………….…….…………..4
Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с
периодическими коэффициентами..…………………………………………6
Примечания……………………………………………………………………..7
Примеры………………………………………………………………….…….8
Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими
коэффициентами.
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
? = F(t)z (- ( I Примеры: Теперь рассмотрим несколько примеров на применение рассмотренных в докладе теорем и следствий к ним: Пример 1: Показать, что линейное уравнение второго порядка где f(t) — непрерывная периодическая функция с периодом ?, имеет единственное периодическое решение с периодом ?, если Решение. Сведем дифференциальное уравнение к системе и применем теорему 2: Имеем 2. Для применения теоремы 2 нам необходимо составить матрицу монодромии однородной системы и все собственные значения этой матрицы должны быть отличны от единицы; для начала найдем фундаментальную матрицу для однородной системы, соответствующей неоднородной системе (*): 3. Находим мультипликаторы однородной системы: Итак, если все мультипликаторы системы уравнений (**) отличны от единицы.Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Из этого следует, что система (*),а значит и исходное дифференциальное уравнение, имеет единственное периодическое решение с периодом ?. Задача решена. Пример 2: Показать, что линейное уравнение второго порядка при a?2?k/? (k(R) имеет единственное периодическое решение с периодом ? (см. пример 1); при a=(2?/? не имеет периодических решений с периодом ?, а при a=2?k/? (k — любое целое число, не равное (1 и 0) все его решения — периодические с периодом ?. Решение. Очевидно, что здесь необходимо воспользоваться теоремой 2 и замечанием к ней. Решение данного примера необходимо разбить на 3 части (для каждого из условий). Поскольку при нахождении матрицы монодромии в предыдущем примере мы свободный член исходного дифференциального уравнения не использовали и учитывая одинаковые правые части дифференциальных уравнений обоих примеров, можно будет сразу воспользоваться некоторыми выкладками примера 1. Итак, матрица монодромии имеет следующий вид: 1.[a?2?k/? (k(R)] Как мы установили в примере 1, любое линейное уравнение вида при указанных ограничениях действительно имеет единственное периодическое решение с периодом ?. 2-3.[a=(2?/?; a=2?k/? (k — любое целое число, не равное (1 и 0)] При данных значениях а однородная система (**) из 1-го примера имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ?, тогда в соответствии с замечанием к теореме 2 линейная неоднородная система уравнений, соответствующая заданному дифференциальному уравнению , может или вообще не иметь периодических решений с периодом ? (для случая 2 необходимо установить несовместность системы уравнений (13)), или иметь несколько периодических решений с периодом ? (для случая 3 необходимо установить, что система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений). Сначала мы будем случаи 2 и 3 рассматривать совместно: Система уравнений (13): Неоднородная система, соответствующая заданному дифференциальному уравнению: Далее решать систему будем отдельно для каждого заданного значения а: если в системе (***) справа будет получена нулевая матрица, то она имеет множество решений, если нет – не имеет их вообще. 2. Подставляем в систему (***)a=(2?/?: 3. Подставляем в систему (***)a=2?k/? (k — любое целое число, не равное (1 и 0): Таким образом,система (13') имеет бесконечное множество решений для данных значений а ( исходное дифференциальное уравнение имеет несколько линейно независимых периодических решений с периодом ?. Замечание. Отдельно стоит рассмотреть случай, когда а=0 (этому случаю соответствует k=0, если a=2?k/?). Если а=0, то матрицы, обратной фундаментальной матрице системы (**), не существует, отсюда сразу следует несовместность системы (13'), а значит исходное линейное уравнение второго порядка не имеет периодических решений. Задача решена. PAGE PAGE 6
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
