.

Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 844
Скачать документ

№1

1 Двойной интеграл

f((i, Di)(Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз.
интегрируемой в области D если существует конечный предел интегральной
суммы.

Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной
суммы при ( ( 0. Обозн:

2 Понятие числового

ряда и его суммы

Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…

Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его
составляющие- членами ряда.

Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной
суммой ряда: Sn = u1+..+un

, то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится, если такого
предела не существует, то говорят что ряд расходится и суммы не имеет.

№ 2

1 Условие существования

двойного интеграла

Необходимое, но недостаточное:

Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.

1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на
замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.

2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в
замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за
исключением отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она
может иметь разрыв, то она интегрируема на D.

2 Геометрический и

арифметический ряды

или

а+ а(q +…+a(qn-1

следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда
зависит от величины q

Возможны случаи:

и предел суммы так же равен бесконечности

т. е. ряд расходится.

ряд расходится

4 при q(1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n
нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.

при любых u1 и d одновременно ( 0 и ряд всегда расходится.

№3

1 Основные св-ва 2ного интеграла

1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.

2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д,
то она интегрируема и в G.

4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно
представить в виде суммы интегралов:

5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также
интегрируемо в Д. Если g(x,y) ( 0 то и f/g интегрируема в Д.

6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y)
<= g(x,y), то:В частности: g(x,y) >=0 то и

7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д,
то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем

обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует
интегрируемость f.

8. Теорема о среднем значении.

Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка
((, () ( Д, что:

(2), где S – площадь фигуры Д. Значение f((, () опред по ф-ле (2) наз.
средним значением ф-ции f по области Д.

2 С-ва сходящихся рядов

(2)

(3)

Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:

(для разности там только – появица)

Т1 Об общем множителе

тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на расходимости ряда.

тоже сходится и если ( его сумма, то ( = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды
можно почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2)
расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба
ряда расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если
un=vn) так и сходиться (если un=(vn)

Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо
остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма =
частичная сумма ряда Sn + rn

Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не
влияет на сходимость (расходимость) ряда.

№4

1 Сведение

2ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу., наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.2 Необходимыйпризнак сходимости рядовSn=u1+u2+…+unSn-1\u1+u2+…+un-1un=Sn-Sn-1, поэтому:Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е. если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении является зато достаточным условием расходимости ряда.№51 Замена переменных в двойном интеграле.Общий случай криволинейных координатесли это выполняется можно пользоваться ф-лой:2 Интегральный признаксходимости ряда. Ряд Дирихле(1), члены которого неотрицательны, и не возрастают: u1>=u2>=u3…>=un

, а для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл
наоборот расходился (ВАУ!).

Возможны три случая:

Интеграл а потому и ряд сходится.

2 0<(<1,Интеграл и ряд расходится3 (=1,Интеграл и ряд расходится№ 61 Двойной интегралв полярных координатахПереход к полярным координатам частный случай замены переменных.Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, () где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. ( = угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+(, 0<=( <=2( .Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r(cos( , y = r(sin( .Якобиан преобразования будет равен:И формула при переходе примет вид:2 Признаки сравненияТ(Признаки сравнения)ряды с неотрицательными членами и для любого n выполняется нер-во:un<=vn (1)тогда1 Если ряд vn сходится, то сходится и ряд un2 если ряд un расходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми русскими словами для простых русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими, а из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимости ряда с большими и не наоборот!!!Причем можно требовать, чтобы неравенство (1) выполнялось не для всех номеров n, а начиная с некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших n0 неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно.Т3 ЗасекреченнаяЕсли сущ вышеописанные неотр. ряды, то если сущ предел:(01 ряд расходится

Т(Признак Коши)

, тогда

1 Если k<1, то ряд сходится2 Если k>1 ряд расходится

А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о
сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все
тут. Вот.

№8

1 Вычисление объема

с помощью 2ного интеграла

если f(x,y)<=0 в Д тор тело находится под плоскостью оху. Его объем равен объему цилиндрического тела. огр сверху ф-цией:z = |f(x,y)|>=0.

если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1,
f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)<=0, тогда:2 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.Т (Признак Лейбница)Если для знакочередующегося ряды выполняются условия:1) u1>=u2>=u3…>=un>=un+1…

то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам:
0<=S<=un и |rn|<=un+1Ряд удовлетворяющий условиям теоремы наз. рядом Лейбница.Если условие чередования знаков выполняется не с первого члена, а с какого-нибудь исчо, то при существовании равного 0 предела ряд будет также сходится.№91 Вычислениеплощади поверхностис помощью двойного интеграла.Пусть дана кривая поверхность Р, заданная ур-ями z = f(x,y) и имеющая границу Г, проецирующуюся на плоскость оху в область Д. Если в этой области ф-ция f((x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные: тогда площадь поверхности Р вычисляется:для ф-ций вида x = ( (y,z) или y = ((x,z) там будут тока букыв в частных производных менятца ну и dxdy.2 Знакопеременные ряды.Абсолютная и условнаясходимость рядов.Ряд называют знакопеременным, если его членами являются действительные числа, а знаки его членов могут меняться как кому в голову взбредет. Пусть дан ряд:(1), где un – может быть как положительным, так и отрицательным. Рассмотрим ряд состоящий из абсолютных значений этого ряда:(2),Если сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходящимся, а вот если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится. то ряд (1) наз сходящимся условно.Т. Признак абсолютной сходимости:Если знакочередующийся ряд сходится условно. то он и просто так сходится, при этом:Доквы:т. к. 0<=|un|+un<=2|un|, то по признаку сравнения сходится ряд |un|+un, тогда сходится ряд: (|un|+un)-|un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной величины |Sn|=|u1+u2+…+un|<=|un| ( n ( N, то переходя к пределу получим:Т2 Если ряд (1) абсолютно сходится, то и любой ряд составленный из тех же членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сходится и его сумма равна сумме ряда un – Sn. А вот с условно сходящимися рядами все гораздо запущенней.Т(Римана)Если знакопеременный ряд с действительными членами сходится условно, то каким бы ни было дейст. число S можно так переставить члены ряда, что его сумма станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от порядка слагаемых№101 Вычисление массы,координат центра масс,моментов инерции плоскойматериальной пластины спомощью 2ного интеграла.Масса плоской пластины вычисляется по ф-ле:, где ((х, у) – поверхностная плотность.Координаты центра масс выч по ф-ле:если пластина однородная, т. е. ((х, у) – const, то ф-лы упрощаются:Статические моменты плоскостей фигуры Д относит осей оу и охМомент инерции плоской пластины относительно осей ох, оу, начала координат:J0=Jx+Jyесли пластина однородная, то ро вышвыривается на фиг и считается равной 1.2 Сходимость функциональных последовательностей и рядовФункциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз. последовательность ф-ций {fn(x)} (1)определенных на Е и принимающих числовые действительные значения., которые могут сходится или расходится. если кто-нибудь из оных сходится, то сходится и функциональная посл (1) в т х0, и сия точка наз. точкой сходимости.назывется пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е, то ф-ция S(x) определенная при ( x ( Е равенствомназывается суммой ряда (2).Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если обозначить сумму остатка ряда через rn(ч), то S(x) = Sn(x)+rn(x)Если ряд (2) сходится абсолютно, то он наз абсолютно сходящимся на м-ж Е. Множество всех точек сходимости функционального ряда наз областью сходимости. Для определения области сходимости можно использовать признак Даламбера и Коши. С ихнею помашшю ф-ц ряд исследуется на абсолютную сходимость Например, если существуети, то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)<1 и расходится при k(x)>1.

№11

1 Тройные интегралы

f((i,(i,(i)((Vi, кот наз интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z).
Обозначим за ( максимальный диаметр частичной области. Если интегральная
сумма при ( ( 0 имеет конечный предел, то сей предел и называется
тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области V И обозначается:

2 Равномерная

сходимость функциональных

последовательностей и рядов.

Признак Вейерштрасса.

Ф-циональную последовательность {fn)x)} x ( E наз. равномерно сходящейся
ф-цией f на м-ж Е, если для ( ( >0, сущ номер N, такой, что для ( т х (
E и ( n >N выполняется (-во: |fn(x)-f(x)|<(. Если м-ж {fn)x)} равномерно сходится на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-ции f на сем м-ж. тогда пишут: fn ( f.наз. равномерно сходящимся рядом, если на м-ж Е равномерно сходится последовательность его частичной суммы. , т. ен. равномерная сходимость ряда означает:Sn(x) ( f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сходящимся, но всякий равномерно сходящийся – есть сходящийся (не, вот это наверное лет 500 выдумывали.)Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда)(7),(9) наз абсолютно и равномерно сходящимся на м-ж Е.Док-вы:Абсолютная сходимость в каждой т. х следует из неравенства (8) и сходимости ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.Это означает, что Sn(x) ( S(x) что означает равномерную сходимость ряда..№121 Замена переменныхв тройном интеграле.Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобианто справедлива формула:При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcos(, y=rsin(, z=z (0<=r<=+(, 0<=( <= 2(, -(<=z<=+()Якобиан преобразования:И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:При переходе к сферическим координатам: r? ( (, связанными с z,y,z формулами x=rsin((cos(,y=r sin(sin(, z=rcos(.(0<=r<=+(, 0<=( <= 2(,0<=( <=2()Якобиан преобразования:Т. е. |J|=r2(sin(.Итак, в сферических координатах сие будет:2 Свойства равномерносходящихся рядовтакже непрерывна в т. х0.Т2 (Об поюленном интегрировании ряда)т. е. ряд (3) можно почленно интегрировать.Т3 (о почленном дифференцировании ряда)является непрерывно дифференцируемой ф-цией и(9)В силу ф-л ы (8) последнее равенство можно записать:So ряд (7) можно почленно дифференцировать№131 Приложениятройных интегралов, где ((М) = ((x,y,z) - плотность.Моменты инерции тела относительно осей координат:Момент инерции относительно начала координат:Координаты центра масс:m – масса.Интегралы, стоящие в числителях выражают статические моменты тела: Myz, Mxz, Mxy относит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: ((М) = const, то из формул она убирается и оне упрощаются как в 2ных интегралах.2 Степенные ряды. Теорема Абеля(1) x ( R членами которого являются степенные ф-ции. Числа an ( R, наз коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз также ряд:(2)Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т .е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.Т Абеля1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0 ( 0, то он сходится абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|.2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х, для которой |x|>|x0|

№14

1 Определение криволинейных

интегралов 1 и 2 рода

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)

Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой
кривой К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn
пусть (lk длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге
произвольную точку N((k,(k) и умножив сию точку на соотв. длину дуги
составим три интегральную суммы:

f((k,(k)((lk

Р((k,(k)((хk

Q((k,(k)((yk,

где (хk = xk-xk-1, (yk = yk-yk-1

Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел
интегральной суммы (1 при условии, что max((lk) ( 0

Если предел интегральной суммы (2 или (3 при ( ( 0, то этот предел наз.
криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l =
AB и обозначается:

принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода и обозначать
символом:

в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются интегрируемыми
вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем интегрирования
А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl – дифференциал
длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз. криволинейным
интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..

Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не
зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается
кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:

, для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания
кривой ведет к изменению знака:

В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из
двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют
положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура
остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление
движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз
– отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l
пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:

Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:

и три интеграла 2 рода:

сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2
рода.

2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд:

(1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сходимости ряда
(1) если для любого х такого, что |x|R ряд расходится Интервал на числовой оси состоящий из т.
х для которых |x|0, то на любом отрезке действительной
оси вида |x|<=r, 00, то для всех x ( (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

где остаток rn(x) можно записать:

(8)

(9) Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной
форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка
и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е ( x ( U(x0)
|f(n)(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сходится в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности.№171 Формула ГринаСия очень полезная в сельском хозяйстве формула устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами.в данной области. тогда имеет место ф-ла:И вот вся эта фигулина и есть формула Грина.Контур L определяющий область д может быть задан показательными уравнениями х = х1(у), х=х2(у) с<=y<=d x1(y)<=x2(y) илиy = y1(x), y=y2(x) a<=x<=b y1(x)<=y2(x).к криволинейным для чего сведем его к повторному и ф-ле Невтона-Лыебница выполним интегрирование по у и получим:каждый из 2 определенных интегралов в правой части последнего равенства = криволинейному интегралу 2 рода взятому по соответствующей кривой а именно:Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области Д, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечной число правильных замкнутых областей.2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена)1Разложение ф-ции ехряд Маклорена.радиус сходимости:R=( следовательно ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.2Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклоренасходится на всей числовой осисходится на всей числовой оси3. f(x) = (1+x)(Наз. биномиальный ряд с показателем ( Различают 2 случая:биномиальный коэффициент.2- ( ( R>N (( ( 0 х ( 0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1

4 Разложение ф-ции ln(1+x)

сходится при –1=0 во всех
точках материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда:

, где S – площадь цилиндрической поверхности, кот состоит из
перпендикуляров плоскости оху, восст в точках М(x,y) кривой АВ.

2 Геометрические и арифметические ряды.

№19

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.

Вычисление площади плоской области Д с границей L

2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается
вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой
силы:

при пространственной кривой там исчо третья функция появитца для буквы
зю.

2 Свойства сходящихся рядов

№20

1 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути
интегрирования.

Плоская область ( наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.

Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными
непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области ( тогда следующие
4 условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет
остальные 3.

1. Для ( замкнутой кусочногладкой кривой L в ( значение криволинейного
интеграла:

не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в (.

3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых
функций определенных в ( существует ф-ция E=((х,у) опред в ( такая, что
dE = Pdx+Pdy

Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным
условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути
интегрирования.

2 Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле.

№21

1 Интегрирование в полных дифференциалах

, тогда dF=Pdx+Qdy.

Для интегралов независящих от пути интегрирования часто применяют
обозначение:

или

А(x0,y0) ( ( , В = (х,у) ( (

поэтому

где (х0,у0) – фиксированная точка ( (, (x,y) – произвольная точка ( (
, с – const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в
подинтегральном выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не
зависит от пути интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень
которой параллельны осям координат. тогда формула преобразуется к виду.

2 Признаки сравнения

№22

1 Сведение 2-ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу., наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.2 Признаки Даламбера и Коши№231 2 ной интегралв полярных координатахПереход к полярным координатам частный случай замены переменных.Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, () где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. ( = угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+(, 0<=( <=2( .Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r(cos( , y = r(sin( .Якобиан преобразования будет равен:И формула при переходе примет вид:2 Знакочередующиеся ряды признак Лейбница№241 Замена переменныхв тройном интегралеЕсли ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобианто справедлива формула:При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcos(, y=rsin(, z=z (0<=r<=+(, 0<=( <= 2(, -(<=z<=+()Якобиан преобразования:И поэтому в цилитндрических координатах переход осуществляется так:При переходе к сферическим координатам: r? ( (, связанными с z,y,z формулами x=rsin((cos(,y=r sin(sin(, z=rcos(.(0<=r<=+(, 0<=( <= 2(,0<=( <=2()Якобиан преобразования:Т. е. |J|=r2(sin(.Итак, в сферических координатах сие будет:2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда№251 Условиясуществования и вычисления криволинейных интеграловКривая L наз. гладкой, если ф-ции ((t), ((t) из определяющих её параметрических уравнений:(1)имет на отрезке [a,b] непрерывные производные: (’(t), (’(t).Точки кривой L наз особыми точками, если они соответствуют значению параметра t ( [a,b] для которых ((’(t))2+((’(t))2 = 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными (ВАУ!).Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам сводящим эти интегралы к обычным:Отседова жа вытекаает штаа:ну и сумма там тожжа упростица.ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)Если АВ задана в криволинейных координатах ( <= ( <= ( где ф-ция r(() непрерывно дифференцируема на отрезке [(, (] то имеет место частный случай, где в качестве параметра выступает полярный угол (. x = r(()(cos((),y= r(()(sin(().и у второго рода так же.Прямая L наз кусочно гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым составляющим сию кусочно-гладкую кривую.все выше сказанное справедливо и для пространственной кривой (с буквой зю).2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена).

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019