№1
1 Двойной интеграл
f((i, Di)(Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз.
интегрируемой в области D если существует конечный предел интегральной
суммы.
Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной
суммы при ( ( 0. Обозн:
2 Понятие числового
ряда и его суммы
Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…
Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его
составляющие- членами ряда.
Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной
суммой ряда: Sn = u1+..+un
, то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится, если такого
предела не существует, то говорят что ряд расходится и суммы не имеет.
№ 2
1 Условие существования
двойного интеграла
Необходимое, но недостаточное:
Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.
1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на
замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.
2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в
замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за
исключением отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она
может иметь разрыв, то она интегрируема на D.
2 Геометрический и
арифметический ряды
или
а+ а(q +…+a(qn-1
следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда
зависит от величины q
Возможны случаи:
и предел суммы так же равен бесконечности
т. е. ряд расходится.
ряд расходится
4 при q(1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n
нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.
при любых u1 и d одновременно ( 0 и ряд всегда расходится.
№3
1 Основные св-ва 2ного интеграла
1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.
2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д,
то она интегрируема и в G.
4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно
представить в виде суммы интегралов:
5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также
интегрируемо в Д. Если g(x,y) ( 0 то и f/g интегрируема в Д.
6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y)
=0 то и
7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д,
то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем
обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует
интегрируемость f.
8. Теорема о среднем значении.
Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка
((, () ( Д, что:
(2), где S – площадь фигуры Д. Значение f((, () опред по ф-ле (2) наз.
средним значением ф-ции f по области Д.
2 С-ва сходящихся рядов
(2)
(3)
Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:
(для разности там только – появица)
Т1 Об общем множителе
тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на расходимости ряда.
тоже сходится и если ( его сумма, то ( = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды
можно почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2)
расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба
ряда расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если
un=vn) так и сходиться (если un=(vn)
Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо
остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма =
частичная сумма ряда Sn + rn
Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не
влияет на сходимость (расходимость) ряда.
№4
1 Сведение
2ного интеграла к повторному
Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)=u2>=u3…>=un
, а для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл
наоборот расходился (ВАУ!).
Возможны три случая:
Интеграл а потому и ряд сходится.
2 01 ряд расходится
Т(Признак Коши)
, тогда
1 Если k1 ряд расходится
А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о
сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все
тут. Вот.
№8
1 Вычисление объема
с помощью 2ного интеграла
если f(x,y)=0.
если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1,
f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)=u2>=u3…>=un>=un+1…
то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам:
01.
№11
1 Тройные интегралы
f((i,(i,(i)((Vi, кот наз интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z).
Обозначим за ( максимальный диаметр частичной области. Если интегральная
сумма при ( ( 0 имеет конечный предел, то сей предел и называется
тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области V И обозначается:
2 Равномерная
сходимость функциональных
последовательностей и рядов.
Признак Вейерштрасса.
Ф-циональную последовательность {fn)x)} x ( E наз. равномерно сходящейся
ф-цией f на м-ж Е, если для ( ( >0, сущ номер N, такой, что для ( т х (
E и ( n >N выполняется (-во: |fn(x)-f(x)||x0|
№14
1 Определение криволинейных
интегралов 1 и 2 рода
Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)
Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой
кривой К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn
пусть (lk длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге
произвольную точку N((k,(k) и умножив сию точку на соотв. длину дуги
составим три интегральную суммы:
f((k,(k)((lk
Р((k,(k)((хk
Q((k,(k)((yk,
где (хk = xk-xk-1, (yk = yk-yk-1
Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел
интегральной суммы (1 при условии, что max((lk) ( 0
Если предел интегральной суммы (2 или (3 при ( ( 0, то этот предел наз.
криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l =
AB и обозначается:
принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода и обозначать
символом:
в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются интегрируемыми
вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем интегрирования
А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl – дифференциал
длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз. криволинейным
интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..
Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не
зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается
кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:
, для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания
кривой ведет к изменению знака:
В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из
двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют
положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура
остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление
движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз
– отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l
пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:
Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:
и три интеграла 2 рода:
сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2
рода.
2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
Рассмотрим степенной ряд:
(1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сходимости ряда
(1) если для любого х такого, что |x|
х для которых |x|
оси вида |x|0, то для всех x ( (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:
где остаток rn(x) можно записать:
(8)
(9) Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной
форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.
Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.
Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка
и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е ( x ( U(x0)
|f(n)(x)|N (( ( 0 х ( 0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1
4 Разложение ф-ции ln(1+x)
сходится при –1
точках материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда:
, где S – площадь цилиндрической поверхности, кот состоит из
перпендикуляров плоскости оху, восст в точках М(x,y) кривой АВ.
2 Геометрические и арифметические ряды.
№19
1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.
Вычисление площади плоской области Д с границей L
2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается
вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой
силы:
при пространственной кривой там исчо третья функция появитца для буквы
зю.
2 Свойства сходящихся рядов
№20
1 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути
интегрирования.
Плоская область ( наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.
Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными
непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области ( тогда следующие
4 условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет
остальные 3.
1. Для ( замкнутой кусочногладкой кривой L в ( значение криволинейного
интеграла:
не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в (.
3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых
функций определенных в ( существует ф-ция E=((х,у) опред в ( такая, что
dE = Pdx+Pdy
Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным
условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути
интегрирования.
2 Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле.
№21
1 Интегрирование в полных дифференциалах
, тогда dF=Pdx+Qdy.
Для интегралов независящих от пути интегрирования часто применяют
обозначение:
или
А(x0,y0) ( ( , В = (х,у) ( (
поэтому
где (х0,у0) – фиксированная точка ( (, (x,y) – произвольная точка ( (
, с – const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в
подинтегральном выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не
зависит от пути интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень
которой параллельны осям координат. тогда формула преобразуется к виду.
2 Признаки сравнения
№22
1 Сведение 2-ного интеграла к повторному
Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
