.

Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 1430
Скачать документ

Матрицы. Терминология и обозначения.

Матрицей размера (mxn) называется набор m(n чисел – элементов м-цы Ai,j,
записанных в виде прямоугольной таблицы:

Набор аi1, ai2, ain – наз iтой строкой м-цы. Набор a1j, a2j, amj – jтым
столбцом.

М-ца размером 1хп – называется строкой, вектором; м-ца размером mx1 –
столбцом. Если размерность пхп – матрица называется квадратной. Набор
элементов а11, а22, апп образует главную диагональ м-цы. Набор а1п,
а1,п-1, ап1 – побочную диагональ. М-ца все эл-ты, которой = 0 наз.
нулевой. Квадратная м-ца, элементы главной диагонали которой равны 1, а
все остальные – 0, называется единичной, обозн.: Е

Матрицы: А(I,j) и B(I,J) называется равными, если равны их размеры и их
элеме6нты в одинаковых позициях совпадают.

Действия с матрицами

Сложение

Суммой м-ц А(I,j) и B(I,J) наз. м-ца С(I,J) элементы кот, выч по
формуле:

Сij=Aij+Bij (I=1…m, j = 1…n)

C=A+B (размер всех м-ц: mxn)

умножение м-цы на число

Произведение м-цы А = (Aij) размера mxn на число С называется матрица:
B=(Bij) размера mxn, элементы кот, выч. по формуле:

Вij=С(Aij (I=1…m, j = 1…n)

В=С(А

вычитание:

С=А+(-)В = А-В

умножение м-ц

А=(Aik), B=(Bkj) – квадратные м-цы порядка n. Произведением А на В
называют м-цу С= (Сij) элементы, кот выч. по формуле:

Сij = Ai1(B1j+… Ain(BnJ

С=АВ. Можно записать так:

Порядок сомножителей в матрице существенен: АВ не равно ВА

Св-ва умножения м-цы:

(АВ)С=А(ВС)

А(В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС

Произведение двух прямоугольных матриц существует, если их внутренние
размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны.

Порядки суммирования. Транспонирование м-цы

Сумму Н всех элементов квадратной м-цы А можно вычислить 2 мя
способами:

1. Находя сумму элементов каждого столбца и складывая полученные суммы:

2. Находя сумму элементов каждой строки и складывая эти суммы:

отсюда вытекает, что

порядок суммирования в двойной сумме можно менять.

Матрица

называется транспонированной по отношению к м-це А=

Обозначается АТ. При транспонировании строки переходят в столбцы, а
столбцы в строки и если А размером mxn, то АТ будет размером nxm

Св-ва операции транспонирования.

1 (АТ)Т=А

2 (А+В)Т=АТ+ВТ

3 (СА)Т=САТ (С-число)

4 (АВ)Т=АТ(ВТ

Элементарные преобразования матрицы.

1 Переставление двух строк

2 Умножение строки на не равное 0 число В

3 Прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на число С.

Также производят элементарные преобразования столбцов.

Матрицы элементарных преобразований.

С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы
элементарных преобразований. Они бывают следующих типов:

1 м-цы получающиеся из единичных путем перестановки двух любых строк
например м-ца:

получена перестановкой 2 и 4 строки

2 тип. м-цы получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на
произвольное не нулевое число:

отличается от единичной элементом В во второй строке

Основное св-во матриц элементарных преобразований Элементарное
преобразование произвольной матрицы равносильно умножению этой м-цы на
матрицу элементарных преобразований

Элементарные преобразования строк м-цы А

1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа слева переставляет строки с номерами
I,j

2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа слева равносильно умножению j
строки м-цы А на число В

3 прибавление к jстороке м-цы А ее iтой строки, умноженной на число С
равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа слева

Элементарные преобразования столбцов м-цы А

1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа справа переставляет столбцы с номерами
I,j

2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа справа равносильно умножению j
столбца м-цы А на число В.

3 прибавление к j столбцу м-цы А ее I того столбца, умноженного на число
С равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа справа.

Определители

С каждой квадратной матрицей связано некое число наз. определителем.

Определителем м-цы второго порядка:

наз число: а11(а22-а12(а21

Определитель м-цы третьего порядка:

=

также можно восп правилами треугольника:

Предположив, что определитель м-цы порядка меньше n уже известен,
определитель м-цы порядка n будет равен:

D= a11(M11-a21(M21+…+(-1)n+1(an1(Mn1

где Мi1 – определитель м-цы порядка n-1, это число называется
дополнительным минором. Подобная м-ца получается из А путем вычеркивания
1 столбца и j строки. Это называется разложением определителя по 1 ому
столбцу.

число: Аij=(-1)I+1(Mij называется алгебраическим дополнением эл-та аij в
определителе [А] с учетом алгебр. доп ф-лу нахождения определителя
можно записать так:

Определитель – сумма попарных произведений эл-тов произвольного столбца
на их алгебраический дополнитель.

Свойства определителя

1 При транспонировании матрицы определитель не изменяется: [AT]=[А]

отсюда вытекает, что строка и столбец равноправны с точки зрения свойств
определителя.

2 Линейность

Если в определителе D I является линейной комбинацией 2-х строк:

тогда D=fD’+lD’’

отличаются от D только I-тыми строками.

3 Антисимметричность если определитель В* получен из опр В перестановкой
строк, то В* = -В

4 Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 0

5 Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого
определителя на это число

6 определитель с 0 строкой = 0

7 определитель, одна из строк которого = произв другой строки на число
не равное 0 = 0. (Число выносится за определитель далее по св-ву 4)

8 Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на
какое либо число, то полученный определитель будет равен исходному.

9 Сумма произведения эл-тов строки определителя на алгебр. дополнение
соответствующих элементов другой строки опр = 0

Обратная матрица

Квадратная матрица наз. невырожденной, если ее определитель не равен 0.

М-ца В, полученная из невырожд м-цы А по правилу:

В позицию ij м-цы В помещается число = алгебраическому дополнению м-цы
Aji, эл-та аji в м-це А.

М-ца В наз. союзной или присоединенной к м-це А и обладает следующими
св-вами:

АВ=ВА=[А]I (I-единичная матрица)

Матрица А-1=1/[А]В называется обратной м-це А. Отсюда вытекает
равенство:

АА-1=I, А-1А=I

– неизвестная матрица.

Произвольную невырожденную м-цу элементарными преобразованиями строк
можно привести к единичной матрице

1 Привести к треугольному виду

2 Диагональ матрицы преобр 2 вида приводится к равенству единицам

3 Преобразованиями 3 го типа, прибавляя к п-1 строке последнюю
умноженную на –а1п, -а2п…-ап-1п, приводится к матрице у которой все
эл-ты п-ного столбца, кроме последнего равны 0 и т. д.

2 метод построения обратной м-цы путем составления расширенной матрицы
(метод Жордана)

1 составляется расширенная матрица, приписывая к матрице А единичную
матрицу I того же порядка т. е. получаем м-цу (А|I) элементарными преобр
строк м-ца А приводится к треугольному виду, а потом к единичному,
полученаая на месте I м-цы м-цы С – является обратной исходной матрице А

15. Понятия связанного и свободного векторов.

Рассмотрим т А и т. В, по соединяющему их отрезку можно перемещать в
двух направлениях: если считать А началом, а т. В – концем, то получим
направленный отрезок АВ, а если т. В- начало, а т. А – конец, то
направленный отрезок ВА. Направленный отрезок часто наз. связанными или
закрепленными векторами. В случае, когда начальная и конечная точка
совпадают, т. е. А=В, связанный вектор наз. нулевым..

Связанные векторы АВ и СД равны, если середины отрезков АД и ВС
совпадают обоз: АВ=СД, отметим, что в случае, когда т. А,В,С,Д не лежат
на одной прямой это равносильно тому, что четырехугольник АВСД –
параллелограмм. Поэтому равные связанные в-ры имеют равные длины.

Св-ва связанных в-ров:

1 Каждый связанный в-р равен самому себе АВ=АВ

2 Если АВ=СД, то и СД = АВ

3 Если АВ=СД и СД=EF, то AB=EF

От каждой точки можно отложить связанный в-р равный исходному.

Свободные в-ры – те, начальную точку которых можно выбирать произвольно.
или, что тоже самое, которые можно произвольно переносить параллельно
самим себе. Свободный в-р однозначно определяется заданием связанного
в-ра АВ.

Обоз свободные в-ры малыми латинскими буквами и стрелкой сверху.
Нуль-вектор обоз 0 со стрелкой.

Если задан в-р а и т. А, сущ ровно 1 т. В, для которых АВ=а. Операция
построения связанного в-ра АВ, для которой выполнено это равенство
называется откладывание свободного в-ра а от т. А. Связанные в-ры,
полученные в результате операции откладывания равны между собой. И имеют
одинаковую длину. Длина свободного в-ра а обоз |f|, длина нуль-в-ра=0,
Если а=в, то и длины их равны., обратное неверно!!!.

Линейные операции над в-рами

1 сложение в-ров

Пусть даны в-ры: а и в

от т. О отложим в-р ОА=а, от полученной т. А отложим в-р АВ=в.
Полученный в результате в-р ОВ называется суммой векторов а и в и обозн:
а+в. Сложение в-ров коммутативно: а+в=в+а. Существует два правила
построения суммы: правило треугольник и правило параллелограмма.

Сложение в-ров ассоциативно, т. е. для любых в-ров а, в, с вып рав-во:

(а+в)+с=а+(в+с),

2 Умножение в-ра на число

Свободные в-ра а и в наз коллинеарными, если определяющие их связанные
в-ры лежат на параллельных или совпадающих прямых. Если отложить
коллинеарные в-ры а и в от общей т. О: ОА=а, ОВ=в, то т. О, А, В будут
лежать на одной прямой. Возможны 2 случая: т. А и В располагаются по
одну сторону от т. О или по разные стороны. В первом случае в-ры а и в
наз одинаково направленными, во втором – противоположно направленными.
если в-ры имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны.

Произведением в-ра а на число С наз в-р в, такой, что

1 длина его |b|=|C|(|a|

2в-ры а и в одинаково (противоположно) направлены, если С>0 (C0 (случайц внутреннего деления)

2 М=А, ( = 0

3 М лежит вне Ав, ( 0
, если по одну сторону – то (0

L2:=А2х+В2у+С2=0, А22+В22>0

((угол между ними)= углу между их нормальными в-рами n1 ={A1,B1} и
n2={A2,B2}

оттуда вытекает, что

L1|| L2 ( n1 || n2( n1 = (n2

A1=(A2, B1=(B2

L1 ( L2 ( n1 ( n2( n1(n2 =0 (

( A1(A2+B1(B2=0

б) прямые заданы каноническим уравнением

угол между ними равен углу между их направляющими векторами:

S1={m1,n1} S2{m2,n2} поэтому:

L1|| L2 ( S1 || S2

L1 ( L2 ( S1 ( S2 ( S1(S2=0 (

m1(m2+n1(n2=0

в) прямые заданы ур-ем с угловым коэффициентом

L1:= у=к1х+в1

L2:= у=к2х+в2

за угол между прямыми принимаемся наименьший угол на который нужно
повернуть прямую L1 против часовой стрелки до совмещения с прямой L2
вокруг т. пересечения прямых.

Через (1 и (2 обоз углы наклона прямых L1 и L2 к оси ОХ

Угол между прямыми (= (2- (1

tg(1=k1, tg(2=k2

L1|| L2 ( (1 = (2 ((=0) ( k1=k2

L1 ( L2 ( (=П/2

k2= -1/k1

Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости.

Зафиксировав неку т. О в пространстве положение плоскости П будет
определено, если задать следующие величины: расстояние до нее от
начальной т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра, опущенного из
т. О на плоскость П и единичный в-р n0, |n0|=1, перпендикулярный
плоскости П и направленный из начальной т. О к этой плоскости.

Когда текущая т. М движется по плоскости ее радиус в-р r меняется так,
что

prn0 OM=p (1)

это соотношение вып для каждой т. принадлежащей плоскости, а для не
принадлежащей – нарушается.

(1) являет уравнением этой Плоскости П

prn0 OM=r(n0 или r(n0-p=0 (2)

ур-е (2) – нормальное уравнение плоскости в векторной форме.
Радиус-вектор r произвольной т. плоскости наз. ее текущим радиус
вектором.

Введем в пространстве прямоугольную Декартову систему координат,
поместив ее начало в т. О, тогда в-ры r и n0 можно записать так:
n0={cos(, cos(, cos();

r={x,y,z}

Ур-е (2) примет вид:

x( cos( +y(cos(+z(cos(-p=0 (3) – нормальное уравнение плоскости в
координатной форме

Особенности ур-я (3)

1 Сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах = 1:

cos2(+cos2(+cos2(=1

2 свободный член (-р) (0

Относительно переменных x,y,z – ур-е (3) явл. ур-ем 1 степени.

Всякое ур-е 1 степени определяет плоскость

Ур-е:

Ax+By+Cz+D=0 (4) – уравнение плоскости общего вида.

Всякий ненулевой, перпендикулярный плоскости вектор наз. нормальным
вектором этой плоскости. В-р n={A,B,C} нормальный в-р плоскости,
заданной ур-ем (4), таким образом коэффициенты при координатах в ур-е
(4) являются координатами нормального в-ра этой плоскости. Все другие
нормальные вектора получают из в-ра n умножая его на любое ( 0 число.

Ур-е плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному
направлению

Уравнение плоскости, проходящей через т. М0, заданной r0={x0,y0,x0},
перпендикулярной в-ру n={A,B,C}строится так:

Проведем радиус в-р r={x,y,z} в произвольную т. М этой плоскости. В-р
М0М=r-r0 лежит в плоскости П и значит перпендикулярен в-ру n., поэтому
их скалярное пр-е = 0

(r-r0)(n=0 (1) Рав-во (1) справедливо для всех т. М плоскости П и
нарушается если М не принадлежит этой плоскости, тем самым – (1) –
векторное уравнение искомой плоскости, в координатной форме это
выражается так:

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)+D=0

Исследование ур-я плоскости. неполное ур-е плоскости

По виду общего ур-я можно судить о том как лежит плоскость относительно
системы координат OXYZ. Если хотя бы один из коэффициентов общего ур-я =
0, то оно наз. неполным.

Возможны случаи:

1 D=0 П: Ax+By+Сz=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит
прямая проходит через начало координат

2 А=0 П: Ву+ Сz +D=0 – нормальный в-р n={0,B,C} перпендикулярен оси ОХ
отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОХ

3 В = 0 П: Aх + Cz +D=0 – нормальный в-р n={А,0,С} перпендикулярен оси
ОY отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОУ

4 С=0 П: Ax+By+D=0, n={А,B,0} перпендикулярен OZ(П ||OZ плоскость
параллельна оси OZ

5 А=0, C=0 П: By+D=0( y= – D/B( тогда из 2 П||ОХ, из 4 П||OZ значит
П||OXZ

6 А=0, В=0 П: Cz+D=0(z= – D/C( П||ОХ, П||OY значит П||OXY

7 C=0, В=0 П: Ax+D=0( x= – D/A( П||ОZ, П||OY значит П||OYZ

8 A=0, В=0, D=0 П: Cz=0 ( z=0( П||ОXY, O ( П значит П= OXY

9 A=0, C=0, D=0 П: By=0 ( y=0( П||ОXZ, O ( П значит П= OXZ

10 B=0, C=0, D=0 П: Ax=0 ( x=0( П||ОXY, O ( П значит П= OXY

11 A ( 0, В ( 0, С ( 0 П; – не параллельна ни одной из осей и пересекает
их.

Уравнение плоскости проходящей через три данный точки

Даны М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3) не лежащие на одной
прямой. Пусть М(x,y,z) – точка искомой плоскости.

r1={x1,y1,z1}, r2={x2,y2,z2}, r3={x3,y3,z3} и r={x,y,z} – радиус векторы
данных точек.

В силу компланарности в-ров М1М=r-r1, M1M2=r2-r1, M1M3=r3-r1 их
смешанное произведение = 0, т. е. радиус в-р т. М удовлетворяет условию:

(r-r1)(r2-r1)(r3-r1)=0 (10)

а ее координаты линейному уравнению:

(11)

ур-е (10) векторное, а ур-е (11) – координатные уравнения искомой
плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках.

Представив общее ур-е плоскости при A,B,C,D ( 0 в виде:

и положив a= – D/A, b = -D/B, c = -D/C, получим уравнение плоскости в
отрезках:

Найдем координаты точек М1, М2, М3 пересечения П с осями OX, OY, OZ

для М1 имеем

x=a, значит М1(а,0,0)

аналогично получаем:

М2(0,в,0): М3(0,0,с)

Значения а,в,с определяют величину отрезков, отсекаемых П на осях
координат.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть М*(x*,y*,z*) – заданная точка,

xcos(+ycos(+cos(-р=0 – заданное уравнение плоскости

расстояние от т. М* до плоскости П выч. по ф-ле:

d=d(M*, П) = |x*cos(+y*cos(+z* cos(| (13)

обозначим через ((M*, П)=r*(n0-p= x*cos(+y*cos(+z* cos(-p. Если т М* и
т. О –начало координат лежат по разные стороны от П, то (>0, а если по
одну сторону, то (0, A22+B22+C22>0

углом между двумя плоскостями будем называть любой из двух смежных
двугранных углов образованных этими плоскостями. (в случае
параллельности угол между ними равен 0 или П) один из этих двугранных
углов =

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020