Лекция №15
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: вторник, 14 ноября 2000 г.
Тема: Пять основных разложений
1)y=ex, x0=0
y(0)=1
y’(0)=ex|x=0=1
y’’(0)=ex|x=0=1
y(n)(0)=ex|x=0=1
n=1 ex=1+x+o(x),x(x0
2) y=sinx, x0=0
y(0)=0
y’(0)=cos|x=0=1
y’’(0)=-sinx|x=0=0
y’’’(0)=-cosx|x=0=-1
y’’’’(0)=sinx|x=0=0
если n – чётное, то y(n)(0)=0; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=(-1)k
3) y=cosx, x0=0
y(0)=1
y’(0)=-sinx|x=0=0 *
y’’(0)=-cosx|x=0=-1
y’’’(0)=sinx|x=0=0
y’’’’(0)=cosx|x=0=1
если n=2k – чётное, то y(n)(0)=(-1)k; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=0
4) y=ln(1+x), x0=0
y(0)=ln1=0
y’(0)=1/(1+x)|x=0=1
y’’(0)=1(-1)/(x+1)2(x=0=-1
y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)3(x=0=(-1)(-2)
y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)4(x=0=(-1)(-2)(-3)
y(n)=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)n(x=0=(-1)n-11(2(3…(n-1)=(-1)n-1(n-1)!
5) y=(1+x)p, x0=0
y(0)=1
y’(0)=p(1+x)p-1|x=0=p
y’’(0)= p(p-1)(1+x)p-2(x=0=p(p-1)
y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)p-3(x=0=p(p-1)(p-2)
y(n)=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)p-n(x=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)
Если р – натуральное, то y(n)(0)=0 n(p+1
(либо n
0 в О(х0)
Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в
точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх
(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)
в каждой точке этого интервала.
Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-
ференцируема в О((х0) и непрерывна в О(х0). Точка х0 –
называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-
ходе через точку меняется знак выпуклости.
Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).
Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0 и f’’(x0)0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х0.
Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме
пеано:
Если х близко к х0, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x0).
Если f’’(x0)0 в О((х0).
Если f’’(x0)>0, то f(x)-yкас>0 в О((х0)
Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х0) и дважды дифференцируема в
О((х0), причём f’(x) меняет знак при переходе через точку х0, тогда
точка х0 – точка перегиба.
Доказательство:
f’’(x) – +
( ( ) x
x0
f’’(x)0 в O(+(x0)( f(x) – выпукла вниз в О(+(х0)
Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х0. Если точке х0
точка перегиба, то f’’(x0)=0
Путь точка х0 точка перегиба и существует f’’(x0)>0, тогда
то есть при переходе через точку х0 левая часть равенства f(x)-yкас не
меняет знак. Аналогично получаем для f(x)>0 f’’(x0)=0
Замечание: Условие равенства f’’(x0)=0 необходимо, но недостаточно.
Теорема: (о достаточном условие экстремума по второй производной)
Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0, тогда точка х0
точка максимума если f’’0.
Доказательство:
При х достаточно большим и х0 знак в квадратных скобках совпадает со
знаком f’’(x0)( f(x)-f(x0)>0 в О((х0), если f’’(x0)>0 то есть
f(x)>f(x0) в О((х0)( х0 точка минимума, если f(x)-f(x0)
D
F
b
h
?
?
?
3/4
AE
Oe
a
ae
e
i
o
^
`
b
h
†
?
Ae
AE
E
I
O
TH
a
a
ae
ae
th
E¦Ue&
„
hUew-B*
B*
B*
hUew-B*
ph:симптоты. Полное исследование функции.
Асимптоты.
Вертикальные
Наклонные асимптоты
, тогда прямая y=kx+b называется левой наклонной асимптотой для функции
f(x).
Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.
Пусть функция f(x) определена в О(+() и
тогда прямая y=kx+b правая наклонная асимптота
Замечание: если условие 1) не выполнено, то нужно посчитать предел
lim(f(x)), чтобы выяснить поведение
х(+(
функции на бесконечности.
Полное исследование функции.
Область определения
Симметрия и периодичность
Вертикальные асимптоты
Наклонные асимптоты
Критические точки, если есть, то находим точки экстремума и промежутки
возрастания и убывания функции f'(x)=0 или f’(x) не существует, а f(x)
существует
Возможные точки перегиба f’’(x)=0, либо f’’(x) не существует, но f’(x)
существует следовательно промежутки выпуклости и вогнутости
Точки пересечения с осями координат и промежутки знака постоянства (если
можно)
Пример:
Область определения D: x(3
Функция не симметрична и не периодична
( х=3 правая и левая вертикальная асимптота
( y=0 правая и левая горизонтальная асимптота
критическая точка х1=-3/2
f(-3/2)=4/243
критическая точка х2=-3
f(-3)=1/72
7)x=0 y=0
Приближенные методы решения уравнения f(x)=0
1) Метод хорд
а) f(x), f’(x), f’’(x) – непрерывны на отрезке [a,b]
б) f(a)f(b)0:|f”(x)|(M
(x([a,b] (m>0:|f’(x)|(m;(x([a,b]
Надо выбирать отрезок так b-a
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter