.

Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 373
Скачать документ

Лекция №15

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 14 ноября 2000 г.

Тема: Пять основных разложений

1)y=ex, x0=0

y(0)=1

y’(0)=ex|x=0=1

y’’(0)=ex|x=0=1

y(n)(0)=ex|x=0=1

n=1 ex=1+x+o(x),x(x0

2) y=sinx, x0=0

y(0)=0

y’(0)=cos|x=0=1

y’’(0)=-sinx|x=0=0

y’’’(0)=-cosx|x=0=-1

y’’’’(0)=sinx|x=0=0

если n – чётное, то y(n)(0)=0; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=(-1)k

3) y=cosx, x0=0

y(0)=1

y’(0)=-sinx|x=0=0 *

y’’(0)=-cosx|x=0=-1

y’’’(0)=sinx|x=0=0

y’’’’(0)=cosx|x=0=1

если n=2k – чётное, то y(n)(0)=(-1)k; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=0

4) y=ln(1+x), x0=0

y(0)=ln1=0

y’(0)=1/(1+x)|x=0=1

y’’(0)=1(-1)/(x+1)2(x=0=-1

y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)3(x=0=(-1)(-2)

y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)4(x=0=(-1)(-2)(-3)

y(n)=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)n(x=0=(-1)n-11(2(3…(n-1)=(-1)n-1(n-1)!

5) y=(1+x)p, x0=0

y(0)=1

y’(0)=p(1+x)p-1|x=0=p

y’’(0)= p(p-1)(1+x)p-2(x=0=p(p-1)

y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)p-3(x=0=p(p-1)(p-2)

y(n)=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)p-n(x=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)

Если р – натуральное, то y(n)(0)=0 n(p+1

(либо n

0 в О(х0)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)

в каждой точке этого интервала.

Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-

ференцируема в О((х0) и непрерывна в О(х0). Точка х0 –

называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-

ходе через точку меняется знак выпуклости.

Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0 и f’’(x0)0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х0.

Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме
пеано:

Если х близко к х0, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x0).
Если f’’(x0)0 в О((х0).

Если f’’(x0)>0, то f(x)-yкас>0 в О((х0)

Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х0) и дважды дифференцируема в
О((х0), причём f’(x) меняет знак при переходе через точку х0, тогда
точка х0 – точка перегиба.

Доказательство:

f’’(x) – +

( ( ) x

x0

f’’(x)0 в O(+(x0)( f(x) – выпукла вниз в О(+(х0)

Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х0. Если точке х0
точка перегиба, то f’’(x0)=0

Путь точка х0 точка перегиба и существует f’’(x0)>0, тогда

то есть при переходе через точку х0 левая часть равенства f(x)-yкас не
меняет знак. Аналогично получаем для f(x)>0 f’’(x0)=0

Замечание: Условие равенства f’’(x0)=0 необходимо, но недостаточно.

Теорема: (о достаточном условие экстремума по второй производной)

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0, тогда точка х0
точка максимума если f’’0.

Доказательство:

При х достаточно большим и х0 знак в квадратных скобках совпадает со
знаком f’’(x0)( f(x)-f(x0)>0 в О((х0), если f’’(x0)>0 то есть
f(x)>f(x0) в О((х0)( х0 точка минимума, если f(x)-f(x0)

D

F

b

h

?

?

?

3/4

AE

Oe

a

ae

e

i

o

^

`

b

h

?

Ae

AE

E

I

O

TH

a

a

ae

ae

th

E¦Ue&

hUew-B*

B*

B*

hUew-B*

ph:симптоты. Полное исследование функции.

Асимптоты.

Вертикальные

Наклонные асимптоты

, тогда прямая y=kx+b называется левой наклонной асимптотой для функции
f(x).

Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.

Пусть функция f(x) определена в О(+() и

тогда прямая y=kx+b правая наклонная асимптота

Замечание: если условие 1) не выполнено, то нужно посчитать предел
lim(f(x)), чтобы выяснить поведение

х(+(

функции на бесконечности.

Полное исследование функции.

Область определения

Симметрия и периодичность

Вертикальные асимптоты

Наклонные асимптоты

Критические точки, если есть, то находим точки экстремума и промежутки
возрастания и убывания функции f'(x)=0 или f’(x) не существует, а f(x)
существует

Возможные точки перегиба f’’(x)=0, либо f’’(x) не существует, но f’(x)
существует следовательно промежутки выпуклости и вогнутости

Точки пересечения с осями координат и промежутки знака постоянства (если
можно)

Пример:

Область определения D: x(3

Функция не симметрична и не периодична

( х=3 правая и левая вертикальная асимптота

( y=0 правая и левая горизонтальная асимптота

критическая точка х1=-3/2

f(-3/2)=4/243

критическая точка х2=-3

f(-3)=1/72

7)x=0 y=0

Приближенные методы решения уравнения f(x)=0

1) Метод хорд

а) f(x), f’(x), f’’(x) – непрерывны на отрезке [a,b]

б) f(a)f(b)0:|f”(x)|(M

(x([a,b] (m>0:|f’(x)|(m;(x([a,b]

Надо выбирать отрезок так b-a

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019