.

Курсовая Работа – Аппроксимация функций

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 1019
Скачать документ

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине ИНФОРМАТИКА

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Тема: Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Автор: студент гр. ИЗ-99-1 /________________/ Брук
Б.М. (подпись) (Ф.И.О.)

ОЦЕНКА: _____________

Дата: ___________________

ПРОВЕРИЛ

Руководитель проекта ст. преподаватель /________________/
Быкова Е.В.

(должность) (подпись)
(Ф.И.О.)

Санкт-Петербург

2000 год

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

/______________/

доц. /Прудинский Г.А./

“___”__________2000 г.

Кафедра Информатики и компьютерных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине ИНФОРМАТИКА

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

ЗАДАНИЕ

Студенту группы ИЗ-99-1 Брук Б.М.

(шифр группы) (Ф.И.О.)

1. Тема проекта: Использование информационных технологий для решения
прикладных задач на примере построения аппроксимации функции методом
наименьших квадратов.

2. Исходные данные к проекту: Вариант №22, Задана таблица значений двух
наблюдаемых переменных «X» и «Y».

3. Содержание пояснительной записки: Пояснительная записка включает в
себя задание на выполнение работы, титульный лист, аннотацию,
оглавление, введение, собственно тест пояснительной записки, выводы,
библиографический список.

4. Перечень графического материала: Представление результатов в виде
графиков, блок-схема.

5. Срок сдачи законченного проекта: 1.12.00

Руководитель проекта ст. преподаватель /_______________/ Быкова
Е.В. (должность)
(подпись) (Ф.И.О.)

Дата выдачи задания: 7.09.00

Санкт-Петербург

2000 год

Аннотация.

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой
работы. В ней рассматриваются вопросы по получению эмпирических формул
методом наименьших квадратов (МНК). Расчеты проведены средствами пакета
Microsoft Excel, в Turbo Pascal 7.0.

Страниц – 32, таблиц – 8, рис.5.

The Summary

The explanatory note presents a report: in which we discuss questions of
the construction of the empirical formulas using method of the least
squares in Microsoft Excel. Also this task is presented in Turbo Pascal
7.0.

Pages – 32, tables – 8, pic.5.

Оглавление.

TOC \o “1-3” \h \z HYPERLINK \l “_Toc501779501” Введение.
PAGEREF _Toc501779501 \h 4

HYPERLINK \l “_Toc501779502” 1. Постановка задачи. PAGEREF
_Toc501779502 \h 6

HYPERLINK \l “_Toc501779503” 2. Расчетные формулы. PAGEREF
_Toc501779503 \h 7

HYPERLINK \l “_Toc501779504” 2.1 Построение эмпирических формул
методом наименьших квадратов PAGEREF _Toc501779504 \h 7

HYPERLINK \l “_Toc501779505” 2.2 Линеаризация экспоненциальной
зависимости. PAGEREF _Toc501779505 \h 9

HYPERLINK \l “_Toc501779506” 2.3 Элементы теории корреляции.
PAGEREF _Toc501779506 \h 10

HYPERLINK \l “_Toc501779507” 3. Расчет коэффициентов аппроксимации в
Microsoft Excel. PAGEREF _Toc501779507 \h 13

HYPERLINK \l “_Toc501779508” 4. Построение графиков в Excel и
использование функции ЛИНЕЙН. PAGEREF _Toc501779508 \h 21

HYPERLINK \l “_Toc501779509” 5. Программа на языке Pascal. PAGEREF
_Toc501779509 \h 24

HYPERLINK \l “_Toc501779510” 5.1. Блок-схема. PAGEREF _Toc501779510
\h 24

HYPERLINK \l “_Toc501779511” 5.2. Результаты расчета Pascal.
PAGEREF _Toc501779511 \h 29

HYPERLINK \l “_Toc501779512” Заключение. PAGEREF _Toc501779512 \h
30

HYPERLINK \l “_Toc501779513” Список литературы. PAGEREF
_Toc501779513 \h 31

Введение.

Аппроксимация (от латинского “approximate” -“приближаться”)-
приближенное выражение каких-либо математических объектов (например,
чисел или функций) через другие более простые, более удобные в
пользовании или просто более известные. В научных исследованиях
аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего
использования эмпирических результатов.

Как известно, между величинами может существовать точная
(функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует
одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда
одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное
значение или некоторое множество значений функции, в той или иной
степени близких друг к другу. При ведении научных исследований,
обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться
сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных
зависимостей различных показателей, значения которых определяются
эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично
она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и,
особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью
наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую
не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее
тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью
работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы
возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых
показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью
вариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация –
приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим
уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию
зависимости (или ее “тренд”).

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи
исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для
аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости.
Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены
отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании
зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо
большей точности, используя какое-либо более сложное, много
параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с
максимальной точностью передать случайные отклонения величин в
конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую
закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой
точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной
функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь
всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае
целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно,
насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых
переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных
случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности,
аппроксимация позволяет также решать много других важных задач:
формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения
зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо,
экстраполяции.

1. Постановка задачи.

Во всех вариантах требуется:

, заданную таблично, аппроксимировать

;

;

.

2. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности.

3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).

4. Для каждой зависимости построить линию тренда.

5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики
зависимости y от x.

6. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи
функции ЛИНЕЙН.

.

8. Написать программу на одном из языков программирования и сравнить
результаты счета с полученными выше.

2. Расчетные формулы.

2.1 Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает
необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между
величинами x и y , которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y
производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений:

будем называть эмпирическими или опытными значениями.

Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее
аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически
важная задача – найти эмпирическую формулу

(2.1.1)

.

, и далее определяются наилучшие значения параметров.

.

до графика эмпирической функции.

считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной
эмпирической функции от заданных значений функции

(2.1.2)

будет минимальной.

Поясним геометрический смысл метода наименьших квадралтов.

до графика функции (2.1.1) была наименьшей.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего
вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y , то
вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение
отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор
эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя
в предметной области, используя которые он может указать класс функций
из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение
полученных данных в декартовых или в специальных системах координат
(полулогарифмической, логарифмической и т.д.). По положению точек можно
примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между
построенным графиком и образцами известных кривых.

входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными
аналитическими методами.

:

(2.1.3)

сводится к решению системы (2.1.3).

, тогда система (2.1.3) – будет линейной.

система (2.1.3) примет вид:

(2.1.4)

Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом
Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).

система (2.1.3) примет вид:

(2.1.5)

2.2 Линеаризация экспоненциальной зависимости.

В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию в которую
неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу
удается линеаризовать, т.е. свести к линейной. К числу таких
зависимостей относится экспоненциальная зависимость

(2.2.1)

неопределенные коэффициенты.

Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (2.2.1), после
чего получаем соотношение

(2.2.2)

.

2.3 Элементы теории корреляции.

в качестве основы для расчетов.

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми
случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может
быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

, (2.3.1)

( среднее арифметическое значение соответственно по x и y.

к 1, тем теснее линейная связь между x и y.

В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения
располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве
характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное
отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой
зависимости.

Корреляционное отношение вычисляется по формуле:

, (2.3.2)

.

используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.

Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи y с x в
какой угодно форме, но не может дать представления о степени
приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить
насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные вводится
еще одна характеристика ( коэффициент детерминированности.

.

Можно доказать следующее равенство

.

и называется остаточной суммой квадратов. Оно характеризует отклонение
экспериментальных данных от теоретических.

и называется регрессионной суммой квадратов и оно характеризует разброс
данных.

.

Коэффициент детерминированности определяется по формуле:

. (2.3.3)

, который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью
регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он
равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия
между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае,
если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии
неудачно для предсказания значений y.

то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно
отражает эмпирические данные.

3. Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel.

Вариант №22

Функция y=f(x) задана таблицей 1

Таблица 1

Исходные данные.

12.85 154.77 9.65 81.43 7.74 55.86 5.02 24.98 1.86 3.91

12.32 145.59 9.63 80.97 7.32 47.63 4.65 22.87 1.76 3.22

11.43 108.37 9.22 79.04 7.08 48.03 4.53 20.32 1.11 1.22

10.59 100.76 8.44 61.76 6.87 36.85 3.24 9.06 0.99 1.10

10.21 98.32 8.07 60.54 5.23 25.65 2.55 6.23 0.72 0.53

Требуется выяснить – какая из функций – линейная, квадратичная или
экспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную
таблицей 1.

Решение.

существует функциональная зависимость.

Для проведения расчетов данные целесообразно расположить в виде таблицы
2, используя средства табличного процессора Microsoft Excel.

Таблица 2

Расчет сумм.

Поясним как таблица 2 составляется.

.

.

Шаг 3. В ячейку C2 вводим формулу =A2^2.

Шаг 4. В ячейки C3:C26 эта формула копируется.

Шаг 5. В ячейку D2 вводим формулу =A2*B2.

Шаг 6. В ячейки D3:D26 эта формула копируется.

Шаг 7. В ячейку F2 вводим формулу =A2^4.

Шаг 8. В ячейки F3:F26 эта формула копируется.

Шаг 9. В ячейку G2 вводим формулу =A2^2*B2.

Шаг 10. В ячейки G3:G26 эта формула копируется.

Шаг 11. В ячейку H2 вводим формулу =LN(B2).

Шаг 12. В ячейки H3:H26 эта формула копируется.

Шаг 13. В ячейку I2 вводим формулу =A2*LN(B2).

Шаг 14. В ячейки I3:I26 эта формула копируется.

.

Шаг 15. В ячейку A27 вводим формулу =СУММ(A2:A26).

Шаг 16. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ(B2:B26).

Шаг 17. В ячейку C27 вводим формулу =СУММ(C2:C26).

Шаг 18. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ(D2:D26).

Шаг 19. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ(E2:E26).

Шаг 20. В ячейку F27 вводим формулу =СУММ(F2:F26).

Шаг 21. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ(G2:G26).

Шаг 22. В ячейку H27 вводим формулу =СУММ(H2:H26).

Шаг 23. В ячейку I27 вводим формулу =СУММ(I2:I26).

воспользуемся системой

Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, B27,
C27 и D27, запишем систему в виде

.

.

Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel.
Результаты представлены в таблице 3.

Таблица 3

Результаты коэффициентов линейной аппроксимации.

В таблице 3 в ячейках A37:B38 записана формула {=МОБР(A33:B34)}.

В ячейках D37:D38 записана формула {=МУМНОЖ(A37:B38;C33:C34)}.

воспользуемся системой

Используя итоговые суммы таблицы 2,

расположенные в ячейках A27, B27, C27, D27, E27, F27 и G27 запишем
систему в виде

.

Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид

.

Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel.
Результаты представлены в таблице 4.

Таблица 4

Результаты коэффициентов квадратичной аппроксимации.

В таблице 4 в ячейках E38:G40 записана формула {=МОБР(E33:G35)}.

В ячейках I38:I40 записана формула {=МУМНОЖ(E38:G40;H33:H35)}.

и используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27,
C27, H27 и I27 получим систему

.

.

.

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид

.

Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel.
Результаты представлены в таблице 5.

Таблица 5

Результаты коэффициентов экспоненциальной аппроксимации.

В таблице 5 в ячейках D45:E46 записана формула {=МОБР(D42:943)}.

В ячейках G45:G46 записана формула {=МУМНОЖ(D45:E46;F42:F43)}.

В ячейке G47 записана формула =EXP(G45).

по формулам:

средствами Microsoft Excel представлены в таблице 6.

Таблица 6

Вычисление средних значений X и Y.

В ячейке F49 записана формула =A26/25.

В ячейке F50 записана формула =B26/25.

Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент
детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы 7,
которая является продолжением таблицы 2.

Таблица 7

Вычисление остаточных сумм.

Поясним как таблица 7 составляется.

Ячейки A2:A27 и B2:B27 уже заполнены (см. табл. 2).

Далее делаем следующие шаги.

Шаг 1. В ячейку J2 вводим формулу =(A2-$F$49)*(B2-$F$50).

Шаг 2. В ячейки J3:J26 эта формула копируется.

Шаг 3. В ячейку K2 вводим формулу =(A2-$F$49)^2.

Шаг 4. В ячейки K3:K26 эта формула копируется.

Шаг 5. В ячейку L2 вводим формулу =(B2-$F$50)^2.

Шаг 6. В ячейки L3:L26 эта формула копируется.

Шаг 7. В ячейку M2 вводим формулу =($D$37+$D$38*A2-B2)^2.

Шаг 8. В ячейки M3:M26 эта формула копируется.

Шаг 9. В ячейку N2 вводим формулу

=($I$38+$I$39*A2+$I$40*A2^2-B2)^2.

Шаг 10. В ячейки N3:N26 эта формула копируется.

Шаг 11. В ячейку O2 вводим формулу

=($G$47*EXP($G$46*A2)-B2)^2.

Шаг 12. В ячейки O3:O26 эта формула копируется.

.

Шаг 13. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ(J2:J26).

Шаг 14. В ячейку K27 вводим формулу =СУММ(K2:K26).

Шаг 15. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ(L2:L26).

Шаг 16. В ячейку M27 вводим формулу =СУММ(M2:M26).

Шаг 17. В ячейку N27 вводим формулу =СУММ(N2:N26).

Шаг 18. В ячейку O27 вводим формулу =СУММ(O2:O26).

Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле

(только для линейной аппроксимации)

. Результаты расчетов средствами Microsoft Excel представлены в таблице
8.

Таблица 8

Результаты расчета.

В таблице 8 в ячейке D53 записана формула =J27/(K27*L27)^(1/2).

В ячейке D54 записана формула =1- M27/L27.

В ячейке D55 записана формула =1- N27/L27.

В ячейке D56 записана формула =1- O27/L27.

Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация
наилучшим образом описывает экспериментальные данные.

4. Построение графиков в Excel и использование функции ЛИНЕЙН.

Рассмотрим результаты эксперимента, приведенные в исследованном выше
примере.

Исследуем характер зависимости в три этапа:

Построим график зависимости.

).

Получим числовые характеристики коэффициентов этого уравнения.

Рис.4.1. График зависимости y от x

Рис.4.2. График линейной аппроксимации

Рис.4.3. График квадратичной аппроксимации.

Рис.4.4. График экспоненциальной аппроксимации.

с дальнейшей линеаризацией.

Таблица 9

5. Программа на языке Pascal.

5.1. Схема алгоритма.

Рис.5.1. Блок-схема

program Kramer;

uses CRT;

const

n=25;

type

TArrayXY = array[1..2,1..n] of real;

TArray = array[1..n] of real;

var

SumX,SumY,SumX2,SumXY,SumX3,SumX4,SumX2Y,SumLnY,SumXLnY: real;

OPRlin,OPRkvadr,OPRa1,OPRa2,OPRa3:real;

a1lin,a2lin,a1kvadr,a2kvadr,a3kvadr,a1exp,a2exp,cexp:real;

Xsr,Ysr,S1,S2,S3,Slin,Skvadr,Sexp:real;

Kkor,KdetLin,KdetKvadr,KdetExp:real;

i:byte;

const

ArrayXY:TArrayXY=((12.85,12.32,11.43,10.59,10.21,9.65,9.63,9.22,8.44,8.0
7,7.74,7.32,7.08,6.87,5.23,5.02,4.65,4.53,3.24,2.55,1.86,1.76,1.11,0.99,
0.72) , (154.77

145.59,108.37,100.76,98.32,81.43,80.97,79.04,61.76,60.54,55.86,47.63,48.
03,36.85,25.65,24.98,22.87,20.32,9.06,6.23,3.91,3.22,1.22,1.10,0.53));

begin

ClrScr;

SumX:=0.0;

SumY:=0.0;

SumXY:=0.0;

SumX2:=0.0;

SumX3:=0.0;

SumX4:=0.0;

Вычисление сумм x, y, x*y, x^2, x^3, x^4, (x^2)*y, Ln(y), x*Ln(y) }

for i:=1 to n do

begin

SumX:=SumX+ArrayXY[1,i];

SumY:=SumY+ArrayXY[2,i];

SumXY:=SumXY+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[2,i];

SumX2:=SumX2+sqr(ArrayXY[1,i]);

SumX3:=SumX3+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i];

SumX4:=SumX4+sqr(ArrayXY[1,i])*sqr(ArrayXY[1,i]);

SumX2Y:=SumX2Y+sqr(ArrayXY[1,i])*ArrayXY[2,i];

SumLnY:=SumLnY+ln(ArrayXY[2,i]);

SumXLnY:=SumXLnY+ArrayXY[1,i]*ln(ArrayXY[2,i])

end;

{ Вычисление коэффициентов }

OPRlin:=0.0;

a1lin:=0.0;

a2lin:=0.0;

a1kvadr:=0.0;

OPRkvadr:=0.0;

a2kvadr:=0.0;

a2kvadr:=0.0;

a1exp:=0.0;

a2exp:=0.0;

OPRlin:=n*SumX2-SumX*SumX;

a1lin:=(SumX2*SumY-SumX*SumXY)/OPRlin;

a2lin:=(n*SumXY-SumX*SumY)/OPRlin;

OPRkvadr:=n*SumX2*SumX4+SumX*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX3-
SumX2*SumX2*SumX2-n*SumX3*SumX3-SumX*SumX*SumX4;

a1kvadr:=(SumY*SumX2*SumX4+SumX*SumX2Y*SumX3+SumX2*SumXY*SumX3-
SumX2*SumX2*SumX2Y-SumY*SumX3*SumX3-SumX*SumXY*SumX4)/OPRkvadr;

a2kvadr:=(n*SumXY*SumX4+SumY*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX2Y-SumX2*SumX2*
SumXY-n*SumX3*SumX2Y-SumY*SumX*SumX4)/OPRkvadr;

a3kvadr:=(n*SumX2*SumX2Y+SumX*SumXY*SumX2+SumY*SumX*SumX3-SumY*SumX2*Su
mX2-n*SumXY*SumX3-SumX*SumX*SumX2Y)/OPrkvadr;

a2exp:=(n*SumXLnY-SumX*SumLnY)/OPRlin;

cexp:=(SumX2*SumLnY-SumX*SumXLnY)/OPRlin;

a1exp:=exp(cexp);

{ Вычисление средних арифметических x и y }

Xsr:=SumX/n;

Ysr:=SumY/n;

S1:=0.0;

S2:=0.0;

S3:=0.0;

Slin:=0.0;

Skvadr:=0.0;

Sexp:=0.0;

Kkor:=0.0;

KdetLin:=0.0;

KdetKvadr:=0.0;

KdetExp:=0.0;

for i:=1 to n do

begin

S1:=S1+(ArrayXY[1,i]-Xsr)*(ArrayXY[2,i]-Ysr);

S2:=S2+sqr(ArrayXY[1,i]-Xsr);

S3:=S3+sqr(ArrayXY[2,i]-Ysr);

Slin:=Slin+sqr(a1lin+a2lin*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]);

Skvadr:=Skvadr+sqr(a1kvadr+a2kvadr*ArrayXY[1,i]+a3kvadr*ArrayXY[1,i]*Arr
ayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]);

Sexp:=Sexp+sqr(a1exp*exp(a2exp*ArrayXY[1,i])-ArrayXY[2,i]);

end;

{ Вычисление коэффициентов корреляции и детерминированности }

Kkor:=S1/sqrt(S2*S3);

KdetLin:=1-Slin/S3;

KdetKvadr:=1-Skvadr/S3;

KdetExp:=1-Sexp/S3;

{ Вывод результатов }

WriteLn(‘Линейная функция’);

WriteLn(‘a1=’,a1lin:8:5);

WriteLn(‘a2=’,a2lin:8:5);

WriteLn(‘Квадратичная функция’);

WriteLn(‘a1=’,a1kvadr:8:5);

WriteLn(‘a2=’,a2kvadr:8:5);

WriteLn(‘a3=’,a3kvadr:8:5);

WriteLn(‘Экспоненциальная функция’);

WriteLn(‘a1=’,a1exp:8:5);

WriteLn(‘a2=’,a2exp:8:5);

WriteLn(‘c=’,cexp:8:5);

WriteLn(‘Xcp=’,Xsr:8:5);

WriteLn(‘Ycp=’,Ysr:8:5);

WriteLn(‘Коэффициент корреляции ‘,Kkor:8:5);

WriteLn(‘Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация)
‘,KdetLin:2:5);

WriteLn(‘Коэффициент детерминированности (квадратическая аппроксимация)
‘,KdetKvadr:2:5);

WriteLn(‘Коэффициент детерминированности (экспоненциальная
аппроксимация) ‘,KdetExp:2:5);

end.

5.2. Результаты расчета Pascal.

Коэффициенты линейной функции

a1=-24.73516

a2=11.63471

Коэффициенты квадратичной функции

a1= 1.59678

a2=-0.62145

a3= 0.95543

Коэффициенты экспоненциальной функции

a1= 1.65885

a2= 0.40987

c= 0.50613

Xcp= 6.52320

Ycp=51.16040

Коэффициент корреляции 0.96196

Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация) 0.92537

Коэффициент детерминированности (квадратическая аппроксимация) 0.99409

Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация) 0.02691

Заключение.

Сделаем заключение по результатам полученных данных:

1. Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная
аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные т.к.
согласно таблице 8 коэффициент корреляции – 0,9620; Коэффициенты
детерминированности линейной аппроксимации – 0,9253; квадратической
аппроксимации – 0,994; экспоненциальной аппроксимация – 0,0269.

2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН видим что
они полностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает
на то, что вычисления верны.

3. Полученное при построении линии тренда значение коэффициента
детерминированности для экспоненциальной зависимости не совпадает с
истинным значением поскольку при вычислении коэффициента
детерминированности используются не истинные значения y, а
преобразованные значения ln(y) с дальнейшей линеаризацией.

4. Результаты полученные с помощью программы на языке PASCAL полностью
совпадают со значениями приведенными выше. Это говорит о верности
вычислений.

Список литературы.

Ахметов К.С. Windows 95 для всех. – М.:ТОО “КомпьютерПресс”, 1995.

Вычислительная техника и программирование. Под ред. А.В. Петрова. М.:
Высшая школа, 1991.

Гончаров A., Excel 97 в примерах. — СПб: Питер, 1997.

Левин А., Самоучитель работы на компьютере. – М.: Международное
агентство А.Д.Т., 1996.

Информатика: Методические указания к курсовой работе.
Санкт-Петербургский горный институт. Сост. Д.Е. Гусев, Г.Н. Журов. СПб,
1999

PAGE

PAGE 5

PAGE 8

PAGE

PAGE 29

Конец

Вывод полученных результатов на экран.

Вычисление коэффициентов корреляции и детерминированности по формулам
(2.3.1.) и (2.3.3.) соответственно.

Вычисление среднего арифметического x и y

Аппроксимация функции y=f(x) линейной, квадратичной и экспоненциальной
функциями

.

Ввод исходных значений x(i) и y(i) согласно таблице 1

Начало

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020