Реферат по математическому анализу
на тему:
«Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента».
Выполнил: студент МГТУ им. Баумана
группа Э2 –11
Тимофеев Дмитрий
Преподаватель:
Москва 2004.
Введение
Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала
введём понятие векторной функции скалярного аргумента.
Определение 1. Если каждому значению независимого переменного t(T(R ,
называемого далее скалярным аргументом, поставить в соответствие
единственный вектор r(t), то r(t) называют вектор-функцией скалярного
аргумента. Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называют
радиус-векторм.
Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная
декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k.
Тогда представление
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
является разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t),
y(t), z(t) – действительные функции одного действительного переменного
t с общей областью определения T(R , называемые координатными функциями
вектор-функции r(t).
Понятие кривой
Введём теперь термин «кривой». Его строге определение связано с понятием
вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a, b]
. Пусть в трёхмерном пространстве R3 задана прямоугольная декартова
система координат Oxyz с ртонормированным базисом {i, j, k}.
Определение 2. Множество Г(R3 точек, заданных радиус-векторм r(t) =
x(t)i + y(t)j + z(t)k, t([a, b] соответствующим непрерывной на отрезке
[a, b] вектор-функции r(t) называют непрерывной кривой, или просто
кривой, а аргумент t – параметром кривой.
При фиксированном значении t = t0 ( [a, b] параметра значения x(t0),
y(t0), z(t0) являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же
кривая может иметь как векторное так и координатное представление
Г = {r ( R3 : r = r(t), t([a, b] },
Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t([a, b] }
Заданную таким образом кривую называют годографом вектор-функции r(t),
поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве конец вектора
при изменении параметра t.
Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с
уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну из
координат, можно через него попытаться выразить из этой системы
уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет
записать
Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t([c, d] }.
Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения
параметра t. Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной
и конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r(a) и
r(b) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной
точкой, то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую
кратных точек при t((a, b) называют простым замкнутым контуром.
Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.
Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy, то
координатное представление плоской кривой Г имеет вид:
Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t([a, b] }.
причём равенство z=0 обычно опускают и пишут
Г = {(x; y) ( R2 : x = x(t), y = y(t), t([a, b] }.
.
График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской
кривой с координатным представлением Г = {(x; y) ( R2 : x = x, y = f(x),
x([c, d] }.
В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . Плоская кривая
является годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j или r(x) = xi
+ f(x)j соответсвенно.
Кривизна плоской кривой.
Длина дуги иеё производная.
В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь на
которое и было дано строгое определение кривой и её частного случая –
плоской кривой. В данном пункте дадим определение длины дуги и найдём её
дифференциал.
Пусть дуга кривой M0M (рис. 1) есть график функции y=f(x),
определённой на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.
Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, … , Mi-1, Mi…, Mn-1, M.
Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M0 M1M2… Mi-1
Mi…Mn-1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этой ломаной линии
через Pn.
Найдём выражение дифференциала дуги.
3). При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е.
s есть функция x. Найдём производную s по x.
, поступим следующим образом:
= ((x)2 +((y)2. Умножим и разделим левую часть на(s2:
Разделим все члены равенства на (x2:
Для дифференциала дуги получим следующее выражение:
Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая
задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и в том случае,
когда кривая задана параметрически:
.
Кривизна
Первая производная функции даёт нам простейшую характеристику линии
y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана с
другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой
кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.
Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет
определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в
каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через ( угол,
образованный этими касательными, или – точнее – угол поворота
касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол
называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт
представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую
длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4).
рис. 5
Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности
к длине соответствующей дуги.
Определение 4. Средней кривизной Кср дуги (АВ называется отношение
соответствующего угла смежности ( к длине дуги:
Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для
того чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии в
непосредственной близости к данной точке А, введём понятие кривизны в
данной точке.
Определение5. Кривизной Ка линии в данной точке А называется предел
средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:
Вычисление кривизны
Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке
M(x, y). При этом будем предполагать, что кривая задана в декартовой
системе координат уравнением вида y=f(x) и что функция имеет
непрерывную вторую производную.
Длину дуги (M0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0,
обозначим через s; тогда (s = (M0M1 – (M0M, а((s( = (MM1. Как видно
из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге (MM1 равен
абсолютной величине разности углов ( и (+((, то есть равен ((((.
.
Так как величины ( и s зависят от x, то, следовательно, ( можно
рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана
параметрически с помощью параметра x. Тогда
.
.
.
, то
, получаем
.
Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая
производная, можно вычислить кривизну по формулам.
Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.
Пусть кривая задана параметрически: x=((t), y=((t). Тогда
Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем
.
Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.
Пусть кривая задана уравнением вида ( = f((). Запишем формулы перехода
от полярных координат к декартовым: x = ( cos (, y = ( sin ( .
Если в эти формулы подставить вместо ( его выражение через (, то есть
f((), то получим
x = f(() cos (, y = f(() sin (
Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения
кривой, причём параметром является (.
Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для
вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах:
Радиус и круг кривизны
Определение 7. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М,
называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R =
1/K, или
Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону
вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу
R кривизны кривой в точке М.
Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С
(проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в
точке М.
Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна
кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы,
определяющие координаты центра кривизны.
Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x,
y) и определим координаты ( и ( центра кривизны, соответствующего
этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке
М:
.
Далее, точка C((, () находится от точки М на расстоянии, равном
радиусу кривизны R:
Решив совместно уравнения * определим (, (:
, то
Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в
последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0 и y!!0
, то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, (>y (рис. 9) и
поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае (y!!(=
y!!, формулы координат центра запишем в следующем виде:
(1)
Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и в случае
y!!Примеры
1. Найдём кривизну параболы y = x2 в любой её точке.
; в частности кривизна параболы в её вершине равна 2.
2. Найдём кривизну прямой y = ax + b в её произвольной точке.
По формуле вычисления кривизны получаем результат К=0, означающий, что
прямая представляет собой «линию нулевой кривизны».
3. Найдём уравнения эволюты параболы y = x2 .
Исключив параметр x, найдём уравнение эволюты в явном виде:
в её произвольной точке.
, получим:
.
Вычислим производные от x и y по t:
:
.
.
Список использованной литературы
Н. С. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1,
«Наука», 1985.
А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович, Краткий курс математического анализа,
«Наука», 1966.
Е. Е. Иванова, Дифференциальное исчисление функций одного переменного,
Издательство МГТУ им. Баумана, 1999.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк, Основы математического анализа, ч. 1,
«Наука», 1982.
Б. П. Демидович, Задачи и упражнения по математическому анализу,
«Интеграл – пресс», 1997.
PAGE
PAGE 12
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
