.

Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 2534
Скачать документ

ХАКАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Н.Ф. КАТАНОВА

ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И МАТЕМАТИКИ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МПМ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010100 – МАТЕМАТИКА

Изучение элементов современной

алгебры, на примере подгрупп

симметрических групп, на

факультативных занятиях по

математике

Дипломная работа

Студент-дипломник _________________________________________

Научный руководитель ______________________________________

Рецензент _________________________________________________

«Допустить к защите»

Зав. кафедрой _________

«___»__________ 2000 г.

Абакан, 2000

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение …………………………………………………………………………………………………………………………… 04

Глава 1. Подгруппы симметрических групп ………………………………………… 08

1.1. Основные понятия и определения …………………………………………… 09

1.2. Теоремы о подгруппах ……………………………………………………………………… 10

1.3. Знакопеременная группа ………………………………………………………………… 14

1.4. Теорема Лагранжа ………………………………………………………………………………… 15

1.5. Следствия из теоремы Лагранжа ……………………………………………… 18

1.6. Задачи …………………………………………………………………………………………………………… 19

Глава 2. Использование элементов современной алгебры на

факультативных занятиях …………………………………………………………………………… 29

2.1. Элементы современной алгебры, как средство раз-

вития абстрактного мышления учащихся старших

классов ……………………………………………………………………………………………………………… 29

2.1.1. Мышление и его развитие ………………………………………………… 29

2.1.2. Особенности формирования мышления в старшем

школьном возрасте …………………………………………………………………………… 31

2.1.3. Необходимость развития мышления старшеклас-

сников в процессе обучения …………………………………………………… 33

2.1.4. Развитие абстрактного мышления учащихся

старших классов средствами современной алгебры 34

2.2. Изучение элементов теории групп на факультатив-

ных занятиях по математике …………………………………………………………… 37

2.2.1. Роль факультативов в процессе обучения ма-

тематике …………………………………………………………………………………………………… 37

2.2.2. Характерные особенности факультативных за-

нятий по математике ……………………………………………………………………… 39

2.2.3. Элементы теории групп на факультативных

занятиях …………………………………………………………………………………………………… 42

2.2.3.1. Целесообразность введения элементов

теории групп в программу факультативных

курсов ………………………………………………………………………………………………… 42

2.2.3.2. Программа и содержание занятий факуль-

тативного курса «Элементы современной ал-

гебры» ………………………………………………………………………………………………… 43

2.3. Организация и результаты экспериментальной ра-

боты по внедрению в школьное обучение факульта-

тивного курса «Элементы современной алгебры» …………… 53

Заключение ……………………………………………………………………………………………………………………… 59

Литература ……………………………………………………………………………………………………………………… 60

Приложения ……………………………………………………………………………………………………………………… 63

ВВЕДЕНИЕ

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе,
является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры
современного человека.

В течение многих столетий математика является неотъемлемым элементом
системы общего образования. Объясняется это уникальностью роли учебного
предмета «Математика» в формировании личности. Образовательный и
развивающий потенциал математики огромен. В современном обучении
математика занимает весьма значительное место.

Изучение основ математики в современных условиях становится все более
существенным элементом общеобразовательной подготовки молодого
поколения. В настоящее время внимание к школьному математическому
образованию усиливается [9], [14].

Содержание школьного курса математики и методика его преподавания –
извечный предмет незатихающих и подчас бурных споров. Чему и как учить в
школе, по-видимому, всегда будет принадлежать к числу вечных проблем,
которые постоянно возникают даже после того, как им дано решение, лучшее
по сравнению с предыдущим. И это неизбежно, поскольку непрерывно
пополняются наши научные знания и подходы к объяснению окружающих нас
явлений. Несомненно, что содержание школьного преподавания должно
изменяться с процессом науки, несколько отставая от него и давая
возможность новым научным идеям и концепциям принять приемлемые в
психологическом и методическом отношении формы. Периодическое обновление
содержания школьного курса математики – необходимый элемент развития
общего образования [1], [4], [19], [20].

Совершенно ясно, что начальное и среднее математическое образование со
своими неизменными программами и методами полностью оторвано от
современной математической науки, от ее фундаментальных концепций, идей,
от ее приложений. Современная школьная программа по математики сложилась
в прошлом веке. Она катастрофическим образом отстает от требований
современной жизни.

Бурное развитие всех отраслей техники и связанный с этим новый этап в
развитии математики как науки начинает настоятельно влиять на школу.
Наступило время серьезного пересмотра содержания школьного обучения,
причем начать следует с критического анализа материала программы
сложившегося в настоящее время школьного курса математики. Нужно
отметить, что с точки зрения новых требований в школе наша действующая
программа по математике содержит много такого, что не имеет серьезного
теоретического и практического значения. В школе уделяется слишком много
внимания факторам и методам, не имеющим значения для практической
деятельности в любой области [20].

Математика, действительно полезная в настоящее время, – это современная
математика. Она имеет наибольший шанс быть созвучной умственным запросам
современных детей. Поэтому, особенно назрела необходимость внедрения в
школьное обучение элементов современной математики.

На наш взгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное
преподавание элементов современной абстрактной алгебры.

Начавшийся в нашем веке процесс алгебраизации математики не
прекращается, а это вызывает упорные попытки введения в школьное
математическое образование основных алгебраических понятий. Естественно,
что здесь на первый план выдвигается теория групп, во-первых, ввиду той
фундаментальной роли, которую группы играют в современной математике,
во-вторых, ввиду относительной простоты этого понятия. Математическая
глубина и необычайно широкая сфера применения теории групп сочетаются с
простотой ее основных положений – понятий группы, целый ряд важных
теорем можно сформулировать и доказать, обладая начальными
представлениями в области теории множеств. Поэтому теория групп как
нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец
современной математики [3], [7].

Кроме того, изучение элементов теории групп полезно для школьников,
способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и
обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а
также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке.

В связи с этим проблема нашего исследования заключается в разработке и
апробации факультативного курса «элементы современной алгебры для
учащихся старших классов, обоснование возможности и целесообразности
внедрения элементов современной алгебры в школьное математическое
образование.

Цель исследования – выявление возможностей введения элементов
современной алгебры в программу факультативных курсов для учащихся
9-10-х классов, обоснование целесообразности и доступности данного
учебного материала и влияние его на развитие абстрактного мышления
школьников.

Объект исследования – элементы современной алгебры в программе
факультативных курсов по математике.

Предмет исследования – теория групп на факультативных занятиях и влияние
этой теории на развитие абстрактного мышления школьников.

Гипотеза исследования – введение элементов современной алгебры в
программу факультативных курсов по математики для учащихся старших
классов целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного
мышления, если осуществляется систематическая и планомерная работа с
учащимися.

В соответствии с целью и гипотезой в ходе исследования решались
следующие задачи:

на основе анализа литературы обосновать возможность и целесообразность
использования элементов современной алгебры на факультативных занятиях;

провести психолого-педагогический анализ развития абстрактного мышления
учащихся старших классов;

разработать в рамках факультативного курса «Элементы современной
алгебры» занятия по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических
групп», а также разработать программу небольшого факультативного курса
«Элементы теории групп. Симметрические группы»;

экспериментально проверить эффективность внедрения в программу
факультативных курсов по математике элементов теории групп.

Методы исследования: анализ математической, методической и
психолого-педагогической литературы по данной теме; отбор учебного
материала для использования на факультативных занятиях; осуществление
педагогического эксперимента.

Экспериментальная база исследования – национальная гимназия им. Н.Ф.
Катанова (г. Абакан, Республика Хакасия).

Результаты исследования обсуждались на семинарах, доказывались на
научно-практической конференции «Катановские чтения» в апреле 2000 года.

Структура дипломной работы. Работа состоит из введения, двух глав,
заключения, списка использованной литературы и приложений.

ГЛАВА 1. ПОДГРУППЫ СИММЕТРИЧЕСКИХ ГРУПП

В жизни современного общества очень важную роль играет математика. В
настоящее время математика находит широкое применение при решении самых
разнообразных проблем науки и практики. Особенно велика роль современной
математики.

Одной из наиболее важных и быстро развивающихся областей современной
математики является абстрактная алгебра.

В центре внимания современной абстрактной математики не только такие
алгебраические структуры, как группы, подгруппы, полугруппы, кольца и
так далее, ставшие уже классическими, и их далеко идущие обобщения, но и
объекты новой природы [27].

Одним из основных разделов современной алгебры является теория групп.
Группы – это один из основных типов алгебраических структур.

Понадобилась работа нескольких поколений математиков, занявшая в общей
сложности около ста лет, прежде чем идея группы вы кристаллизировалась с
ее сегодняшней ясностью.

Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела
математики в конце XVIII века. В течение первый десятилетий XIX века она
развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимания. Но
затем, около 1830 года, благодаря работам Галуа и Абеля о разрешимости
алгебраических уравнений всего за несколько лет она совершила гигантский
скачок, который оказал глубокое влияние на развитие всей математики. С
тех пор основные понятия теории групп стали детально исследоваться [3].

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей
алгебры, имеющей многочисленные применения как в самой математике, так и
за ее пределами – в топологии, теории функций, кристаллографии,
квантовой механике и других областях математики и естествознания.

Понятие группы тесно связано с понятием подгруппы. Слово «подгруппа»
означает «группа внутри группы».

Понятие подгруппы является основным в теории групп. Все содержание
теории связано в большей или меньшей степени с вопросами о наличии в
группе подгрупп с теми или иными специальными свойствами, о группах,
которые могут быть вложены в данную группу, о тех или иных свойствах,
характеризующих взаимное расположение подгрупп в группе, о способах
построения группы по ее подгруппам. Кроме того, с помощью подгрупп можно
описать внутреннюю структуру некоторых групп. Выделение тех или иных
специальных типов групп также связано преимущественно с понятием
подгруппы. Поэтому подгруппы играют особую роль в развитии и применении
теории группы [3], [8].

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение: множество перестановок n-й степени образует по умножению
группу, притом конечную порядка n!. Эта группа называется симметрической
группой n-й степени и обозначается Sn.

Определение: подмножество Н множества Sn называется подгруппой группы
Sn, если оно является группой относительно действия умножения
перестановок.

Такие подмножества играют важную роль для изучения строения группы Sn.

Симметрическая группа Sn имеет много разных подгрупп, причем их число
очень быстро возрастает с увеличением числа n. Полностью описать все
подгруппы группы Sn удается лишь для небольших n, а для n больших
изучаются лишь общие свойства таких подгрупп.

Часто подгруппы симметрической группы Sn называют просто группами
перестановок. В частности, само множество Sn также является своей
подгруппой, то есть группа Sn будет подгруппой самой себя. Кроме того,
множество состоящее лишь из одного единичного элемента, также является
подгруппой, это вытекает из следующих равенств: E*E=E, E-1=E. Такая
подгруппа называется единичной. Для каждой другой подгруппы Н группы Sn
выполняется неравенство: 1<|H| было
подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

;

.

Данная теорема справедлива для бесконечных групп. В случае конечных
групп проверка 2) условия является излишней, то есть для конечных групп
справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: пусть – группа, Н – конечное пустое подмножество G,
замкнутое относительно операции «*», тогда Н является подгруппой группы
G.

Следует также отметить, что каждая группа имеет две особые подгруппы:

все группы содержат в качестве подгруппы множество, состоящее только из
одного нейтрального элемента;

любая группа содержит себя в качестве подгруппы.

Обычно нас будут интересовать подгруппы, отличные от этих особых
подгрупп. Такие подгруппы называются собственными, а две особые группы –
несобственными.

Давайте выполним следующее задание:

I. Дана группа действительных чисел, отличных от нуля относительно
умножения, то есть . Требуется проверить, являются ли
подгруппами этой группы следующие множества:

множество положительных действительных чисел;

множество рациональных чисел, отличных от нуля.

Первый пункт данного задания давайте рассмотрим вместе, а второй пункт
вы попробуете решить самостоятельно.

). Второе условие критерия также выполняется, так как число, обратное
положительному, также положительно. Следовательно, является
подгруппой группы .

Попробуйте теперь сами привести примеры подгрупп (учащиеся приводят
различные примеры подгрупп).

Далее выполним следующие задания:

II. Покажите, что множество всех чисел, кратных 5, образует подгруппу
группы целых чисел по сложению.

III. Является ли множество, состоящее из чисел 1 и –1 подгруппой группы
.

В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения:

I. Поверьте, является ли множество целых чисел подгруппой группы .

II. Является ли множество целых чисел подгруппой группы .

Занятие 2.

Тема: «Подгруппы симметрических групп».

Цели:

познакомить учащихся с теоремой Лагранжа и с теоремой Силова, с методом
нахождения подгрупп симметрических групп;

продолжить развитие абстрактного мышления школьников;

способствовать воспитанию у учащихся наблюдательности.

Ход занятия.

Вы уже знакомы с симметрической группой Sn. Внутреннюю структуру
симметрической группы Sn можно описать с помощью ее подгрупп. Изучение
внутренней структуры симметрической группы позволяет установить ее
многие свойства. Поэтому сегодня на занятии мы с вами будем
рассматривать подгруппы некоторых симметрических групп, познакомимся с
методом отыскания подгрупп.

Для начала следует отметить то, что симметрическая группа Sn имеет много
разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением
числа n. Полностью описать все подгруппы группы Sn удается лишь для
небольших n, а для больших n изучаются общие свойства таких подгрупп.

Нам известно, что симметрическая группа Sn конечна. Поэтому для того,
чтобы подмножество Н группы Sn являлось подгруппой группы Sn, достаточно
чтобы произведение каждых двух элементов из Н также принадлежало Н.

.

Проверим, является ли Н подгруппой группы S4.

.

Следовательно, множество Н не является подгруппой группы S4.

Для нахождения подгрупп некоторой группы удобно пользоваться теоремой
Лагранжа, которая устанавливает связь между порядками групп и подгрупп.

Теорема Лагранжа: если Н – подгруппа группы G, то ее порядок является
делителем порядка G.

Теорема Лагранжа позволяет существенно упростить решение задач,
связанных с описанием всех подгрупп некоторой группы.

Рассмотрим, например, симметрическую группу S3, порядок этой группы
равен 3!=6. По теореме Лагранжа мы можем утверждать, что подгруппы из S3
могут состоять из 2 или 3 перестановок, так как 2 и 3 являются
делителями числа 6. Поэтому нам не нужно проверять являются ли
подгруппами группы S3 подмножества, состоящие из 4 или 5 перестановок.

Даже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть
применение теоремы Лагранжа.

Следует отметить, что утверждение, обратное к теореме Лагранжа не верно.
Например, знакомая вам знакопеременная группа А4 имеет порядок 12, но в
ней нет подгрупп порядка 6.

Кроме того, в теории групп существует теорема Силова, которая также
облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы.

Теорема Силова: пусть G – группа порядка g и h – делитель числа g; если
h=pn, где р – простое число, а n – положительное целое число, то группа
G содержит подгруппу порядка h.

Рассмотрим, например, знакопеременную группу A4, порядок этой группы
равен 12. По теореме Силова мы можем точно утверждать, что группа А4
содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4, так как 2=21, 3=31, 4=22.

Теорема Лагранжа и теорема Силова играют важную роль в теории групп.
Данные теоремы позволяют существенно упростить решение задачи описания
всех подгрупп симметрической группы Sn.

Сейчас я познакомлю вас с методом нахождения подгрупп симметрических
групп. Для этого рассмотрим следующую задачу.

Задачи: опишите все подгруппы симметрической группы S3.

Мы знаем, что порядок группы S3 равен 6. Из теоремы Лагранжа следует,
что подгруппы из S3 могут состоять из 2 или 3 перестановок, а по теореме
Силова такие подгруппы точно существуют.

.

– перестановка второго порядка.

Подгруппы легко находить с помощью таблицы Кэли. Из таблицы умножения
группы S3 (Приложение 1) видно, что подгруппами группы S3 будут
следующие подмножества:

.

.

.

. Кроме того из таблицы следует, что произведение каждых элементов
множества G является элементом из G, то есть выполняется условие теоремы
о подгруппах для конечных групп. Значит, множество G группы S3 является
подгруппой симметрической группы S3.

Таким образом, мы получили, что группа S3 имеет 6 различных подгрупп:

Вы познакомились с методом нахождения подгрупп симметрической группы S3.
Этот же метод используется для отыскания подгрупп симметрической группы
Sn.

В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения.

I. Какие из следующих множеств перестановок образуют подгруппу в группе
S4:

;

.

II. Существует ли в произвольной конечной группе порядка 10 подгруппа
порядка 5.

III. Опишите все подгруппы группы S4, состоящие из трех перестановок.
Сколько их?

Представленные выше 2 занятия по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы
симметрических групп» являются частью большого факультативного курса
«Элементы современной алгебры». Чтобы более подробно изучить данную тему
можно провести небольшой факультативный курс «Элементы теории групп.
Симметрические группы» для учащихся 9-10-х классов.

Программа факультативного курса «Элементы теории групп. Симметрические
группы».

Понятие алгебраического действия. Простейшие свойства действий (6
часов).

Дать определение действия, рассмотреть примеры действий, свойства
действий: коммутативность, ассоциативность, обратимость, сократимость,
существование нейтрального и обратного элементов, познакомить с таблицей
Кэли.

Общие определения группы. Примеры групп (4 часа).

Рассмотреть 2 определения группы, доказать эквивалентность этих
определений, разобрать примеры групп.

Перестановки и симметрические группы (группы перестановок) (8 часов).

Ввести понятие перестановки, рассмотреть умножение перестановок,
свойства умножения перестановок: ассоциативность, обратимость,
единственность, познакомить с разложением перестановок, циклами,
транспозициями, дать определения симметрической и знакопеременной групп.

Подгруппа. Примеры подгрупп. Подгруппы симметрических групп (6 часов).

Познакомить с определением подгруппы, рассмотреть различные примеры
подгрупп, критерий подгрупп, теорему о подгруппах для конечных групп,
теорему Лагранжа и теорему Силова, познакомить с методом нахождения
подгрупп симметрических групп.

Обобщающее занятие (2 часа).

Итоговая проверочная работа (Приложение 2), задается учащимся на дом.

2.3. ОРГАНИЗАЦИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ВНЕДРЕНИЮ В ШКОЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО

КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ»

В данном параграфе будут рассмотрены общие положения, организация и
результаты экспериментальной работы по введению в учебный процесс школы
элементов современной алгебры в рамках факультативного курса.

Мы исходим из понимания экспериментальной работы как специально
организуемой, целенаправленной и контролируемой деятельности группы
студентов по апробированию разработанного факультативного курса в
условиях педагогического процесса школы.

На организационном этапе были определены цель, задачи и методы
исследования, сформулирована гипотеза, в структуре которой было выделено
условие внедрения факультативного курса в учебный процесс.

Экспериментальная работа в школе была определена следующим
методологическими характеристиками:

Тема экспериментальной работы: элементы современной алгебры на
факультативных занятиях по математике.

Объект – элементы современной алгебры в программе факультативных курсов
по математике.

Предмет – элементы теории групп, на примере понятия подгруппы, на
факультативных занятиях по математике.

Цель экспериментального исследования обосновать целесообразность и
возможность введения элементов современной алгебры в программу
факультативных курсов.

Гипотеза эксперимента – введение элементов современной алгебры в
программу факультативных курсов по математики для учащихся старших
классов целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного
мышления, если осуществляется систематическая и планомерная работа с
учащимися.

Задачи эксперимента:

Экспериментально проверить возможность введения разработанного
факультативного курса в школьное обучение;

Разработать и апробировать факультативный курс «Элементы современной
алгебры»;

Проанализировать уровень усвоения учащимися предложенного на
факультативе учебного материала;

Сделать выводы на основании экспериментальных данных.

Экспериментальная база – национальная гимназия им. Н.Ф. Катанова (г.
Абакан, Республика Хакасия).

Этапы эксперимента:

подготовительный – до октября 1999 года;

формирующий эксперимент – с октября 1999 года до февраля 2000 года;

подведение итогов, анализ результатов, формулирование выводов – до
апреля 2000 года.

Методика эксперимента: Изучение математической и методической литературы
по данной теме, наблюдение за ходом факультативных занятий, письменный
опрос школьников, математическая обработка результатов эксперимента.

На подготовительном этапе эксперимента нами была разработана программа
факультативного курса «Элементы современной алгебры», а также содержание
занятий этого факультатива по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы
симметрических групп».

Цель формирующего эксперимента состояла в апробации разработанного нами
факультативного курса, определении продолжительности и количества
занятий, в выявлении отношения учащихся к новому спецкурсу. Занятия
факультатива проводились один раз неделю в течение 5 месяцев, причем
продолжительность одного занятия равнялась академическому часу.

Третий этап эксперимента заключался в проведении среза по выявлению у
учащихся остаточных знаний программы факультатива.

После прослушивания школьниками всего факультативного курса, им была
предложена для выполнения итоговая проверочная работа (Приложение 3).
Данная работа состояла из 26 заданий, причем все задания были разбиты на
4 уровня усвоения занятий, требующих от учащихся различных мыслительных
операций.

Первый уровень (репродуктивный) предполагал выполнение заданий,
требующих воспроизведения знаний без существенных изменений: понятия,
правила, готовые выводы.

Второй уровень (уровень стандартных операций) предполагал оперирование
знаниями в стандартных условиях, то есть по образцу, правилу, указаниям.

Задания третьего уровня (аналитико-синтетического) предусматривали
наличие умений анализировать, синтезировать и обобщать. Для выполнения
заданий такого уровня необходимы существенные преобразования в структуре
приобретенных школьниками знаний, умения в применении навыков логической
обработки учебного материала (выделения главного, умения сравнивать,
доказывать, обобщать и конкретизировать).

Для выполнения заданий четвертого уровня (творческого) было необходимо
умение применять знания в значительно измененных условиях. Задания на
четвертый уровень усвоения этого задания исключительно творческого
характера.

В рамках данной проверочной работы, по темам проведенных мною занятий,
было предложено 3 задания первых трех уровней. Это были следующие
задания:

1) Задание первого уровня.

Пусть – группа, – группа, является ли подгруппой
группы .

2) Задание второго уровня.

является подгруппой группы S3.

3) Задание третьего уровня.

. Проверить, является ли Н подгруппой группы S4.

Результаты проведенной проверочной работы свидетельствуют о том, что
учащиеся справились с предложенными мною заданиями, а значит, успешно
усвоили учебный материал по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы
симметрических групп».

Так, с заданием первого уровня справились почти все учащиеся (85%), хотя
наивысший балл получили лишь несколько школьников. Это связано с тем,
что при выполнении данного задания учащиеся давали лишь только
правильный ответ, не объясняя и не обосновывал его. Хотя встречались
работы, в которых учащиеся очень подробно объясняли свой ответ. В
основном, большинство школьников без особых затруднений выполняют
задания первого уровня.

, что является излишним для конечных групп. Отыскание подгрупп с
помощью этого критерия является не рациональным для конечных групп.

Можно сказать, что в среднем более половины школьников легко выполняют
задания такого уровня. Снижение показателей по сравнению с первым
уровнем обусловлено тем, что для перехода от воспроизведения к
применению знаний необходима соответствующая натренированность учащихся
в применении знаний, чему не всегда уделяется должное внимание. Мы же не
смогли уделить этому внимание из-за отсутствия времени, необходимого для
тренировки учащихся в применении полученных знаний.

Задание третьего уровня выполнили 54% школьников, так как задания такого
типа требуют уже более высокого уровня развития мышления, они
представляют значительную трудность для многих школьников. Как правило,
только треть учащихся из класса без особых затруднений выполняют
подобные задания.

На рисунке 1 представлены данные, полученные в результате проверочной
работы. Данный рисунок отражает только результаты предложенных мною трех
заданий.

Таким образом, результаты проверочной работы показали, что разработанный
нами факультативный курс «Элементы современной алгебры» доступен
пониманию школьников. Следовательно, в ходе формирующего эксперимента
было получено подтверждение гипотезы исследования о возможности
знакомства школьников с элементами современной алгебры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В современных условиях развития общества особую актуальность приобрела
проблема внедрения в школьное математическое образование элементов
современной математики.

Изучение школьных программ и программ факультативных курсов по
математике показало, что, например, элементы современной абстрактной
алгебры, в частности, элементы теории групп в них не включены. Даже
программы факультативных курсов специальных школ не содержат элементов
теории групп. В связи с этим нами был разработан факультативный курс
«Элементы современной алгебры» для учащихся 9-10-х классов.

В процессе исследования были выявлены возможности введения элементов
современной алгебры в программу факультативных курсов, обоснованы
целесообразность и доступность данного учебного материала.

В ходе исследования были изучены основные понятия теории групп, решены
задачи по данной теме, установлено предположение о том, что количество
подгрупп некоторой группы не равно порядку этой группы. Разработано
содержание занятий факультативного курса по теме: «Понятие подгруппы.
Подгруппы симметрических групп».

На основе изучения психолого-педагогической литературы была дана
характеристика процесса развития мышления, сформулированы особенности
формирования мышления в старшем школьном возрасте, обосновано влияние
элементов современной алгебры на развитие абстрактного мышления
старшеклассников.

Результаты проведенного эксперимента показали, что разработанный нами
факультативный курс понятен, доступен и успешно усваивается школьниками,
а также позволяет поднять абстрактное мышление учащихся на новый, более
высокий уровень развития. Все это свидетельствует о том, что выдвинутая
нами гипотеза подтвердилась.

ЛИТЕРАТУРА

Аносов Д.В. Проблемы модернизации школьного курса математики//Математика
в школе. – 2000. – №1. – с.2-4.

Беляков Е. Математика – царица наук? Кажется, этот предмет немного
устарел//Учительская газета. – 1999. – №20.

Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. – М.: Мир, 1971. – 246 с.

Гнеденко Б.В. Статическое мышление и школьное математическое
образование//Математика в школе. – 1999. – №6. – с.5-8.

Историческое введение в теорию Галуа/Сост. Марков С.Н. – Иркутск: ИГУ,
1997. – 20 с.

Каргополов М.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1982. – 288 с.

Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. – М.:
Наука, 1979. – 112 с.

Курош А.Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967. – 648 с.

Концепция математического образования в 12-летней школе//Математика
(приложение к «Учительской газете»). – 2000. – №7. – с.1-5.

Куликов Л.Я. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие
для студентов физ.-мат. специальностей пед. институтов. – М.:
Просвещение, 1993. – 288 с.

Карп А.П. Даю уроки математики…: Книга для учителя. – М.: Просвещение,
1992. – 191 с.

Ляпин Е.С., Айзенштат А.Я. Упражнения по теории групп. – М.: Наука,
1967. – 304 с.

Монахов В.М. Проблемы дальнейшего развития факультативных занятий по
математике//Математика в школе. – 1981. – №6. – с.8-10.

Метельский Н.В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы. –
Минск: Издательство БГУ, 1982. – 256 с.

Методическая разработка по современной алгебре к разделу «Элементы
теории групп и ее приложения»/Сост. Карижская Е.В., Толстова Г.С. – Л.,
1990. – 42 с.

Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики/Сост.
Калягин Ю.М. и др. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с.

Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика/Сост.
Черкасов Р.С., Столяр Е.С. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика/Сост.
Оганесян В.П., Калягин Ю.М. – М.: Просвещение, 1980. – 368 с.

Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике: Проблемы
современной методики математики. – Минск: Университетское, 1989. – 160
с.

На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и
материалов/Сост. Маркушевич А.И. – М.: Просвещение, 1980. – 368 с.

Новое в школьной математике//Сост. Яглом И.М. – М.: Знание, 1972. – 199
с.

Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике. – М.:
Учпедгиз, 1963. – 1999 с.

Поспелов Н.Н., Поспелов И.Н. Фомирование мыслительных операций у
старшеклассников. – М.: Педагогика, 1989. – 152 с.

Панамарчук В.Ф. Школа учит мыслить. – М.: Просвещение, 1979. – 144 с.

Столяр А.А. Педагогика математики. – Минск: Высшая школа, 1986. – 414 с.

Фирсов В.В., Шварцбург С.И. Состояние и перспективы факультативных
занятий по математике. – М.: Просвещение, 1977. – 48 с.

Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. Пер. с венгерского
Данилова Ю.А. – М.: Ми, 1979. – 260 с.

Холл Ю.А. Теория групп. – М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
– 468 с.

Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в
школе. – М.: Просвещение, 1983. – 160 с.

Шварцбург С.И., Фирсов В.В. О характерных особенностях факультативных
занятий//Математика в школе. – 1972. – №1. – с.55-59.

Приложение 1

Таблица умножения симметрической группы S3

Приложение 2

Итоговая проверочная работа по материалу

факультативного курса

«Элементы теории групп. Симметрические группы».

Задания первого уровня

1. Является ли операция сложения алгебраической операцией во множестве
действительных чисел.

2. Какие из следующих преобразований являются перестановками:

.

3. Пусть – группа и <{0}, +> – группа. Проверить, является ли
<{0}, +> подгруппой группы .

Задания второго уровня

1. Выяснить, является ли действием в множествах R+ и N нахождение
среднего арифметического.

.

.

4. Существует ли в конечной группе порядка 8 подгруппа порядка 4.

Задние третьего уровня

1. Проверить, является ли множество рациональных чисел группой по
сложению.

. Проверить, является ли Н подгруппой группы S5.

является группой перестановок.

Задания четвертого уровня

1. Приведите пример четырехэлементной группы.

Приложение 3

Итоговая проверочная работа по материалу факультативного

курса «Элементы современной алгебры».

Задания первого уровня

.

2. Является ли операция умножения алгебраической операцией на множестве
действительных чисел.

3. Дана подгруппа , в ней нашелся элемент –5 такой, что
выполняется соотношение: 5+(-5)+5=5. Является ли элемент 5 регулярным в
подгруппе .

. Из предложенных ниже последовательностей выберите те, которые
являются словами над алфавитом X.

.

6. Пусть – группа, – группа. Является ли подгруппой
группы . Обоснуйте ответ.

7. Какие из следующих преобразований являются перестановками:

.

Задания второго уровня

. Образует ли множество М относительно операции «*» полугруппу.

2. Из операций (+, -, *, /) укажите только те, которые являются
алгебраическими в каждом из числовых множеств (N, Z, Q, R).

3. Дана полугруппа . Проверить, будет ли данная полугруппа
регулярной.

. Из предложенных ниже последовательностей выберите те, которые
являются словами, равными u*(w*v), (u*w)*v:

.

. Найдите слова v и w, удовлетворяющие произведениям.

. Являются ли группами , где «+» операция сложения и , где
«*» операция умножения.

является подгруппой группы S3.

задано таблицей Кэли:

a b c

a a b c

b a b c

c a b c

Верно ли утверждение, что каждый элемент подгруппы делится на каждый
элемент из этой же полугруппы слева.

.

.

Задания третьего уровня

1. Всякая ли регулярная полугруппа является инверсной. Ответ обосновать.

2. Приведите пример полугруппы преобразований, состоящей из трех
элементов.

3. Как вы думаете, будет ли свободная полугруппа свободной группой.
Обоснуйте ответ.

. Проверьте, является ли Н подгруппой группы S4.

задано таблицей Кэли:

* 0 1

0 0 1

1 0 1

Что можно сказать о делимости элементов в полугруппе.

является группой перестановок (по таблице Кэли).

8. Задайте во множестве R операцию *, по которой числа 2 и 3 можно
поставить в соответствие число m и проверить, является ли
полугруппой:

.

Задание четвертого уровня

1. Придумайте фигуру для которой можно составить группу симметрий,
имеющей 4 элемента.

PAGE

PAGE 18

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019