Исследование движений плоскости
и некоторых их свойств
Cодержание
Из истории развития теории движений.
Определение и свойства движений.
Конгруэнтность фигур.
Виды движений.
4.1. Параллельный перенос.
4.2. Поворот.
4.3. Симметрия относительно прямой.
4.4. Скользящая симметрия.
5. Исследование особых свойств осевой симметрии.
6. Исследование возможности существования других видов движений.
7. Теорема подвижности. Два рода движений.
8. Классификация движений. Теорема Шаля.
Движения как группа геометрических преобразований.
Применение движений в решении задач.
Литература.
История развития теории движений.
Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения,
считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547 г. до
н.э.). Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода
практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не
существовало!
Каким же образом проводил Фалес свои доказательства? Для этой цели он
использовал движения.
Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния
между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом
посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.
Именно таким путём Фалес доказал ряд первых теорем геометрии. Если
плоскость повернуть как твёрдое целое вокруг некоторой точки О на 180о,
луч ОА перейдёт в его продолжение ОА’. При таком повороте (его ещё
называют центральной симметрией с центром О) каждая точка А перемещается
в такую точку А’, что О является серединой отрезка АА’ (рис.1).
Рис.1 Рис.2
Пусть О – общая вершина вертикальных углов АОВ и А’ОВ’. Но тогда
ясно, что при повороте на 180о стороны одного из двух вертикальных углов
как раз перейдут в стороны другого, т.е. эти два угла совместятся.
Значит, вертикальные углы равны (рис.2).
Доказывая равенство углов при основании равнобедренного
треугольника, Фалес воспользовался осевой симметрией: две половинки
равнобедренного треугольника он совместил перегибанием чертежа по
биссектрисе угла при вершине (рис.3). Тем же способом Фалес доказал, что
диаметр делит круг пополам.
Рис.3 Рис.4
Применял Фалес и ещё одно движение – параллельный перенос, при котором
все точки фигуры смещаются в определённом направлении на одно и то же
расстояние. С его помощью он доказал теорему, которая сейчас носит его
имя:
если на одной стороне угла отложить равные отрезки и провести через
концы этих отрезков параллельные прямые до пересечения со второй
стороной угла, то на другой стороне угла также получатся равные отрезки
(рис.4).
Во времена античной истории идеей движения пользовался и знаменитый
Евклид, автор «Начал» – книги, пережившей более двух тысячелетий. Евклид
был современником Птолемея I , правившего в Египте, Сирии и Македонии в
305-283 г. до н.э.
Движения в неявном виде присутствовали, например, в рассуждениях Евклида
при доказательстве признаков равенства треугольников: «Наложим один
треугольник на другой таким-то образом». По Евклиду, две фигуры
называются равными, если они могут быть «совмещены» всеми своими
точками, т.е. перемещая одну фигуру как твёрдое целое, можно точно
наложить её на вторую фигуру. Для Евклида движение не было ещё
математическим понятием. Впервые изложенная им в «Началах» система
аксиом стала основой геометрической теории, получившей название
Евклидовой геометрии.
В Новое время продолжается развитие математических дисциплин. В XI веке
создаётся аналитическая геометрия. Профессор математики Болонского
университета Бонавентура Кавальери (1598-1647) издаёт сочинение
«Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых
непрерывного». Согласно Кавальери, любую плоскую фигуру можно
рассматривать как совокупность параллельных линий или «следов», которые
оставляет линия, передвигаясь параллельно самой себе. Аналогично даётся
представление о телах: они образуются при движении плоскостей.
Дальнейшее развитие теории движений связывают с именем французского
математика и историка науки Мишеля Шаля (1793-1880). В 1837 г. он
выпускает труд «Исторический обзор происхождения и развития
геометрических методов». В процессе собственных геометрических
исследований Шаль доказывает важнейшую теорему:
всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо
параллельным переносом, либо поворотом,
всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой
симметрией, либо скользящей симметрией.
Доказательство теоремы Шаля полностью проводится в п.8 данного реферата.
Важным обогащением, которым геометрия обязана XIX веку, является
создание теории геометрических преобразований, в частности,
математической теории движений (перемещений). К этому времени назрела
необходимость дать классификацию всех существующих геометрических
систем. Такую задачу решил немецкий математик Кристиан Феликс Клейн
(1849-1925).
В 1872 г., вступая в должность профессора Эрлангенского университета,
Клейн прочитал лекцию «Сравнительное обозрение новейших геометрических
исследований». Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на
основе теории движений получила название «Эрлангенская программа».
По Клейну, для построения той или иной геометрии нужно задать множество
элементов и группу преобразований. Задача геометрии состоит в изучении
тех отношений между элементами, которые остаются инвариантными при всех
преобразованиях данной группы. Например, геометрия Евклида изучает те
свойства фигур, которые остаются неизменными при движении. Иначе говоря,
если одна фигура получается из другой движением (такие фигуры называются
конгруэнтными), то у этих фигур одинаковые геометрические свойства.
В этом смысле движения составляют основу геометрии, а пять аксиом
конгруэнтности выделены самостоятельной группой в системе аксиом
современной геометрии. Эту полную и достаточно строгую систему аксиом,
подытожив все предыдущие исследования, предложил немецкий математик
Давид Гильберт (1862-1943). Его система из двадцати аксиом, разделённых
на пять групп, была впервые опубликована в 1899 г в книге «Основания
геометрии».
В 1909 г. немецкий математик Фридрих Шур (1856-1932), следуя идеям
Фалеса и Клейна, разработал другую систему аксиом геометрии – основанную
на рассмотрении движений. В его системе, в частности, вместо группы
аксиом конгруэнтности Гильберта предлагается группа из трёх аксиом
движения.
Виды и некоторые важные свойства движений подробно рассматриваются в
данном реферате, коротко же их можно выразить следующим образом:
движения образуют группу, которая задаёт и определяет евклидову
геометрию.
Определение и свойства движений.
При смещении каждой точки данной фигуры каким-либо образом получается
новая фигура. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из
данной. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если
оно сохраняет расстояния между точками, т.е. переводит любые две точки
X и Y одной фигуры в точки X’ и Y’ другой фигуры так, что XY =
X’Y’.
Определение. Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние
между точками, называется движением этой фигуры.
! Замечание: понятие движения в геометрии связано с обычным
представлением о перемещении. Но если, говоря о перемещении, мы
представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут
иметь значение только начальное и конечное (образ) положения фигуры.
Этим геометрический подход отличается от физического.
При движении разным точкам соответствуют разные образы, причём каждой
точке Х одной фигуры ставится в соответствие единственная точка Х’
другой фигуры. Такое преобразование фигур называют взаимно однозначным
или биективным.
Применительно к движениям вместо термина «равенство» фигур (прямых,
отрезков, плоскостей и т.д.) употребляется термин «конгруэнтность» и
используется символ (. Для обозначения принадлежности используется
символ є. С учётом сказанного можно дать более корректное определение
движению:
Движение – это биективное преобразование ? плоскости ?, при котором для
любых
различных точек X, Y є ? выполнено соотношение XY ( ?(X )?(Y).
Результат последовательного выполнения двух движений называется
композицией. Если сначала выполняется движение ?, а следом за ним
движение ?, то композиция этих движений обозначается через ? ? ?.
Самым простым примером движения является тождественное отображение
(принято обозначать – ?), при котором каждой точке Х, принадлежащей
плоскости, сопоставляется сама эта точка, т.е. ?(X) = X.
Рассмотрим несколько важных свойств движений.
Cвойство 1.
Лемма 2.1. Композиция ? ? ? двух движений ?, ? является движением.
Доказательство.
Пусть фигура F переводится движением ? в фигуру F’, а фигура F’
переводится движением ? в фигуру F’’. Пусть при первом движении точка
X фигуры F переходит в точку X’ фигуры F’ , а при втором движении точка
X’ фигуры F’ переходит в точку X’’ фигуры F’’. Тогда преобразование
фигуры F в фигуру F’’, при котором произвольная точка X фигуры F
переходит в точку X’’ фигуры F’’, сохраняет расстояние между точками, а
значит, также является движением.
Заметим, что запись композиции всегда начинается с последнего движения,
т.к. результатом композиции является конечный образ – он и ставится в
соответствие исходному:
X’’= ?(X’) = ?(? (X)) = ? ? ? (X)
Cвойство 2.
Лемма 2.2. Если ? – движение, то преобразование ?-1 также является
движением.
Доказательство.
Пусть преобразование фигуры F в фигуру F’ переводит различные точки
фигуры F в различные точки фигуры F’. Пусть произвольная точка X фигуры
F при этом преобразовании переходит в точку X’ фигуры F’.
Преобразование фигуры F’ в фигуру F, при котором точка X’ переходит в
точку X, называется преобразованием, обратным данному. Для каждого
движения ? можно определить обратное ему движение, которое обозначается
?-1.
Рассуждая аналогично доказательству свойства 1, можно убедиться, что
преобразование, обратное движению, также является движением.
Очевидно, что преобразование ?-1 удовлетворяет равенствам:
f ? f-1 = f-1 ? f = ?, где ? – тождественное отображение.
Свойство 3 (ассоциативность композиций).
Лемма 2.3. Пусть ?1, ?2, ?3 – произвольные движения. Тогда ?1?(?2? ?3)
= (?1??2)??3.
Тот факт, что композиция движений обладает свойством ассоциативности,
позволяет определить степень ? с натуральным показателем n.
Положим ?1 = ? и ?n+1 = ?n ? ?, если n ? 1. Таким образом, движение
?n получается путём n-кратного последовательного применения движения
?.
Cвойство 4 (сохранение прямолинейности).
Теорема 2.1. Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в
точки,
лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их
взаимного
расположения.
Это значит, что если точки A, B, C, лежащие на одной прямой (такие точки
называют коллинеарными), переходят в точки A1, B1, C1, то эти точки
также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка
B1 лежит между точками A1 и C1.
Доказательство.
Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки
A1, B1, C1 лежат на одной прямой.
Если точки A1, B1, C1 не лежат на одной прямой, то они являются
вершинами некоторого треугольника A1B1C1. Поэтому A1C1
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
