.

Интересные примеры в метрических пространствах

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 181
Скачать документ

-сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем
внутри этого куба.

Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не
вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:

е1=(1, 0, 0, …, 0, 0, …),

е2=(0, 1, 0, …, 0, 0, …),

…………………………,

еn=(0, 0, 0, …, 1, 0, …),

………………………….

Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n(m) равно ((. Поэтому
последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся.
Отсюда в S не может быть конечной (-сети ни при каком (<(2/2.Рассмотрим в l2 множество П точекx=(x1, x2, (, xn, ...),удовлетворяющих условиям:| x1|(1, | x2|(1/2, (,| xn|(1/2n-1, ...Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.Пусть (>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<(/2. Каждой точке x=(x1, x2, (, xn, ...)из П сопоставим точку x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...)из того же множества. При этом<1/2n-1<(/2.Множество П* точек вида x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную (/2-сеть. Она будет в то же время (-сетью во всем П. Докажем это.Доказательство: для ((((, выберем n так, что 1/2n-1<(/2.(x(П: x=(x1, x2, (, xn, ...) сопоставимx*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...) и x*(П. При этом ((x,x*)<(/2. Из пространства П выберем x**: ((x*,x**)<(/2.Тогда: ((x,x**)(((x,x*)+((x*,x**)<(/2+(/2=(.Множество П* содержит точки вида x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную (/2-сеть. Она будет (-сетью в пространстве П, так как ((x,x**)<(.

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019