Интегральные преобразования.
Операционное исчисление и некоторые его приложения.
Пусть задана функция действительного переменного t, которая
удовлетворяет условиям :
Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва
первого рода).
Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0?0 такие, что
выполняется условие : |f(t)|
Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в
равенстве (2).
Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2)
также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от
комплексного параметра р :
(3)
Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция
f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.
f(t) ? F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.
– это оператор Лапласа.
Смысл введения интегральных преобразований.
Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область
изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести
задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и
интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.
Теорема единственности: если две функции ?? t???и???t? имеют одно и то
же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.
Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой
функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы
единственности можно утверждать, что найденная функция является решением
в области оригинала и причем единственным.
Изображение функций ?0(t), sin (t), cos (t).
называется единичной функцией.
Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть
наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это
изображение :
Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :
интегрируя по частям получим :
Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.
где а – константа.
Свойства линейности изображения.
Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные
равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.
Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(?+p)
является изображением функции e-?t f(t)
(4)
Доказательство :
Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)
Что и требовалось доказать.
Таблица основных изображений:
Изображение производных.
, то справедливо выражение :
(1)
Доказательство :
(2)
(3)
Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции
Лапласа имеем :
Что и требовалось доказать.
Пример: Решить дифференциальное уравнение :
Если x(0)=0 и x’(0)=0
– решение в области изображений.
Изображающее уравнение :
.
Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует
операция деления в области изображений.
.
Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов
соответствует операции интегрирования в пределах от р до ? в области
изображений.
Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям
существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций
называется следующая функция :
(1)
Свертка обозначается следующим образом :
(1’)
Равенства (1) и (1’) идентичны.
Свертка функции подчиняется переместительному закону.
Доказательство:
.
Доказательство :
(1)
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно
переменных t и ? . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и ?
входят в выражение симметрично. Замена переменной производится
эквивалентно.
Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после
преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).
Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует
операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы
о свертке есть теорема Эфроса.
.
В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о
свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются,
тогда
(2)
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
Обратное преобразование Лапласа.
– Это прямое преобразование Лапласа.
Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через
известную функцию-изображение :
, где s – некоторая константа.
Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при
определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения
функции-оригинала по известному изображению.
Теоремы разложения.
Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму
элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем
разложения.
.
. Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни
?1, ?2, …, ? n соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2
+…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :
(3)
Например :
Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.
Преобразование Лапласа имеет вид :
(1)
На f(t) наложены условия :
f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-? ; ? )
f(t)?? 0 , t ? (- ? ;0)
При M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|
оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для
преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом
необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой
оси.
Если f(t) ? 0, t
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
