.

Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 449
Скачать документ

Интегральные преобразования.

Операционное исчисление и некоторые его приложения.

Пусть задана функция действительного переменного t, которая
удовлетворяет условиям :

Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва
первого рода).

Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0?0 такие, что
выполняется условие : |f(t)|S0 имеем :

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в
равенстве (2).

Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2)
также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от
комплексного параметра р :

(3)

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция
f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.

f(t) ? F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.

– это оператор Лапласа.

Смысл введения интегральных преобразований.

Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область
изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести
задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и
интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.

Теорема единственности: если две функции ?? t???и???t? имеют одно и то
же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой
функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы
единственности можно утверждать, что найденная функция является решением
в области оригинала и причем единственным.

Изображение функций ?0(t), sin (t), cos (t).

называется единичной функцией.

Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть
наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это
изображение :

Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :

интегрируя по частям получим :

Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.

где а – константа.

Свойства линейности изображения.

Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные
равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.

Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(?+p)
является изображением функции e-?t f(t)
(4)

Доказательство :

Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)

Что и требовалось доказать.

Таблица основных изображений:

Изображение производных.

, то справедливо выражение :

(1)

Доказательство :

(2)

(3)

Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции
Лапласа имеем :

Что и требовалось доказать.

Пример: Решить дифференциальное уравнение :

Если x(0)=0 и x’(0)=0

– решение в области изображений.

Изображающее уравнение :

.

Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует
операция деления в области изображений.

.

Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов
соответствует операции интегрирования в пределах от р до ? в области
изображений.

Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.

Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям
существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций
называется следующая функция :

(1)

Свертка обозначается следующим образом :

(1’)

Равенства (1) и (1’) идентичны.

Свертка функции подчиняется переместительному закону.

Доказательство:

.

Доказательство :

(1)

Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно
переменных t и ? . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и ?
входят в выражение симметрично. Замена переменной производится
эквивалентно.

Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после
преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).

Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует
операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы
о свертке есть теорема Эфроса.

.

В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о
свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются,
тогда

(2)

Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.

Обратное преобразование Лапласа.

– Это прямое преобразование Лапласа.

Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через
известную функцию-изображение :

, где s – некоторая константа.

Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при
определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения
функции-оригинала по известному изображению.

Теоремы разложения.

Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму
элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем
разложения.

.

. Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни
?1, ?2, …, ? n соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2
+…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :

(3)

Например :

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

Преобразование Лапласа имеет вид :

(1)

На f(t) наложены условия :

f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-? ; ? )

f(t)?? 0 , t ? (- ? ;0)

При M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|0 и преобразование для этой функции существует, то
оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для
преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом
необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой
оси.

Если f(t) ? 0, t<0(6)(6’)Функция (6) называется спектральной плотностьюВ связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :Вычисление интеграла (5)Использование преобразования Лапласа или Фурье.Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной(7)|F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, ? (u) – фазовый угол.В алгебраической форме : F(iu) = a(u) +ib(u)(8)(9)Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол ? (u).Пример., далееОтыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.При этом существует преобразование Лагранжа.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019