.

Интеграл и его свойства

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
86 857
Скачать документ

Теоретические вопросы

Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение
производной f’(x) или дифференциала df=f’(x)dx функции f(x). В
интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции
f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)=f(x) или
dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является
восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу)
этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в
геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения
площадей, объемов, центров тяжести и т. д..

и F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом
отрезке первообразную F(x).

Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной и той
же функции f(x) на множестве х , то они отличаются друг от друга
постоянным слагаемым, т. е. F2(x)=F1x)+C, где С – постоянная.

Неопределенный интеграл, его свойства.

Определение. Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на
множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

– (1)

В формуле (1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) –
подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С –
постоянной интегрирования.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его
определения.

Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции,
дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

.

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме
этой функции и произвольной постоянной:

Постоянный множитель а (а?0) можно выносить за знак неопределенного
интеграла:

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций
равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Если F(x) – первообразная функции f(x), то:

6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования
сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой
дифференцируемой функцией этой переменной:

где u – дифференцируемая функция.

Таблица неопределенных интегралов.

Приведем основные правила интегрирования функций.

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что
здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как
независимую переменную (u=x), так и функцию от независимой переменной
(u=u(x)).)

(n?-1).

(a >0, a?1).

(a?0).

(a?0).

(|u| > |a|).

(|u| Интегралы 1 – 17 называют табличными. Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. переменную х заменяют переменной t по формуле x=?(t), откуда dx=?’(t)dt. Теорема. Пусть функция x=?(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула: - (2) Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции переменной х. Тогда: d(uv)=udv+vdu. – (3) Интегрируя обе части равенства (3), получаем: , то: - (4) . Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный. В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную. Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям. (Pn(x) – многочлен степени n, k – некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=Pn(x) и применить формулу (4) n раз. (Pn(x) – многочлен степени n относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при Pn(x). (a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби. Рациональной дробью R(x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида: Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе (n?m), то дробь называется неправильной. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе (n?m), то дробь называется правильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов): ; Pn(x) – остаток (многочлен степени n Здесь А, a, p, q, M, N – действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е. p2/4-q 1). Эти интегралы вычисляются подстановками tgx= t и
ctgx=t соответсвенно.

. Тогда:

.

Последний интеграл при n ? 2 является интегралом от неправильной
рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования
рациональных дробей.

, откуда:

(m, n є R). Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции
на слагаемые по формулам:

Интегрирование иррациональных выражений.

= r2, … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к
рациональной функции от переменной t:

(m1, n1, m2, n2, … – целые числа). Эти интегралы подстановкой:

, …, сводятся к рациональной функции от переменной t.

Для вычисления интеграла I1 выделяется полный квадрат под знаком
радикала:

и применяется подстановка:

, dx=du.

В числителе интеграла I2 выделяется дифференциал выражения, стоящего
под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух
интегралов:

где I1 – вычисленный выше интеграл.

Вычисление интеграла I3 сводится к вычислению интеграла I1
подстановкой:

Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в
предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления.
Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении
тригонометрических подстановок.

Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов
интегралов:

подстановкой

u=ksint (или u=kcost)

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

, выражаются через элементарные функции только в следующих трех
случаях:

если p є Z, то применяется подстановка:

x=ts,

где s – общий знаменатель дробей m и n;

Z, то используется подстановка:

a+bxn=ts,

Z, то применяется подстановка:

ax-n+b=ts,

Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (8)

– (8)

при ??0, не зависящий от способа разбиения ?n отрезка [a; b] на
частичные отрезки и выбора промежуточных точек ?k, то этот предел
называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x)
на отрезке [a; b] и обозначают:

V

&

gdE~O

&

gdb’

gdb’

&

B

?

?

?

?

X

p

r

?

?

?

?

1/4

oUO?o!•!•…•y

?????????????????O? ???? ??

?????????????????O? ???? ??

gd~Eue

gdef…

gdef…

&

y„

&

gd~Eue

h?%

h?%

-¬&?(?^?c?¤?U?-@ @o@?A BPB°CaCiia??AAAAA?????¤?

gdq#a

&

gdA~U

gdc-?

gd—ua

j

he

he

he

he

he

he

aJ he

he

he

he

he

gdlfo

gdu$O

gdu$O

&

gdS

hN hN hN hN hN hN hN ???????????Oe ?????????????] h h > называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по
Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) –
подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b –
соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится
интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения ? стремится к
нулю.

Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ? 0. Фигура, ограниченная графиком
АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис. 1), называется
криволинейной трапецией.

представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры
(изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения
?n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек ?k.

, k=1, n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной
трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции
принимается предел интегральной суммы при ??0:

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от
неотрицательной функции численно равен площади соответствующей
криволинейной трапеции.

Основные свойства определенного интеграла.

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл
равен нулю:

Это свойство следует из определения интеграла.

Если f(x)=1, то

Действительно, так как f(x)=1, то

При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет
знак на противоположный:

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

R.

Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
интегрируемых на [a; b] функций f1(x), f2(x), …, fn(x) равен
алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

и для любых чисел a, b, c;

[a; b], то

a b.

9 (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно
нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a;
b], то

a

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020