Теоретические вопросы
Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение
производной f’(x) или дифференциала df=f’(x)dx функции f(x). В
интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции
f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)=f(x) или
dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является
восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу)
этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в
геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения
площадей, объемов, центров тяжести и т. д..
и F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.
Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом
отрезке первообразную F(x).
Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной и той
же функции f(x) на множестве х , то они отличаются друг от друга
постоянным слагаемым, т. е. F2(x)=F1x)+C, где С – постоянная.
Неопределенный интеграл, его свойства.
Определение. Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на
множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:
– (1)
В формуле (1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) –
подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С –
постоянной интегрирования.
Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его
определения.
Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции,
дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
.
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме
этой функции и произвольной постоянной:
Постоянный множитель а (а?0) можно выносить за знак неопределенного
интеграла:
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций
равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
Если F(x) – первообразная функции f(x), то:
6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования
сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой
дифференцируемой функцией этой переменной:
где u – дифференцируемая функция.
Таблица неопределенных интегралов.
Приведем основные правила интегрирования функций.
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что
здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как
независимую переменную (u=x), так и функцию от независимой переменной
(u=u(x)).)
(n?-1).
(a >0, a?1).
(a?0).
(a?0).
(|u| > |a|).
(|u| Интегралы 1 – 17 называют табличными.
Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие
аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых
частей.
Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
переменную х заменяют переменной t по формуле x=?(t), откуда
dx=?’(t)dt.
Теорема. Пусть функция x=?(t) определена и дифференцируема на некотором
множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором
определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет
первообразную, то на множестве Т справедлива формула:
- (2)
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном
интеграле.
Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из
формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x) – две
дифференцируемые функции переменной х. Тогда:
d(uv)=udv+vdu. – (3)
Интегрируя обе части равенства (3), получаем:
, то:
- (4)
. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4)
более прост для вычисления, нежели исходный.
В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой
части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий
произвольную постоянную.
Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых
методом интегрирования по частям.
(Pn(x) – многочлен степени n, k – некоторое число). Чтобы найти эти
интегралы, достаточно положить u=Pn(x) и применить формулу (4) n раз.
(Pn(x) – многочлен степени n относительно х). Их можно найти по
частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при Pn(x).
(a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.
Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
Рациональной дробью R(x) называется дробь, числителем и знаменателем
которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида:
Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена
в знаменателе (n?m), то дробь называется неправильной. Если степень
многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе (n?m), то
дробь называется правильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы
многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это
представление достигается путем деления числителя на знаменатель по
правилу деления многочленов):
; Pn(x) – остаток (многочлен степени n Здесь А, a, p, q, M, N – действительные числа, а трехчлен не имеет
действительных корней, т. е. p2/4-q 1). Эти интегралы вычисляются подстановками tgx= t и
ctgx=t соответсвенно.
. Тогда:
.
Последний интеграл при n ? 2 является интегралом от неправильной
рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования
рациональных дробей.
, откуда:
(m, n є R). Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции
на слагаемые по формулам:
Интегрирование иррациональных выражений.
= r2, … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к
рациональной функции от переменной t:
(m1, n1, m2, n2, … – целые числа). Эти интегралы подстановкой:
, …, сводятся к рациональной функции от переменной t.
Для вычисления интеграла I1 выделяется полный квадрат под знаком
радикала:
и применяется подстановка:
, dx=du.
В числителе интеграла I2 выделяется дифференциал выражения, стоящего
под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух
интегралов:
где I1 – вычисленный выше интеграл.
Вычисление интеграла I3 сводится к вычислению интеграла I1
подстановкой:
Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в
предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления.
Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении
тригонометрических подстановок.
Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов
интегралов:
подстановкой
u=ksint (или u=kcost)
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
, выражаются через элементарные функции только в следующих трех
случаях:
если p є Z, то применяется подстановка:
x=ts,
где s – общий знаменатель дробей m и n;
Z, то используется подстановка:
a+bxn=ts,
Z, то применяется подстановка:
ax-n+b=ts,
Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.
Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (8)
– (8)
при ??0, не зависящий от способа разбиения ?n отрезка [a; b] на
частичные отрезки и выбора промежуточных точек ?k, то этот предел
называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x)
на отрезке [a; b] и обозначают:
V
&
gdE~O
&
gdb’
gdb’
&
B
„
†
?
?
?
?
X
p
r
‚
„
†
?
?
¶
?
?
1/4
oUO?o!•!•…•y
?????????????????O? ???? ??
?????????????????O? ???? ??
gd~Eue
gdef…
gdef…
&
y„
&
gd~Eue
h?%
h?%
-¬&?(?^?c?¤?U?-@ @o@?A BPB°CaCiia??AAAAA?????¤?
gdq#a
&
gdA~U
gdc-?
gd—ua
j
he
he
he
he
he
he
aJ he
he
he
he
he
gdlfo
gdu$O
gdu$O
&
gdS
hN
hN
hN
hN
hN
hN
hN
???????????Oe
?????????????]
h
h
> называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по
Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) –
подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b –
соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится
интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения ? стремится к
нулю.
Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ? 0. Фигура, ограниченная графиком
АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис. 1), называется
криволинейной трапецией.
представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры
(изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения
?n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек ?k.
, k=1, n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной
трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции
принимается предел интегральной суммы при ??0:
Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от
неотрицательной функции численно равен площади соответствующей
криволинейной трапеции.
Основные свойства определенного интеграла.
Рассмотрим свойства определенного интеграла.
Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл
равен нулю:
Это свойство следует из определения интеграла.
Если f(x)=1, то
Действительно, так как f(x)=1, то
При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет
знак на противоположный:
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
R.
Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
интегрируемых на [a; b] функций f1(x), f2(x), …, fn(x) равен
алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:
и для любых чисел a, b, c;
[a; b], то
a b.
9 (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно
нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a;
b], то
a
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter