.

Геометрия в пространстве

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 973
Скачать документ

Введение.

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с
необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение
пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело
с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и
молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется
стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).

Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в
планиметрии- геометрии на плоскости – не нужно. Ведь если мы, например,
говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым
подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В
планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той
же единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже
с несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все
известные из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам,
прямым, расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо
описывать отдельно.План.

Основные аксиомы стереометрии————— 4 II. Прямые,
плоскости, параллельность———— 6

III. Изображение пространственных фигур—— 7 IV. Перпендикулярность.
Углы. Расстояния—– 12 V. Несколько задач на построение, воображение,
изображение и соображение———————— 17 I.Основные
аксиомы стереометрии

Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще
одно – плоскость, а вместе с ним – аксиомы, регулирующие
«взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом
три.

Первая- аксиома выхода в пространство – придает «театру геометрических
действий» новое, третье измерение:

Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)

Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого
недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много.
Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:

Через любые три точки проходит плоскость.

С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги:
все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба – прямые.

Аксиома пересечения плоскостей звучит так:

Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

(рис.2)

Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая
через них плоскость единственная.

Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные
плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по
которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само
нередко включается в аксиомы.

Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого
взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности
трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше
плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же
присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные
с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими
плоскостями. Например, аксиому прямой – через две различные точки можно
провести одну и только одну прямую – переносят в стереометрию дословно,
но только она уже распространяется на две точки пространства.

В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие:
прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в
этой плоскости.

Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости ? (рис. 3). Вне
плоскости ? есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в
пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно
провести плоскость ?. Она отлична от плоскости ?, так как содержит С и
имеет с ? две общие точки. Значит, ? пересекается с ? по прямой,
которой, как и l, принадлежат А, В. По аксиоме прямой, линия пересечения
плоскостей совпадает с l. Но эта линия лежит в плоскости ?, что и
требовалось доказать.

Путем несложных доказательств мы находим, что:

На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.

II. Прямые, плоскости, параллельность.

Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в
новом определении:

две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в
одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из
излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что
через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по
определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о
единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её
помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:

Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну
прямую параллельно данной.

Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое
транзитивностью параллельности:

Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны
друг другу.

Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости
непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть
одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома
параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом
непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких
прямых говорят, что они скрещиваются.

На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD —
параллельны, а АВ и В?С? — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем
прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты
стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого,
мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что
прямая АВ параллельна C?D?, потому что обе они параллельны общей стороне
CD содержащих их квадратов.

В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для
плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они
не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и
в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых
справедливы теоремы о транзитивности:

Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны
между собой.

Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то
они параллельны друг другу.

Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности
прямой и плоскости:

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в
этой плоскости.

А вот признак параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно
параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и
плоскости параллельны.

Часто используется и такая простая теорема:

Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей,
параллельны друг другу.

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и
плоскости следует, например, что прямая А?В? параллельна плоскости АВСD
(так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные
грани куба, в частности А?В?С?D? и ABCD, параллельны по признаку
параллельности плоскостей: прямые A?B? и B?С? в одной грани
соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой
пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA? и СС?, пересекают
параллельные плоскости АВСD и A?B?C?D? по прямым АС и А?С?, значит, эти
прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В?С и А?D.
Следовательно, параллельные плоскости АВ?С и А?DC, пересекающие куб по
треугольникам.

III. Изображение пространственных фигур.

Есть такой афоризм «Геометрия — это искусство правильно рассуждать на
неправильном чертеже». Действительно, если вернуться к изложенным выше
рассуждениям, то окажется:

единственная польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка
куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на объяснении
обозначений. С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на
рис. 4, я, хотя, очевидно, представленное на нём «нечто» не только не
куб, но и не многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена
лишь часть правды. Ведь прежде, чем «рассуждать» — излагать готовое
доказательство, надо его придумать. А для этого нужно ясно представлять
себе заданную фигуру, соотношения между её элементами. Выработать такое
представление помогает хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в
стереометрии удачный чертёж может стать не просто иллюстрацией, а
основой решения задачи.

Художник (вернее, художник-реалист) нарисует наш куб таким, каким мы его
видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или центральной проекции. При
центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а
произвольная точка Х изображается точкой X’, в которой а пересекается с
прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямолинейное
расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в
пересекающиеся, не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы.
Изучение её свойств привело к появлению важного раздела геометрии (см.
статью «Проективная геометрия»).

Но в геометри-ческих чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно
сказать, что она получается из централь-ной когда центр О уда-ляется в
бесконечность и прямые ОХ становятся параллельными.

изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.

В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в
исключительном случае, когда прямая параллельна направлению проекции)
точка. На изображении параллельные прямые так и остаются параллельными,
сохраняется здесь и отношение длин параллельных отрезков, хотя сами
длины и изменяются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую
формулировку основного свойства параллельной проекции:

Если АВ =k CD, а A?,B?,C? и D?- проекции точек A,B,C и D, то A?B?= k
C?D?.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство —
совпадение не только длин, но и направлений (рис. 7). Таким образом,
если задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и
изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX
= kAB на параллельной проекции и оригинале одинаков. Аналогично, по
изображениям трёх точек, не лежащих на одной прямой, однозначно
восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости,
а задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы
предопределяем изображения всех точек пространства.

ЛВС любую плоскость а, построим в ней треу-гольник АВС нужной формы и
спроектируем треугольник АВС на ? вдоль прямой l = СС? (рис. 8). Взяв в
качестве А В С равнобедренный прямоу-гольный треугольник и достроив его
до квадрата ABCD, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко
превращае-тся в любой параллело-грамм. Более того, можно доказать, что
изображе-нием любой данной треу-гольной пирамиды могуг быть любые четыре
точки, не лежащие на одной прямой, вместе с соединяющими их отрезками.

Правильно выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём,
например, отношения, в которых треугольное сечение A?BD нашего куба
(рис. 9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В?С?.
Посмотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ?, а точнее говоря,
спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА?С?С. Понятно, что
проекцией будет сам прямоугольник АА?С?С с проведённым в нём отрезком,
соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут;

рис. 9, б); рассматриваемое сечение превратится в отрезок (рис. 9, б), а
точки Р и Q станут серединами отрезков А1) и ВiCi. Очевидно, что на
нашем рисунке A?Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1 : 3. В силу основного
свойства параллельной проекции, это равенство верно и в пространстве. Та
же проекция позволяет найти отношение между частями любого проведённого
в кубе отрезка, на которые он рассекается плоскостью A?BD: в частности,
отрезок KQ, где К — середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а
диагональ АС, — в отношении 1:2.

Ещё эффектнее решения планиметрических задач, которые получают, «выходя
в пространство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде
изображения некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач,
требуется построить треугольник с вершинами на трёх данных лучах ОА, 0В
и ОС с общим началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные
внутри углов АОВ, ВОС к СОА точки Р, Q и R.

Это очень трудная задача. Но если мы догадаемся посмотреть на её чертёж
(рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на его
гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение
сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10,
б; кстати сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из
произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость
ОАВ; получаем точки R? и Q?. Плоскость искомого сечения пересекает
плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее очевидно.

IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.

До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными
геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам
достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства
всех их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь
возможность изучать свойства куба и других пространственных фигур во
всей полноте, нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим
понятие перпендикулярности, известное из планиметрии.

Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через
точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.

Например, ясно, что ребро АА? нашего куба перпендикулярно основанию
АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно
любой прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается,
достаточно того, что АА? составляет прямые углы с двумя из них – АВ и
АD: согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b, то она
перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.

Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают
l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если
перпендикулярны параллельные им прямые, проходящие через произвольно
взятую точку, в частности через точку пересечения l с плоскостью. Так
что теперь можно сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости,
перпендикулярна любой лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая
теорема:

Через данную точку в пространстве можно провести одну и только одну
плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также одну и только одну
прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой
называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную
плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно
ортогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами
параллельной проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно
использовать при решении задач о расстояниях и углах в пространстве.

Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень
простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):

Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой плоскости
тогда, когда её проекция а? на плоскость перпендикулярна l.

Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не
перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равносильны тому,
что плоскость, содержащая а и а’, перпендикулярна прямой /.

Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC? на
основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх
перпендикулярах, и сама диагональ АС? перпендикулярна BD. По такой же
причине перпендикулярны АС? и А?В. Отсюда следует, что диагональ
перпендикулярна «треугольному сечению» A?BD.

В стереометрии помимо обычных плоских

до 90°.

Найдём, например, угол между диагоналями А?В и В?С граней нашего куба
(рис. 14). Заменим прямую В?С на параллельную ей диагональ A?D
противоположной грани; искомый угол равен углу BA?D, т. е. 60°
(треугольник BA?D равносторонний). Угол между диагональю АС? и
основанием куба равен углу САС? между прл* мой ас? и её проекцией АС на
основание, т.е. arctg (C?C/AC) = arctg (1/?2]. А угол между плоскостями
BDA? и BDC? (рис. 14) равен углу А?МС?, где М — середина BD, так как
прямые МА? и МС? лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии
пересечения BD (несложное вычисление даёт arccos (1/3)).

Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину
отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние
от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на
плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза
прямоугольного треугольника короче катета. Расстояние между
параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию от любой точки в
одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).

равна расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.

Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто
можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной
фигуры. На рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции куба
‘„’ ребром длины и: прямоугольник размером

а * а?2 (проекция на диагональную плоскость АСС?А? или, что то же, вдоль
диагонали BD основания): и правильный шестиугольник со стороной а?2/3
(проекция вдоль диагонали куба АС?; мы видели, что прямая АС?
перпендикулярна плоскости BDA?, а потому правильный треугольник BDA, со
стороной а?2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции
можно найти, например, угол между плоскостями BDA? и BDC? — он равен
углу между красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А
расстояние r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В?С
равно расстоянию на рис. 16, а от точки В до прямой В?С (В и B?C —
изображения первой и второй диагоналей соответственно). Подумайте
почему. (Здесь важно, что общий перпендикуляр диагоналей параллелен
плоскости проекции.) Легко найти, что r= а/?3. Нетрудно вычислить на той
же проекции и расстояние между прямыми BD и АС? Ещё проще найти его с
помощью рис. 16, б, на котором АС? превращается в точку: расстояние от
последней — центра шестиугольника — до BD равно половине стороны
шестиугольника, т. е. а/?6.

Отметим интересное соотношение, связывающее площадь фигуры, площадь её
проекции и угол между плоскостями:

Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади S
многоугольника, умноженной на cos ?, где ?- угол между его плоскостью и
плоскостью проекции:

Это очевидно для треугольника, одна из сторон которого совпадает с
линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой
многоугольник можно разбить на такие треугольники. Приближая
криволинейные фигуры многоу-гольниками, получим, что формула площади
проекции справедлива и для них.

V. Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и
соображение.

ЗАДАЧА 1.

По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра многоугольника,
расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник спереди и
сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на
изображении нет- значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит
сбоку?

ЗАДАЧА 2.

Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с тремя
четырехугольными гранями и двумя треугольными?

ЗАДАЧА 3.

На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два
отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по
рисунку определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А
если можно, то как?

ОТВЕТЫ.

1.

2. Нет. Прямые AD, BE, CF должны пересекаться в одной точке.

3. Можно. Отрезки пересекаются (т.е. лежат в одной плоскости) тогда и
только тогда, когда либо точка пересечения синих прямых лежит на прямой
АВ, либо они параллельны.

PAGE

PAGE 2

PAGE

PAGE 2

.C

Рис. 2

l

Рис. 1

.

.

A

B

Рис. 3

?

?

Рис. 4

С

В

А

D

C?

Рис. 5

D?

A?

B?

а

б

Рис. 6

?

D?

D

C

B

B?

A

A?

C?

Рис. 7

l

Рис. 8

Рис. 9

B?(=D?) Q

Р(=К’) B(=D)

М

А

А?

С

С?

R?

E

M

Q?

R

Q

С

О

А

В

Р

R

Q

С

О

А

В

Р

Рис. 10

l

?

a

a?

Рис. 11

B?

A?

C?

D?

D

C

B

A

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

A

b

b?

a

?

а

б

б

B?

B

A?

D?

C

D

A(=C?)

а

r

B?(=D?)

B(=D)

A

C?

C

A?

Рис. 16

?

h

Рис. 17

Рис. 18

B

C

A

Рис. 19

F

D

?

Рис. 20

E

?

РЕФЕРАТ

на тему:

«Геометрия в пространстве».

ученик 9 «А» класса гимназии № 6

Гейко Денис.

__________________

ПОДГОТОВИЛ:

ПРОВЕРИЛ:

Ежегодная научная

пресс-конференция,

гимназия №6,

г. Хабаровск

2001 год.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020