Реферат
З геометрії
На тему:
“Геомтрія Лобачевського”
Виконав
Учень 10-А класу
Середньої школи № 96
Коркуна Дмитро
Львів 2000
Нехай тепер АОВ – деякий гострий кут. (рис1) В геометрії Лобачевського
можна вибрати таку точку М на стороні ОВ, що перпендикуляр MQ до сторони
ОВ не перетинається з другою стороною кута. Цей факт як раз підтверджує,
що не виконується п’яте правило: сума кутів ( і ( є менше розгорнутого
кута, але прямі ОА і MQ не перетинаються. Якщо почати зближувати точку М
до О, то найдеться така “критична” точка М0, що перпендикуляр M0Q0 до
сторони OB поки що не перетинається зі стороною ОА, але для любої
точки М`, яка лежить між О і М0, відповідаючий перпендикуляр М`Q`
перетинається зі стороною ОА. Прямі ОА і M0Q0 все більше приближаються
одна до одної, але спільних точок не мають. На рис.2 ці прямі зображено
окремо; а саме такі необмежено наближаються одна до одної прямі
Лобачевський в своїй геометрії називає паралельними. А два
перпендикуляра до одної прямої, які необмежено віддаляються один від
одного, як на рисунку Лобачевський називає прямими, які розходяться.
Виявляється, що цим і обмежуються всі можливості розміщення двох прямих
на площині Лобачевського: дві неспівпадаючі прямі, які або перетинаються
в одній точці, або паралельні , або можуть бути такими, що розходяться
(в цьому випадку вони мають єдиний спільний перпендикуляр)
На рис. 3 перпендикуляр МQ до сторони ОВ кута АОВ не перетинається зі
стороною ОА, а прямі ОВ` , М`Q` симетричні прямим ОВ і MQ відносно ОА.
Дальше |ОА| = |MB|, так як MQ – перпендикуляр до відрізка ОВ` в його
середині і аналогічно M`Q` – перпендикуляр до відрізка ОВ` в його
середині. Ці перпендикуляри не перетинаються, тому не існує точки,
одинаково віддаленої від точок О,В,В`, отже трикутник ОВВ` не має
описаного кола.
На рис. 4 зображено цікавий варіант розташування трьох прямих на
площині Лобачевського: кожні дві із них паралельні, тільки в різних
напрямках. А на рис. 5 всі прямі паралельні одна одній в одному напрямку
(пучок паралельних прямих). Лінія позначена пунктиром на рис.5
“перпендикулярна” всім проведеним прямим (тобто дотична до цієї лінії в
любій її точці М перпендикулярна прямій, яка проходить через М.). Ця
лінія називається граничною кола, або орициклом. Прямі розглянутого
пучка ніби являються її “радіусами”, а центр граничної кола лежить в
нескінченності, оскільки “радіуси” паралельні. В той же час гранична
кола не являється прямою лінією, вона “викривлена”. І інші властивості,
які в евклідовій геометрії має пряма, в геометрії Лобачевського
виявляються властивими другим лініям. Наприклад, з множини точок, які
знаходяться на одній стороні від даної прямої на даній відстані від
неї, в геометрії Лобачевського являють собою криву лінію, яка
називається єквидистантою.
Ми коротко торкнулися деяких факторів геометрії Лобачевського, не
згадуючи багатьох інших цікавих і змістовних теорем (наприклад, довжина
кола і площа круга тут зростає в залежності від радіуса по
показниковому закону). Виникає переконання, що ця теорія багата дуже
цікавими і змістовними фактам, насправді не суперечлива. Але це
переконання (яке було у всіх трьох творців неєвклідової геометрії) не
замінює доведення несуперечливості.
Щоб дістати таке доведення , треба побудувати модель. І Лобачевський це
добре розумів і намагався її знайти.
Але сам Лобачевський вже не зміг цього зробити. Побудова такої моделі
(доведення несупечливості геометрії Лобачевського) випало на долю
математиків наступного покоління.
В 1868 р. італійській математик Є. Бельтрамі дослідив зігнуту
поверхність, яка називалась псевдосферою, і довів, що на цій
поверховості діє геометрія Лобачевського! Якщо на цій лінії намалювати
найкоротші лінії (“геодезичні”) і вимірювати по цим лініям відстані,
складати з дуг цих ліній трикутники тощо, то вияявляється, що в точності
реалізуються всі формули геометрії Лобачевського (зокрема сума кутів
будь-якого трикутника дорівнює менше 1800). Правда, на псевдосфері
реалізується не вся площина Лобачевського.
Клейн бере деякий круг К и розглядає такі проективні перетворення
площини, які відображають круг К на себе. “Площину” Клейн називає
внутрішність круга К, а вказані проективні перетворення вважає “рухом”
цієї “площини”. Дальше кожну хорду круга К (без кінців оскільки беруться
тільки внутрішні точки круга) Клейн вважає “прямою”. Оскільки, “рух”
являє собою проективні перетворення, “прямі” при цих рухах переходять в
“прямі”. Тепер в цій “площині” можна роздивлятися відрізки, трикутники
тощо. Дві фігури називаються рівними, якщо кожна з них може бути
перетворена в іншу деяким “рухом”. Так само введені всі поняття, які
згадуються в аксіомах в цій моделі. Наприклад, очевидно, що через
будь-які дві точки А, В проходить єдина пряма. Також , можна
прослідкувати, що через точку А, яка не лежить на прямій (, проходить
нескінченно багато прямих , які не перетинають (. Пізніша перевірка
показує, що в моделі Клейна виконуються и всі інші аксіоми геометрії
Лобачевського. Частково для будь-якої прямої l існує “рух”.,
перетворюючи її в другу пряму l` з віміченою точкою А`. Це дозволяє
перевірити виконання всіх аксіом геометрії Лобачевського.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
