1. Бэта-функции 6
Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
(1.1)
=1 – t получим:
симетрично. Принимая во внимание тождество
по формуле интегрирования почестям имеем
Откуда
(1.2)
7
При целом b = n последовательно применяя(1.2)
Получим
(1.3)
= n,имеем
но B(1,1) = 1,следовательно:
,то
8
,получаем
,получим
(1.4)
,получим
2. Гамма-функция
9
Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
(2.1)
=ty,t > 0 ,имеем
и t через 1+t ,получим
, имеем:
или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка
интегрирования ,получаем:
10
откуда
(2.2)
и интегрируем по частям
получаем рекурентною формулу
(2.3)
так как
имеем
(2.4)
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в
факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения
аргумента.При n=1 в (2.4) имеем
3. Производная гамма функции 11
Интеграл
сходится.
, и покажем ,что интеграл :
12
справедливо неравенство
. Наконец , интеграл
в котором подынтегральная функция непрерывна в области
интеграл
13
и справедливо равенство
.
можна повторить теже рассуждения и заключить, что
-ой производной справедливо равенство
– функции и построим єскиз ее графика .
.
14
.
.
(см. рис.1)
Отметим еще раз, что интеграл
.
15
(рис.1)
4. Вычисление некоторых интегралов. 16
Формула Стирлинга
Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
,имеем
и на основании (2.2) имеем
(3.1)
В интеграле
17
Интеграл
Где s > 0,разложить в ряд
дзетта функция Римана
Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
связанные неравенством
в ряд имеем
18
Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности
приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим
предварительно вспомогательную функцию
(3.2)
и обращаются в 0 при u = 0.Так как
при u > 0 и при u
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
