Введение.
Исследование поведения различных систем (технические, экономические,
экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений,
включающих как параметры системы, так и скорости их изменения,
аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения,
содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим
следующий пример из области рекламного дела.
При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую
приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была
успешной и современной, необходимо знать закон распространения
информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид
указанной закономерности при следующих предположениях относительно
рассматриваемого процесса.
Пусть N – общее число потенциальных покупателей нового товара, x(t) –
число покупателей, знающих к моменту времени t о поступлении в продажу
нового товара, [N-x(t)] – число покупателей еще не имеющих информации о
товаре.
Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей
посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение
достаточно малого промежутка времени возможна встреча лишь двух
покупателей, и вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность
того, что при встрече покупатель, знающий о товаре, встретиться с
покупателем, еще не имеющем информации о товаре, равна (N-x)/N. Тогда
скорость изменения величины x(t) в момент t равняется px(N-x)/N
систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре.
Таким образом, получаем уравнение
.
, т.е. является дифференциальным. Решая полученное уравнение, найдем
вид зависимости величины x от t:
. На рис. 1 показан график искомой функции x=x(t). В экономической
литературе график известен как логистическая кривая.
Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе
распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов.
В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде
уравнения однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым
общим свойством.
.
Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя
Ф(x,f(x,c),c) по x, получаем
.
Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая
систему
,
и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной
уравнение
,
описывающее свойство присущее всем кривым семейства.
Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c.
.
Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то
последнее уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство
вышеуказанных гипербол.
Основные понятия и определения.
Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее
производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в
виде
.
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок
наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например:
является дифференциальным уравнением 1-го порядка;
является дифференциальным уравнением 2-го порядка;
является дифференциальным уравнением n-го порядка.
Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая
функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в
тождество.
.
Тогда любая функция вида y=c1sinx+c2cosx, где c1, c2 – произвольные
постоянные, является решением этого уравнения.
.
Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием.
Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.
Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений
(смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций
y=f(x,c) в явном виде или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях
с-параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть
несколько.
В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка
отвечает семейство решений, содержащих n параметров.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка
называется функция y=f(x, c1, c2, …, cn), зависящая от аргумента x и n
произвольных постоянных c1, c2, …, cn, которая будучи подставлена в
уравнение обращает его в тождество.
Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она
представляется уравнением Ф(x , y,c1, c2, …, cn)=0.
Общее решение дифференциального уравнения называется также общим
интегралом.
. Эти начальные условия дают соответственно n уравнений
,
,
,
………………………………
,
решая которые относительно c1, c2 , …, cn находят значения этих
постоянных.
общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x0)=y0
выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через
точку M(x0,y0).
Геометрическая интерпретация.
.
, отложенный от точки M.
порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное
поле существует только в области определения функции f(x,y)). Тогда
решением дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в
каждой точке касается вектора поля направляющей.
.
поля направлений.
.
.
или y=-(x.
в таких изоклин. Из рис. 2 видно, что интегральные кривые уравнения
напоминают гиперболы. Действительно, как будет показано ниже, общее
решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид yx=c,
т.е. задает семейство гипербол. Параметрам c>0 отвечают гиперболы I и
III координатных узлов, значениям c Разнося
переменные в разные стороны, записываем уравнение в виде
.
, где постоянная взята в виде lnc,c>0. Далее несложно преобразовать
данное уравнение к виду
уже не имеет ограничений на знак.
Как видно получилось семейство гипербол.
. Следовательно, искомое частное решение определяется уравнением
.
.
Оба являются с разделяющимися переменными и приводятся к виду dy=dx и
dx=-dx. Интегрирование левых и правых частей уравнений дает следующие их
общие решения y=x+c и y=-x+c.
из примера в параграфе 4.
Разрешая его относительно y/ получаем
.
Разделяя переменные имеем
.
Найдем интегралы от левой и правой частей уравнения:
.
.
Приравнивая интегралы и заменяя две постоянных на одну получаем
следующий вид общего решения уравнения
.
Возводя в квадрат обе части данного уравнения, получаем окончательный
вид общего решения
(x-c)2+y2=1.
,
.
Разрешая уравнение относительно y/, видим, что оно является уравнением с
разделяющимися переменными
.
Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем
.
Интегрируя каждую из частей этого уравнения, получаем следующее общее
решение исходного дифференциального уравнения
.
.
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
.
.
.
.
., где f(x,y) – однородная функция нулевой степени.
Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению
уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где
u-функция от x.
, являющиеся с разделяющимися переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0
является его общим решением, то y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим
решением исходного уравнения.
Пример 1. Рассматривается уравнение
(x2-y2)dx+2xydy=0.
. Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным
уравнением. Решаем его заменой y=ux. Получаем
.
Разделяя переменные приходим к уравнению
.
Интегрируем левую и правую части этого уравнения:
.
Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного
дифференциального уравнения относительно переменных x и u
, где c>0.
, где c – произвольная постоянная.
или y2+x2=cx,
Последнее выражение приводится к виду
.
. Очевидно, все эти окружности касаются оси y в точке начала координат.
На рис. 6 изображено семейство этих окружностей.
,
Удовлетворяющих начальному условию y(1)=0.
Нетрудно видеть (убедиться), что справа стоит однородная функция нулевой
степени. Итак, исходное дифференциальное уравнение является однородным.
Выполняя замену y=ux, приводим его к виду
.
Разделяем переменные, получаем
.
Интегрируя обе части этого уравнения, получаем общее решение
вспомогательного дифференциального уравнения
.
.
.
.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение вида y/+g(x)y=h(x).
Такое название ему дано в связи с тем, что относительно переменных y и
y/ его можно рассматривать как линейное.
.
.
– некоторая первообразная для функции g(x).
, функции g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x,c) – искомое
общее решение линейного дифференциального уравнения.
Представим исходное уравнение в виде
,
. Тогда вышеприведенное уравнение примет вид
,
являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y
взята для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений
этого уравнения с исходным).
Общее решение этого уравнения, как уже отмечалось ранее, может быть
представлено в виде
,
, т.е.
.
, то получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид
.
представляет общее решение дифференциального уравнения u/v(x)=h(x).
Действительно, подставляя в это уравнение u/x(x,c), получаем тождество
.
, решаемое при c=1, u(x,c) – общее решение уравнения u/v(x)=h(x).
Нетрудно видеть, что в обоих случаях приходится решать уравнение с
разделяющимися переменными.
бралось частное решение V(x) однородного уравнения v/+g(x)v=0,
Являющегося уравнением с разделяющимися переменными.
На втором этапе определяется решение u(x,c) дифференциального уравнения
u/v(x)=h(x),
Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными. После их
решений общее решение исходного линейного уравнения представляется в
виде
Y=u(x,c)v(x).
Пример 1. Решить уравнение
Y/+2y=sinx.
Сначала решаем однородное уравнение v/+2v=0.
Из него получаем
.
Интегрируя его левую и правую части, получаем его общий интеграл
(решение) вида
.
.
Далее решаем уравнение вида
.
Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их, получаем
общее решение этого уравнения
.
Вычислим интеграл:
.
Рассматривая данное уравнение, как уравнение относительно интеграла,
находим его вид
.
.
Тогда общее решение исходного уравнения будет
.
Предположим теперь, что требуется выделить частное решение, проходящее
через точку M(0,0), т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию
y(0)=0. Для этого подставим значения x=0, y=0 в общее решение и найдем
соответствующее значение постоянной c:
.
Искомым частным решением является
.
Пример 2. Решить уравнение
,
являющееся линейным дифференциальным уравнением.
На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного
уравнения
.
Разделяя переменные по разные стороны уравнения, имеем
.
Интегрируя обе части данного уравнения, получаем следующее его частное
решение
.
На втором этапе решаем уравнение вида
.
и разделяя переменные, имеем du=x2dx.
Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем его общее решение
.
Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид
.
Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
Определение. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка
представлено в виде
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0,
Где M(x,y) и N(x,y) – функции двух переменных x и y. Тогда, если левая
часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е.
dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,
то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.
Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде
dU(x,y)=0,
а поэтому общий интеграл (решение) такого уравнения имеет вид U(x,y)=0.
Дифференциальное уравнение такого типа возникает, когда поведение
системы подчинено условию сохранения некоторой величины U(энергии,
массы, стоимости и т.д.).
Отметим следующий признак, позволяющий определить является ли
рассматриваемое уравнение уравнением в полных дифференциалах.
Путьс
dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, тогда функции M(x,y) и N(x,y) должны быть для
U(x,y) частными производными первого порядка, соответственно, по
переменным x и y, т.е.
.
Предполагая функции M(x,y) и N(x,y) непрерывными и имеющими непрерывные
частные производные, соответственно, по y и x, т.е. выполнение
соотношений
,
из тождества
получаем, что для M(x,y) и N(x,y) должно выполняться условие
.
Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным для
того, чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Было уравнением в полных дифференциалах.
Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в
два этапа.
. Тогда соотношению
ставится в соответствие дифференциальное уравнение
.
Пусть его общее решение представляется в виде
.
Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная
c является функцией y, т.е. c=h(y). Следовательно, общее решение
предыдущего дифференциального уравнения, снимая с y условие закрепления
его значения, имеет вид
U(x,y)=g(x,y)+h(y).
На втором этапе находится вид функции h(y). Для этого обратимся к
соотношению
,
в котором уже закрепляется как бы значение переменной x.
Используя данное соотношение и вид функции U(x,y), получаем
дифференциальное уравнение, связывающее переменные h и y:
.
Интегрируя это уравнение, находим его общее решение
.
, получаем окончательный вид функции U(x,y), а именно
или
.
). Тогда функция U(x,y) получает вид
.
Так как общее решение исходного дифференциального уравнения записывается
в виде U(x,y)=c=const, то, заменяя две постоянных на одну, получаем
следующий вид общего решения уравнения
или
.
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение
(6x2y2+6xy-1)dx+(4x3y+3x2y+2y)dy=0.
,
Следует, что данное уравнение является уравнением в полных
дифференциалах. Проведем его решение в два этапа.
На первом решаем уравнение
или dU=(6x2y2+6xy-1)dx,
в котором переменная y считается закрепленной. Интегрируя это уравнение,
получаем
U(x,y)=2x3y2+3x2y-x+h(y).
На втором этапе определяем вид функции h(y), используя для этого
соотношение
и дифференциальное уравнение для h и y
.
Интегрируя последнее, получаем h=y2+c. Общий интеграл исходного
уравнения тогда можно записать в виде
2x3y2+3x2y-x+y2=c.
Пример 2. Найти решение уравнения
2xsinydx+(3y2+x2cosy)dy=0.
Проверяем, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? Для этого
из M(x,y)=2xsiny, N(x,y)=3y2+x2cosy
Находим
.
Так как, очевидно, выполняется условие
,
то уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
Сначала решаем уравнение
или dU=2xsinydx,
считая y постоянной. Интегрирование уравнения дает
U(x,y)=x2siny+h(y).
Затем находим функцию h(y), используя соотношения
, с другой стороны. Соотношения приводят к дифференциальному уравнению
.
Интегрируя последнее уравнение, получаем h=y3+c.
Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения записывается
в виде
X2siny+y3+c=0.
Далее рассмотрим понятие интегрирующего множителя. Ранее отмечалось, что
уравнение в полных дифференциалах возникает, когда поведение системы
сохраняет некоторую величину U, т.е. удовлетворяет соотношению
U(x,y)=c.
Дифференциальным аналогом его является уравнение dU(x,y)=0 или
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,
.
Предположим теперь, что частные производные функции U(x,y) представимы в
виде
.
Тогда соотношению U(x,y)=e будет соответствовать уравнение в полных
дифференциалах вида
M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0.
Если теперь данное уравнение разделить на общий множитель слагаемых
g(x,y), то получим уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.
Решение последнего уравнения эквивалентно решению предыдущего, из
которого оно получено, однако оно может уже не являться уравнением в
полных дифференциалах, также для него возможно будет
.
В то же время после умножения его на множитель g(x,y), оно становится
уравнением в полных дифференциалах.
Определение. Функция g(x,y) называется интегрирующим множителем
дифференциального уравнения
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,
Если после умножения его на эту функцию оно становится уравнением в
полных дифференциалах.
Данный способ решения дифференциального уравнения называется методом
интегрирующего множителя.
Найдем условие, которому должен подчиняться интегрирующий множитель
g(x,y). Из предложения, что уравнение
M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0
Становится уравнением в полных дифференциалах следует выполнение условия
.
Разверернув левую и правую части этого тождества
,
заключаем, что функция g(x,y) должна являться решением уравнения
.
В общем случае решение данного уравнения вызывает затруднения. Отметим
два случая, когда его решение становится проще.
Случай первый. Пусть
.
Тогда интегрирующий множитель можно искать в виде функции зависящей
только от x.
; получаем, что искомая функция g(x) является решением
дифференциального уравнения
,
интегрируя которое, находим
.
Второй слуяай относится к аналогичной ситуации, когда
.
Тогда интегрирующий множитель ищется в виде функции только от y, т.е.
g=g(y).
Аналогично предыдущему, не трудно видеть, что функция g(y) является
решением уравнения
и представляется в виде
.
Пример 3. Дано уравнение
(y2-3xy-2×2)dx+(xy-x2)dy=0.
, т.е. уравнение не является в полных дифференциалах.
Однако из соотношения
вытекает, что можно найти такой интегрирующий множитель g=g(x), после
умножения на который исходное уравнение становится уравнением в полных
дифференциалах.
Указанный множитель находим из уравнения
,
, или g=xc. Так как в качестве множителя достаточно взять одну из
функций, то положим c=1 и, тогда, g=x.
Умножая исходное уравнение на множитель g=x, получаем
(xy2-3x2y-2×3)dx+(x2y-x3)dy=0,
являющееся уже уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его,
находим
,
,
затем из U/y=x2y-x3+h/(x) и U/y=N(x,y)=x2y-x3
и,
следовательно, h=c=const. Таким образом, общее решение имеет вид
.
Пример 4. Требуется решить уравнение
(2xy2-y)dx+(y2+x+y)dy=0.
следует
.
Однако из соотношения
,
вытекает, что для исходного дифференциального уравнения существует
интегрирующий множитель g=g(y), с помощью которого уравнение становится
уравнением в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель находится из уравнения
.
.
, приходим к уравнению
.
Это уравнение является уже уравнением в полных дифференциалах. Решаем
его
,
,
,
получаем
.
.
Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид
.
9. Дифференциальные уравнения второго порядка.
Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий
общий вид
.
Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет
ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y//+py/+qy=h(x),
где p и q – числа, h(x) – некоторая функция от x.
, то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением
второго порядка.
Рассмотрим решение однородного уравнения
.
,
, как известно, определяются формулами
.
этого уравнения: 1) корни уравнения – действительные и различные; 2)
корни – действительные и равные; 3) корни уравнения –
комплексно-сопряженные. Для каждого из этих случаев однородное
дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла.
действительные и различные. В этом случае общее решение однородного
уравнения имеет вид
,
где c1, c2 – произвольные постоянные.
. Подставляя выражения для y,y/ и y// в уравнение получим
.
Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен
нулю, т.е p2-4q=0.
.
В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения
отрицателен, т.е. p2-4q
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
