.

Численное интегрирование определённых интегралов

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 682
Скачать документ

АННОТАЦИЯ

В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого
интегрирования определённого интеграла: метод прямоугольников, метод
трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с
оценкой погрешности каждого из них. Для более полного восприятия
материала в работу помещён раздел, в котором подробно расписано решение,
всеми тремя методами, определённого интеграла. В материале имеются
иллюстрации, с помощью которых, можно более глубоко вникнуть в суть
рассматриваемой темы.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………3

Основная часть………………………………………………….4

-формула прямоугольников………………………………….6

-формула трапеций…………………………………………..8

-формула Симпсона…………………………………………10

Практика……………………………………………………….15

Заключение…………………………………………………….19

Список литературы…………………………………………….20

ВВЕДЕНИЕ

). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей,
они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их
вычисления используются другие методы, однако в этой работе они
рассмотрены не будут.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

I.Определение интеграла и его геометрический смысл.

В начале узнаем, что такое определённый интеграл. Возможны два
различных подхода к определению определённого интеграла.

.

Причём функция F является первообразной для функции f на некотором
промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно
записать следующим образом:

(1)

это формула Ньютона-Лейбница.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:

f (?i) ?xi=A(2).

произвольная точка из отрезка[xi-1;xi]

сумма всех произведений f(?i)?xi(i=1,…,n). Простыми словами,
определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов
которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ:

f(x)dx.

II.Приближённые методы вычисления.

Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом
промежутке существует функция F такая, что F’=f, то есть существует
первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет
элементарную первообразную F. Объясним понятие элементарной функции.

Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая,
обратные тригонометрическим называются основными элементарными
функциями. Элементарной функцией называется функция, которая может быть
задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических
операций и суперпозиций основных элементарных.

; ?dx/ln?x?; ?(ex/x)dx; ?sinx2dx; ?ln?x?sinxdx существуют, но не
выражаются в конечном виде через элементарные функции, то есть относятся
к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях.

Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от
функций, которые заданы табличными и графическими способами, или
интегралы от функций, первообразные которых выражаются через
элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не
рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по
формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит вычисление определённого интеграла
от какой-либо функции к нахождению её первообразной. Значит, если
первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл
как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого
интегрирования.

В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл
определённого интеграла, который рассмотрен выше.

Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой
работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод
трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.

Формула прямоугольников

Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:

.

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим
отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками
a=x0,x1,x2,…,xn=b на n равных частей длины ?х, где ?х=(b-a)/n.

Обозначим через y0,y1,y2,…,yn-1,yn значение функции f(x) в точках x0,
x1, x2…,xn, то есть, если записать в наглядной формуле:

Y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2)…yn,=f(xn).

В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая
имеет ступенчатый вид (на рис. выделена).

Составим суммы: y0?x+ y1?x1+ y2?x2…+yn-1?x; Y1?x+ y2?x+…+yn?x

Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников
с основанием ?х, которое является шириной прямоугольника, и длиной
выраженной через yi: Sпр=a*b=yi?x.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке
[a,b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает
интеграл. Вынесем ?x=(b-a)/n из каждой суммы, получим:

f(x)dx??x(y0+y1+…+yn-1);

f(x)dx??x(y1+y2+…+yn).

Выразив x, получим окончательно:

f(x)dx?((b-a)/n)(y0+y1+…+yn-1);(3)

f(x)dx?((b-a)/n)(y1+y2+…+yn);(3*)

Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать
два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и
возрастающая функция, то формула (3) выражает S фигуры, расположенной
под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3*)-
площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции
составленной из выходящих треугольников.

(3**)

2.Формула трапеций.

Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b,
y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение
нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных
трапеций с основаниями yi-1 и yi и высотой h=(b-a)/n, так как (если
более привычно выражать для нас) h это ?x,a ?x=(b-a)/n при делении
отрезка на n равных отрезков при помощи точек x0=a

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020