Билеты по геометрии (11 класс)

Билет № 3

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Объем призмы.

1.Три случая расположения прямой и плоскости.

1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку ( ((

2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.

1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.((( a

2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на
высоту.

Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1В1С1с объемом V и
высотой h.

Проведем такую высоту ?АВС (ВD) кот. разделит этот ?на 2 ?. Поскольку
ВВ1D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот является
прямоугольный ?ABD и ВСD. Плэтому объем V1 и V2 соответственно равны
SABD ·h и SВСD ·h. По св-ву 20 объемов V=V1+V2 т.е V= SABD ·h+
SВСD ·h= (SABD+ SВСD) h. Т.о. V=SАВС·h

Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и площадью
основания S. Такую

призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим
объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы.
Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей
оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы.
Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема
доказана.

Рассмотрим случай , когда
призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит
параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как Sпол = 1//2 ab то
S?=ab =>V?= Sh ч.т.д.

Билет №5

Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)

Объем цилиндра.

1.Рассмотрим пл ? и т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А
прямую,( к пл ?, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл ?
.Отрезок АН называется, ( проведенным из

т А к пл ?, a т Н — основанием (. Отметим в пл ? какую-нибудь т
М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется наклонной, про-вед из т
А к пл ? , а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается
проекцией наклонной на пл ?. Сравним ( АН и наклон-ную AM: в
прямоугольном ?АМН сторона АН — катет, а сторона AM – гипотенуза,
поэтому АН из всех расстояний от т А до различных т пл ? наименьшим является
расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина (, проведенного из т А к
пл ? , называется расстоянием от т A до пл ?

Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной
плоскости равноудалены от другой плоскости.

2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на
высоту.

Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную
n-угольную призму Fn а в

эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vn объемы цилиндров Р
и Рп, через rп — радиус цилиндра Рп. Так как объем призмы Fn равен
Snh, где Sn- площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn
, кот в свою очередь , содержит цилиндр Рп , то Vn, что

n??

limSnh=V. Но limSn=?r2 Т.о V=?r2h. т.к ?r2=S , то получим V=Sоснh.

n?? n??

Билет № 6

Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)

Объем конуса.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью ,
проходящей через другую прямую параллельную первой , называется
расстояни6е между скрещивающимися прямыми.

Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость
параллельная другой прямой , и при том только одна.

2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади
основания на высоту.

Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и
вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение конуса пл. , (
к оси Ох , является кругом с центром в т М1 пересе-чения этой пл. с
осью Ох. Обозначим радиус через R1 ,а S сечения через S(х) , где х –
абсцисса т М1 . Из подобия прямоугольных ? ОМ1А1 и ОМА=> что

ОМ1 = R1 , или x = R1 откуда R= xR так как S(x)= (R12 ,то
S(x)= (R2

ОМ

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0,
получим

V= ? ?R2 x2dx= ?R2 ? x2dx= ?R2 ( x3 (= 1 ?R2 h

Площадь S основания конуса равна (R2, поэтому V=1/3Sh.

Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь
оснований S и S1вычисляется по формуле V=1/3h(S·S1+? S·S1).

Билет №7

Угол между скрещивающимися прямыми

Площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем произвольную т. М1
пространства и проведем через нее прямые А1В1 и С1D1 , соответственно
параллельн АВ и СD

Если ? между прямыми А1В1 и С1D1 =?, то будем говорить , что ? между
скрещивающимися прямыми АВ и СD=?. Докажем теперь, что ? между прямыми
не зависит от выбора т. М1 . Действительно , возьмем любую т. М2 и
проведем прямые А2В2и С2D2 соответственно парал. АВ и СD Т.к А1В1? А2D2
, С1D1? C2D2 , то стороны углов с вершинами в т.М1и М2 попарно
сонаправлены ( ?А1М1С1 и ?А2М2С2 , ?А1М1D1 и?А2М2D2 ) потому эти ?
равны , ? что ? между А2В2и С2D2 так же =?. В качестве т М можно взять
любую точку на одной из скрещивающихся прямых . Например на СD
отметить т М и через нее провести А’B’ параллельные АВ .Угол между
прямыми A’B’и CD= ?

2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны
окружности основания на высоту

Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем т.о , что все
образующие оказались в одной плоскости ? . В результате в пл ?
получится прямоугольник АВВ’А’ . Стороны АВ и А’В’ –два края разреза
боковой поверхности цилиндра по образующей АВ . Это прямоугольник
называется разверткой боковой поверхности цилиндра . основание АА’
прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра ,
поэтому АА’=2?r , AB-h, где г- радиус цилиндра , h- его высота . за S
бок цилиндра принято считать S её развертки . Т.к S прямоугольника
АВВ’А’= АА’•ВА = 2?r•h то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и
высоты h формула

S бок=2?rh

Билет № 9

1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)

2. Сложение векторов. Свойства сложения.

2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А
вектор АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b . Вектор АС называется
суммой векторов а и b : АС=a+b.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. (по
этому же правилу складываются и коллинеарные векторы , хотя при их
сложении треугольника не получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А,
от которой при сложении откладывается вектор а. (если например заменить
т А на т А1 то вектор АС заменится равным ему вектором А1С1Привило
треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек
А,В,и С имеет место равенство АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных
векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых
векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-тельный
з-н.);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два нулевых вектора
называются противоположными, если их длины равны нулю и они
противоположно направлены.Вектором проти-оположным нулевому вектору ,
считается нулевой вектор. Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА

Билет № 10

Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.( формулировки ,
примеры)

Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на число.

1. Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя
полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.
Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями.

У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница
полуплоскостей- называется ребром двугранного угла. Для измерения
двугранного угла отметим на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из
этой точки проведем перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами
угол называется линейный угол двугранного угла. (( АОВ ) ОА(CD CD(ОВ, то
плоскость АОВ ( к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество
линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных (АОВ и
(А1О1В1 . Лучи ОА и О1А1 лежат в одной грани (к ОО1, поэтому они
сонаправлены. Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> ( А1О1В1 =(АОВ.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его
линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым ( 90(, 90()

2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор b
, длинна которого равно (k(((a( , причем вектор a и b сонаправлены при
k? 0 и противоположно направлены при k0 при а(0

20.ab=ba(переместительный з-н)

30.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)

40.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)

Утверждения 1?-4?относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть , что
распределительный з-н имеет место для любого числа слагаемых(
(a+b+c)d=ad+bd+cd.)

Билет № 12

Прямая и правильная призма(формулировки примеры)

Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную
точку.

1.Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается
прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее
боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания- правильные
многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные
прямоугольники.

2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
приом только одна .

Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2
точки Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно
аксиоме А1 через эти 3 точки проходит пл (. Т.к. 2 точки прямой РиН
лежат в пл (., то по аксиоме А2 пл (.проходит через прямую
а.Единственность пл, проходящай через прямую а и т М, => из того, что
любая пл., проходящая через пр а и т М, проходит через т М, Р и Н .=>,
она совпадает с пл (., т.к по аксиоме А1через 3 точки проходит только
одна плоскость.

Билет № 13

Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)

Теорема о боковой поверхности призмы.

1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется
прямоугольник, если его боковые ребра (к основанию, а основания
представляют собой прямоугольники: коробки,

ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD A1B1C1D1.Его
основаниями служат прямоугольники ABCD и A1B1C1D1 a боковые ребра АА1,
ВВ1, СС1 и DD1 ( к основаниям. Отсюда=>, что АА1(АВ, т. е. боковая граyь
АА1В1В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об остальных
боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали следующее свойство
прямоугольного параллелепипеда:

1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
Полупл, в кот расположены смежные грани парал-

да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами
параллелепипеда.

2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.

Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями
прямоугольного парал-да. Например, у парал-да, можно взять длины ребер
АВ, AD и АА1.Длины смежных сторон можно назвать измерениями
прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали,
прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.

2. Теорема: S боковой поверхности прямой призмы равна произведению
периметра основания на высоту призмы.

Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания
которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой
поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников,
т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося
множитель h за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы,
т.е его периметр P. Итак Sбок=Ph

S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph

Билет № 14

Пирамида(формулировка , примеры)

Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей через
данную точку.

1. Пирамида. Рассмотрим многоугольник А1А2…Аn и точку Р не лежащую в
плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами
многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2А3…,РаnА1.

Многоугольник, составленный из n –угольника А1А2…Аn и n тре-угольников
, называется пирамидой. Многоугольник А1А2…Аn назы-вается основанием, а
треугольники- боковыми гранями пирамиды. Т.Р называется вершиной
пирамиды , а отрезки РА1,РА2, …, РАn – её боковыми ребрами . Пирамиду с
основанием А1А2,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2…Аn –и называют n
–угольной пирамидой. Треугольная пирамида называется тетраэдр.
Перпендикуляр , проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания
, называют высотой пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды
называют сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности –
сумму площадей её боковых граней

2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной
прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую
a и т М проходит

пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой ?. Прямая,
проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной
плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости ?. Ho в
плоскости ?, как известно из курса планиметрии, через т М проходит
прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая
обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М
параллельно прямой а. Теорема доказана.

Билет № 15

Цилиндр (формулировки и примеры)

Признак параллельных прямых.

1. Цилиндр. Рассмотрим две параллельные плоскости ? и ? и окружность L
с центром О радиуса r , расположенную в пл ?. Отрезки прямых
заключенных между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами
отрезки называются образующими цилиндрической поверхности По построению
концов образующих расположенных в пл ? заполним окружность

L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с
границами L и L1 , называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность
называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра
. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра
, прямая ОО1- осью цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его
сторон. Сечение цилиндра , проходящее через ось , представляет собой
прямоугольник , две стороны которого образующие , а 2 другие –диаметры
оснований цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая
плоскость ? к оси цилиндра , то сечение является кругом. Цилиндры так
же могут быть и наклонными или иметь в своем основании параболу .

Параллельность прямых а и b обозначается так: а||b. Докажем теорему о
параллельных прямых.

Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной
прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую
a и т М проходит

Билет №16

Конус (формулировки и примеры)

Признак параллельности прямой и плоскости

1.Конус. Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР ,
перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности
соединим с отрезом в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками
называется конической поверхностью

а сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело, ограниченное
конической поверхностью и круг-ом с границей L, называется конусом
.Коническая по-верх называется боковой поверхностью конуса, а круг –
снованием конуса . Т.Р называется вершиной конуса , а образующие
конической поверхности – образующими конуса. Все образующие равны друг
другу . ОР , прохо-дящая через центр основания и вершину , называется
Осью конуса . Ось конуса ? к плоскости основания. Отрезок ОР
называется высотой конуса.

Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным треугольником вокруг
одного из его катетов. При этом боковая поверхность образуется с
помо-щью гипотенузы. Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось
проходит через ось , то сечение пред-ставляет собой треугольник , и
называется осевым сечением. Если секущая плоскость ? к оси ОР конуса,
о сечене пред-ставляет собой круг с центром в т.О1 , расположенным на
оси конуса. R1 этого круга равен РО1/РО r , где r- радиус основания
конуса , что легко усмотреть из подобия ?РОМ??РО1М1

2.Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не
имеют общих точек.

Теорема. Если прямая , не лежащая в даннойц плоскости, палаллльна
какой-нибудь прямой , лежащей в этой плоскости, то она параллнльна
данной плоскости.

Д-во. Рассмотрим пл.?и 2?прямые a и b , расположенные так, что прямая b
лежит в пл ?, а прямая a не лежит в этой пл. Докажем, что ??a.
Допустим, что это не так, тогда прямая a пересекает пл ? , а значит по
лемме о пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл ?
. Но это невозможно , так как пр b лежит в пл ?. Итак пр a не пересекает
пл ?, поэтому она ?этой плоскости.

Билет № 17

Сфера, шар( формулировки, примеры)

Признак параллельности плоскостей.

Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен.
пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки

Данная точка называется центром сферы (т О), а данное расстояние —
радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают буквой R Люб-ой отрезок,
соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом
сферы.Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр,
называется диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен 2R Отметим,
что сфера может быть полу-чена вращением полуокружности вокруг ее
диаметра Тело, ограни-ченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и
диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.
Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства,
кот. Расположены от точки О на расстоянии, не превышающем H (вклю-чая и
точку О), и не содержит других точек.

2.Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны.

Д-во. Рассмотрим две плоскости ? и ?. В плоскости ? лежат
пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости ? — прямые a1 и
b\, причем a||a1 и b||b1. Докажвм, что a||b. Прежде всего отметим, что
по признаку параллельности прямой и плоскости a||? и b||?. Допустим, что
плоскости ? и ? не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой
прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а,
па-раллельную плоскости ?, и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда
следует, что a||с.

Но плоскость a проходит также через прямую b, параллельную плоскости ?.
Поэтому b||c. Т.о, через т М проходят две прямые a и b, параллельные
прямой с. Но это невозможно, т.к по теореме о параллельных прямых через
точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше
допущение неверно и ?|| ?. Теорема доказана.

Билет № 18

1.Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример)

2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости( доказательство одного
из них)

2. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если
она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.

Теорема. Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр-на к
плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плос-кости.

Д-во. Рассмотрим 2 ?а и а1 и пл ?, такую, что а(?. Докажем, что и а1(?..
проведем какую-нибудь прямую х в пл ?. Так как а(?, то а(х. По лемме о
перпендикулярности 2-ух параллельных прямых к третьей а1(х. Т.о. прямая
а1 ( к любой прямой , лежащей в пл ( т.е а1(?.

Теорема. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости , то они параллельны.

Билет №20

Фрмула обьема шара( формула примеры)

Теорема о трех перпендикулярах

1. Теорема: Объем шара радиуса R равен 4/3 (R3

Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох
произвольным образом. Сечение шара пл. (к оси Ох и проходящей через т
М этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого
круга r , а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через
х и R.Из прямоуголь-ника ОМС находим: r=(OC2 –OM2 =(R2(x2.Так как
S(x)=(R2 ,то S(x)= ((R2- x2). Заметим , что эта фор-мула верна для
любого положения т.М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих
условию -R( x (R. Примеряя основную формулу для вычисления объемов тел
при а= -R, b=R, получим

V R R
R R (x3 R 4

=?((R2-x2)dx= (R2? dx-(?x2dx=(R2x(-

(R3

-R -R -R
-R

-R

2.Теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к
самой наклонной.

Д-во. Дана пл ? и перпендикуляр АН , АМ- наклонная, а- прямая,
проведенная в пл ? через т м ( к проекции НМ наклонной. Докажем , что а
(АМ. Рассотрим пл АМН. Пр.а (к этой пл, т.к она ( к 2-ум
пересекающимся прямым АН и МН(а ( НМ по условию и а (АН, т.к. АН( ?).
Отсюда =>, что пр а ( к любой прямой , лежащей в пл АМН, в частности
а(АМ

Обратная теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter