Билеты по аналитической геометрии

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если
равенство (1а1+(2а2+…+(лал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда
все числа (1, (2,…, (л=0 и (R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если
равенство (2) выполнимо хотя бы при одном (i(0 (i=1,…,k)

Свойства

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то
она будет линейно-зависимой.

Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет
линейно независимой.

Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной
комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно
зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на
параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в
параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а(0 и эти векторы
коллинеарны, то найдется такое действительное число (, что b=(a.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и
достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=(a. Будем
считать, что а,b(0 (если нет, то система линейно-зависима по 1
свойству). 1b-(a=0. Т.к. коэфф. При b(0, то система линейно зависима по
определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. (а+(b=0, ((0.
а= -b/(*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и
достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны.
Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то (а+(b+(c=0, ((0. с= –
(/(*а – (/(*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в
одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой
системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов
системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого
вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять
произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех
некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется
заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и
одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется
заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения
и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется
произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u90, пр-е
отриц.

Свойства:

(а,b)= (b,а)

((а,b)= ( (а,b)

(а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

(а,а)=|a|2 – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е
равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если
все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном
базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений
соответствующих координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного
произведения. cos
u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым
[a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1.
|c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую
тройку.

Свойства:

[a,b]= – [b,a]

[(а,b]= ( [а,b]

[a+b,c]=[a,c]+[b,c]

[a,a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади
параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования
определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном
базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка
в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй –
координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий
одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4.
Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е
прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок
пр. 9.Угол между пр.

Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0
(1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0,
y-y0). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение
векторов, оно равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен
прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту
же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и
т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е
называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

x-x1/e=y-y1/m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.).
Возьмем на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)

x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1

Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2). Т.к. на прямой
заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1)

y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым
коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент
прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при
y1-kx1=b, y=kx+b

xcos(+ysin(-P=0

( – угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и (

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos(, sin().
Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ.
Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р.
2. ОМ*n=cos(x+sin(y. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos(+ysin(-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф.
пропорциональности.

Cos2(=(A*t)2

Sin2(=(B*t)2

-p=C*t

cos2(+sin2(=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=(sqrt(1/ A2+B2). Sign t= – sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos(+ysin(-P=0

( – угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и (

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos(+ysin(-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф.
пропорциональности.

Cos2(=(A*t)2

Sin2(=(B*t)2

-p=C*t

cos2(+sin2(=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=(sqrt(1/ A2+B2). Sign t= – sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение
точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = – d,
если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos(+ysin(-P=0 и
М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1 = x1cos(+y1sin(-P=0

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до
двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом
расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М – произвольная точка
гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до фокусов;

|r2-r1|=2a; ac)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F,
называется прямая расположенная в полуплоскости ( перпендикулярно
большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a
(а/е0

r1=xe+a

d1 – расстояние от М(x,y) до прямой D1

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

бм=-x-a/e

d1=-бм (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до
фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина
постоянная и представляет собой эллипс, если 1,
параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус
кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится
фокус.

r= (

d=p+(cos(

e=(/p+(cos(

– полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к
нему, проходящей через М0(x0;y0) – точка касания, она принадлежит
эллипсу значит справедливо:

у-у0=y’(x0)(x-x0)

ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0

– уравнение касательной к эллипсу.

– уравнение касательной к гиперболе.

– уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного
переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим
все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е1;е1’)=cos u

(е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u

(е2;е1’)=cos (90-u)=sin u

(е2;е2’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е1;е1’)=(е1, (11е1+(12е2)= (11

(е1;е2’)= (е1, (21е1+(22е2)= (21

(е2;е1’)= (12

(е2;е2’)= (22

Приравниваем:

(11=cos u

(21= – sin u

(12=sin u

(22=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u – формулы поворота системы координат на угол u.

————

x=a+x’

y=b+y’ – формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно
преобразования системы координат, называется функция зависящая от
коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании
системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно
преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются
неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I2>0 – элиптический тип

I20 и пусть I1>0
следовательно уравнение (1) определяет: 1. I30 – ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс
вырождается в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс.
Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I2>0, I1>0, I3 0

I1= a11’’+a22’’ > 0

a11’’ > 0; a22’’ > 0

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение
эллипса.

2. I3>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа,
следовательно уравнение не определяет действительного геометрического
образа.

3. I3=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа.
Т.е. I20; a22’’0

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I30 следовательно
таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

((, ()1=(a,b)

((, ()2=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами
для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые
определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y2=2px

y2-2px=0

u(x,y)= y2+0, y=0

((, ()=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси
симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает
параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет
одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением
первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C(0
одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим
уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x0;y0;z0). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax0+By0+Cz0=-D

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М1(x1;y1;z1); М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной
плоскости то векторы компланарны.

М1М x-x1 y-y1 z-z1

М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0

М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1

Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов.
V(V1;V2;V3); U(U1;U2;U3); M0(x0;y0;z0), тогда плостость имеет вид:
система: x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s и z=z0+V3t+U3s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0, поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2). Отыскание угла
между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.

Пучки и связки плоскостей.

Определение: пучком плоскостей называется совокупность плоскостей,
проходящих ч/з одну и ту же прямую.

Что бы задать пучок плоскостей д.б. определены две плоскости

Теорема: Пусть две плоскости пучка заданы уравнениями: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0, тогда любая другая плоскость пучка задана уравнением:
((A1x+B1y+C1z+D1)+((A2x+B2y+C2z+D2), где ( и ( принадлежат R и не равны
нулю одновременно.

Определение: связкой плоскостей называется совокупность плоскостей,
роходящих ч/з одну точку. Эта точка называется центром связки.

Условия для плоскостей:

– параллельности.

2. A1A2+B1B2+C1C2=0 – перпендикулярности.

3. пересечения трех плоскостей в одной точке:

Пусть заданы три плоскости: система: A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0;
A3x+B3y+C3z+D3=0

Данная система должна иметь единственное решение, а поэтому ее
определитель составленный из коэфф. при каждом не равен 0.

PAGE 1

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter