Асимптота

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

Москва 2002 год

Содержание

Введение
3

2. Нахождение асимптоты
4

2.1 Геометрический смысл асимптоты
5

2.2 Общий метод нахождения асимптоты
6

3. Виды
8

3.1 Горизонтальная асимптота
8

3.2 Вертикальная асимптота
9

3.3 Наклонная асимптота
10

Использованная литература
12

Введение

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи
продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее,
так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они
проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды,
логарифмич. линии, циссоиды и др.).

2. Нахождение асимптоты

Пусть функция f (x) определена для всех x ( а (соответственно для всех

x ( а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) ( kx ( l = 0 при х (
( ( (соответственно при х ( ( (), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x ( ( ( (соответственно
при х ( ( ().

Существование асимптоты графика функции означает, что при х ( + (

(или х ( ( () функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть
отличается от линейной функции на бесконечно малую.

( 3x ( 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x (1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x ( 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ( ( (, то
прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х ( + (,

так и при х ( ( (.

2.1 Геометрический смысл асимптоты

– проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,

с асимптотой АВ (рис.1).

(рис.1)

= f (x) – (kx +l),

MP = MQ cos (. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю
множитель cos (, поэтому условия MQ ( 0 и MP ( 0 при х ( ( (
(соответственно при х ( ( () эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот. х
( ( (

х ( ( (

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая,
расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится
к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в
бесконечность» (при х ( ( ( или, соответственно, х ( ( ().

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ
определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х ( ( ( (при х ( ( (
рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет
асимптоту y = kx + l при х ( ( (. Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к
пределу при х ( ( (. Тогда

= k.

х ( ( (

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для
определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

х ( ( (

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l,
что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l
является

х ( ( (

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx)
имеем

х ( ( (

lim (f (x) ( (kx + l)( = 0,

х ( ( (

= k. и l = lim (f (x) – kx)

х ( ( ( х ( ( (

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов
определённого вида. Более того, мы показали, что если существует

= k. и l = lim (f (x) – kx)

х ( ( ( х ( ( (

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно
единственно.

найденную нами выше другим способом:

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х ( ( (, так и при х ( – (.

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой,
непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты
и на прямые, параллельные оси Oy.

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

Пусть ( lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется
горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой
вид (при x ( +() (рис.2)

(рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

(рис.3)

3.2 Вертикальная асимптота

(рис.4)

Пусть при x ( a ( 0 lim f (x) = ( (. Тогда говорят, что прямая x = a
является

х ( (

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к
а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты,
связанные с тем, куда уходит f (x) в + ( или ( (.

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет
вид

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

3.3 Наклонная асимптота

(рис.5)

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе
х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте
означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ( ( (

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x ( (

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

то есть асимптота при x ( +( имеет уравнение y=x.

Аналогично можно показать, что при x ( – ( асимптота имеет вид y = – x.

выглядит так (рис.6)

(рис.6)

Использованная литература

Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.