§2 Аппроксимация функций.
Из курса математики известны 3 способа задания функциональных
зависимостей:
аналитический
графический
табличный
Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся
значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких
значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой
аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.
Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по
f(x) можно рассмотреть другую функцию ?(ч) близкую в некотором смысле к
f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить
оценку погрешность такой замены.
?(х)- аппроксимирующая функция.
Интерполяция (частный случай аппроксимации)
Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x0 f(x0) требуется
построить аппроксимирующюю функцию ((x) совпадающую в узлах с xi c
заданной, то такой способ называется интерполяцией
При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с
помощью многочлена, имеющего общий вид
((x)=pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0
В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an ,an-1, …a0 , так
как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов
необходимо выполнить из условия равенства:
Pn(xi)=yi i=0,1,…n
Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены
специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).
i(j
В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае
не совпадает с заданной функцией .
Задание
С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение
функции y в точке xc, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом
(х=4,1 начиная с точки х0=1,3 даны значения функции
y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.
ГСА для данного метода
CLS
DIM Y(9)
DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10
FOR I = 0 TO N – 1
1 X(I) = X0 + H * I
READ Y(I)
PRINT Y(I); X(I)
NEXT I
S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
FOR I = 0 TO N – 1
2 S1 = S1 + X(I) ^ 2
S2 = S2 + X(I)
S3 = S3 + X(I) * Y(I)
S4 = S4 + Y(I)
NEXT I
D = S1 * N – S2 ^ 2
D1 = S3 * N – S4 * S2
D0 = S1 * S4 – S3 * S2
A1 = D1 / D: A0 = D0 / D
YC = A1 * XC + A0
PRINT “A0=”; A0, “A1=”; A1, “YC=”; YC
FOR X = 0 TO 50 STEP 10
Y = A1 * X + A0
PRINT X, Y
NEXT X
END
XC= 10
Х Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
S=-1.594203
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде
функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично
или в виде набора точек с координатами (xi,yi), i=0,1,2,…n, где n –
общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены
экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно
получить относительно простую функциональную зависимость (например,
полином), которая позволила бы “сгладить” экспериментальные погрешности,
получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально
не содержащиеся в исходной табличной информации.
Графическая интерпретация аппроксимации.
Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной
точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием
точности или достаточно “хорошего” приближения могут служить несколько
условий.
Обозначим через fi значение, вычисленное из функциональной зависимости
для x=xi и сопоставляемое с yi.
Одно из условий согласования можно записать как
(fi-yi) ? min ,
т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых
x=xi должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь
разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не
достигается.
|fi-yi| ? min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет
производной в точке минимума.
Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е.
определяют такую функциональную зависимость, при которой
(fi-yi)2 , (1)
обращается в минимум.
В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
f(x)=C0 + C1X + C2X2+…+CMXM. (2)
( C0 + C1Xi + C2Xi2+…+CMXiM – Yi ) 2
Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные
S по независимым переменным С0,С1,…СМ :
XiM – Yi ) = 0 ,
XiM – yi ) Xi = 0 ,
………………………………………………………………
………………??????????????????????????????????‰??–????????†?????–?
???????†????????????????????????????
Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений
Yi ,
Yi Xi ,
………………………………………………………………
…………………………. (4)
Yi XiM .
Для определения коэффициентов Сi и, следовательно, искомой зависимости
(2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица
системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и
положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее
решении.
Yi XiM
Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а)
достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних
столбцов, остальные элементы не являются “оригинальными” и заполняются с
помощью циклического присвоения.
Задание
Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77,
-1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить
интеграл заданной функции.
Программа
¦CLS
¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10
¦DIM Y(9): DIM X(9)
¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
¦FOR I = 0 TO N – 1
¦X = X0 + H * I:
¦X(I) = X
¦READ Y(I)
¦PRINT X(I), Y(I)
¦NEXT I
¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
¦I = 0
¦10 S1 = S1 + X(I) ^ 2:
¦S2 = S2 + X(I):
¦S3 = S3 + X(I) * Y(I):
¦S4 = S4 + Y(I)
¦I = I + 1
¦IF I
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter