.

Аппроксимация функций

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 376
Скачать документ

§2 Аппроксимация функций.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных
зависимостей:

аналитический

графический

табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.

Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся
значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких
значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой
аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по
f(x) можно рассмотреть другую функцию ?(ч) близкую в некотором смысле к
f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить
оценку погрешность такой замены.

?(х)- аппроксимирующая функция.

Интерполяция (частный случай аппроксимации)

Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x0 f(x0) требуется
построить аппроксимирующюю функцию ((x) совпадающую в узлах с xi c
заданной, то такой способ называется интерполяцией

При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с
помощью многочлена, имеющего общий вид

((x)=pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an ,an-1, …a0 , так
как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов
необходимо выполнить из условия равенства:

Pn(xi)=yi i=0,1,…n

Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены
специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).

i(j

В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае
не совпадает с заданной функцией .

Задание

С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение
функции y в точке xc, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом
(х=4,1 начиная с точки х0=1,3 даны значения функции
y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.

ГСА для данного метода

CLS

DIM Y(9)

DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27

X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10

FOR I = 0 TO N – 1

1 X(I) = X0 + H * I

READ Y(I)

PRINT Y(I); X(I)

NEXT I

S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

FOR I = 0 TO N – 1

2 S1 = S1 + X(I) ^ 2

S2 = S2 + X(I)

S3 = S3 + X(I) * Y(I)

S4 = S4 + Y(I)

NEXT I

D = S1 * N – S2 ^ 2

D1 = S3 * N – S4 * S2

D0 = S1 * S4 – S3 * S2

A1 = D1 / D: A0 = D0 / D

YC = A1 * XC + A0

PRINT “A0=”; A0, “A1=”; A1, “YC=”; YC

FOR X = 0 TO 50 STEP 10

Y = A1 * X + A0

PRINT X, Y

NEXT X

END

XC= 10

Х Y

1.3 -6.56

5.4 -3.77

9.5 -1.84

13.6 .1

17.7 2.29

21.8 4.31

25.9 5.86

30 8.82

34.1 11.33

38.2 11.27

S=-1.594203

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде
функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично
или в виде набора точек с координатами (xi,yi), i=0,1,2,…n, где n –
общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены
экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно
получить относительно простую функциональную зависимость (например,
полином), которая позволила бы “сгладить” экспериментальные погрешности,
получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально
не содержащиеся в исходной табличной информации.

Графическая интерпретация аппроксимации.

Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной
точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием
точности или достаточно “хорошего” приближения могут служить несколько
условий.

Обозначим через fi значение, вычисленное из функциональной зависимости
для x=xi и сопоставляемое с yi.

Одно из условий согласования можно записать как

(fi-yi) ? min ,

т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых
x=xi должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь
разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не
достигается.

|fi-yi| ? min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет
производной в точке минимума.

Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е.
определяют такую функциональную зависимость, при которой

(fi-yi)2 , (1)

обращается в минимум.

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

f(x)=C0 + C1X + C2X2+…+CMXM. (2)

( C0 + C1Xi + C2Xi2+…+CMXiM – Yi ) 2

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные
S по независимым переменным С0,С1,…СМ :

XiM – Yi ) = 0 ,

XiM – yi ) Xi = 0 ,

………………………………………………………………
………………??????????????????????????????????‰??–????????†?????–?
???????†????????????????????????????

Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений

Yi ,

Yi Xi ,

………………………………………………………………
…………………………. (4)

Yi XiM .

Для определения коэффициентов Сi и, следовательно, искомой зависимости
(2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица
системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и
положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее
решении.

Yi XiM

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а)
достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних
столбцов, остальные элементы не являются “оригинальными” и заполняются с
помощью циклического присвоения.

Задание

Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77,
-1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить
интеграл заданной функции.

Программа

¦CLS

¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10

¦DIM Y(9): DIM X(9)

¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27

¦FOR I = 0 TO N – 1

¦X = X0 + H * I:

¦X(I) = X

¦READ Y(I)

¦PRINT X(I), Y(I)

¦NEXT I

¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

¦I = 0

¦10 S1 = S1 + X(I) ^ 2:

¦S2 = S2 + X(I):

¦S3 = S3 + X(I) * Y(I):

¦S4 = S4 + Y(I)

¦I = I + 1

¦IF I

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020